初中数学中考复习 专题五 函数与几何综合运用(原卷版)

专题五　函数与几何综合运用

类型1　存在性问题

存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．

1．如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.

(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；

(2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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2．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

类型2　几何最值、定值问题

3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点．

(1)求A、A′、C三点的坐标；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．

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4．如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.

(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

(3)证明：当直线l绕点D旋转时，＋均为定值，并求出该定值．

类型3　反比例函数与几何问题

5．如图，P1，P2是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1，P2为直角顶点．

①求反比例函数的解析式．

②(Ⅰ)求P2的坐标．

(Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1，P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值．

6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．