2023届新高考数学解析几何专题讲义 第16讲 范围与最值问题

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第16讲 范围与最值问题一、问题综述圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题，实质是探求运动变化中的特殊值或临界值，可以与函数、不等式等知识相结合。通常有两类：一类是有关角度、长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题。二、典例分析类型1：化折为直--圆锥曲线的定义转化法【例1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）A． B． C． D． 【解析】如图作出抛物线，点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义知 ，则点到直线的距离与到点的距离之差当、、三点共线时，由三角形三边之间的关系可知，当点为射线与抛物线的交点时，故选D方法总结：化折为直--圆锥曲线的定义转化法第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值． 类型2：距离的最值与范围问题【例2】求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．【解析】 解法1切线法 设与直线平行，且与椭圆相切的直线为 将代入，得 所以 ，解得 当时，代入中得切点坐标为，此时当时，代入中得切点坐标为，此时解法2 参数法 设椭圆上的点， ，则点到直线的距离 （其中 ）当时，得，即点，此时当时，得，即点，此时【方法总结】1．切线法 第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出的值，即可求出切线方程；第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点．2．参数法 第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步 将目标函数表示成关于参数的函数；第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法．【例3】如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为 （ = 1 \* ROMAN I）求直线斜率的取值范围；（ = 2 \* ROMAN II）求的最大值．【解析】（Ⅰ）设直线的斜率为 ,则 因为，所以直线斜率的取值范围是 。（Ⅱ）联立直线与的方程得，解得点的横坐标是 因为 |PA|=|PQ|= ，所以 令 因为 所以 在区间 上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值【方法总结】 函数法第一步：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步：通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法．【例4】定长为的线段的两个端点在上移动，中点为，求点到轴的最短距离。【解析】解法1 函数思想+基本不等式法设，，中点，则由得即 （4）由（2）（3）得 代入（4）得，所以，，所以当 即 时，此时解法2抛物线定义+化折为直如图，所以 ， 即，所以， 当经过焦点时取得最小值。所以 点到轴的最短距离为【方法总结】（1）可直接利用抛物线设点，如设，，又设中点为用弦长公式及中点公式得出关于的函数表达式，再利用基本不等式或函数思想求出最短距离。（2）到轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑到准线的距离，想到用定义法。类型3：面积的最值问题【例5】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 ，两点． (1)若，求直线AB的斜率；(2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．【解析】(1)依题意知，设直线的方程为．将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．设，，所以， ①因为，所以 ②联立①和②，消去，得．所以直线的斜率是．(2) 原点关于点的对称点为，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于．因为，所以当 时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．xyOMABCF【例6】已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为．（Ｉ）求抛物线的方程；（Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值．【解析】（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得＝4 抛物线的方程为． 　　　　　　（Ⅱ）设直线， 由同理可得，从而， 点到的距离 又= ==当且仅当，即时有最小值． 【方法总结】圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 （2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。类型4：面积的取值范围【例7】已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程;（2）若直线过椭圆的右焦点,且与轴不重合, 交椭圆于两点, 过点且与垂直的直线与圆交于两点, 求四边形面积的取值范围．【解析】（1）略（2）当直线与轴不垂直时, 设的方程 ,由,得,则 , ,过点且与垂直的直线,圆心到的距离是,所以．故四边形面积．可得当与轴不垂直时, 四边形面积的取值范围为．当与轴垂直时, 其方程为,四边形面积为,综上, 四边形面积的取值范围为．【例8】如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的正半轴分别交于点，，，且，直线方程为．　（Ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求证：；（Ⅱ）求的取值范围．【解析】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知， 易知，由题意可设，∴ （），，所以，故． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，， 联立，得，同理，得 设点到的距离为，点到的距离为，∴ ，所 以 因为 ，所以的取值范围是． 类型5：斜率的取值范围【例9】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围．【解析】解法1：当时，显然满足．当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，又，．中点在直线上，，于是．中点在抛物线区域内，即，解得．综上可知，所求实数的取值范围是．解法2：当时，显然满足．当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，设直线的方程为直线与抛物线联立得 ①所以 ，，所以，由点在直线上，得，即 ②②代入①得，解得．综上可知，所求实数的取值范围是．【方法总结】解法1：利用抛物线上存在不同的两点的中点在不等式所表示的区域内，建立不等式，从而得到结果．解法2：利用直线与抛物线联立，转化为一元方程根的个数，利用判别式建立不等式．类型6：向量的数量积的取值范围【例10】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于， 两点．设直线是抛物线的切线，且，为上一点，则的最小值为_____．[来源:学#【解析】设：，代入抛物线方程，得，因为与抛物线相切，所以，解得，所以：．由抛物线的方程，知，所以：．设，由，得，所以，所以．设，则 ， ，所以，所以的最小值为 ．【方法总结】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．三、巩固练习1．已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值为 ．2． 是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点，则的最小值为 ． 3．已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为 4．设双曲线的左右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、，则的最小值为________．5．设实数、满足，若，则的最小值为________．6．在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________．7．设，求的最大值，并求取得最值时的值．8．如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点 关于对称，且 （1）求椭圆的离心率；（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．9．已知点，在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为若点的坐标为，且是的垂心，求直线的方程；若点是直线上的动点，且，求的最小值；10．对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是．利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是．（1）当时，求线段的长；（2）求的最大值． 11．如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，分别为的右顶点，上顶点，且， ．（1）求椭圆的方程；（2）过原点做斜率为的直线，交于两点，求四边形面积的最大值． 12．已知点在抛物线上，过作圆 的切线，且切线段长最短为．（Ｉ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，（为正常数），直线，分别交抛物线于、两点，求面积取最小值时点的坐标．13．已知椭圆两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值．（为坐标原点）14．已知抛物线内有一点，过的两条直线分别与抛物线交于和两点，且满足，已知线段的中点为，直线的斜率为（1）求证：点的横坐标为定值；（2）如果，点的纵坐标小于，求的面积的最大值15．如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若．求点的坐标；求面积的最大值．16．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、处的切线交于． （1）求证：； （2）设，当时，求的面积的最小值．17．已知抛物线，是其焦点，是上异于原点的点，过作的切线与的准线的准线相交于，点满足，（1）求证：，（2）设直线与抛物线相交于两点，求面积的取值范围．18．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．（1）当时，求的面积；（2）当时，求的取值范围．19．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．20．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）巩固练习答案1．答案 解：设双曲线右焦点为，由双曲线的定义知，，则所以2．解：（1）答案 设另一焦点为，则连， 当是的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为。3．答案：4解法：（利用椭圆定义转化）由，已知点在椭圆内部，的周长==当三点、、共线且点在线段上时，周长最小，此时直线的方程为：与椭圆联立得，此时，4．答案： 解法：根据双曲线定义，，所以所以易知当垂直于轴时，，所以的最小值为5．答案：2解法：（数形结合）由设,则易知为上焦点在椭圆内，在椭圆外，所以当运动到三点共线时候最小，6．答案： 解：设点，，则当时， 7．答案：当时，解：点，，则当时，此时，8．答案：（1） （2） 解：（1）由已知条件可得 ，即 （2）由（1）可知为正三角形， ，解得 过三点的圆为 ，即点在圆为上因为圆心到直线距离为 故该圆与直线相切，所以点到直线距离的最大值为 9．解：（Ⅰ）由题意思，则， 因为是的垂心，所以，则设直线的方程为，联立抛物线，得则由 由题意由，即-化简得．化简得，故，解得 经检验满足题意，不符合题意．故直线的方程．（Ⅱ）显然要使的最小，必须垂直于直线， 分别过点作垂直于直线，等号成立当且当直线过焦点，且直线轴．因此的最小值为． 10．答案：（1） （2）解：（1）因为点，直线的方程是： ，当时，直线的方程是，此时（2）由（1）知直线的方程是：，直线的方程是，，设，则，另所以，令，则，所以当时，即时，有最大值为．11．解（1）（2）直线：，设到直线的距离分别为 将直线代入椭圆得 或由， 得 直线的方程为 ，当且仅当时取等号，所以当时，四边形 的面积取得最大值 ．12解：（1）因为，所以，即 所以抛物线的方程是（2）设，设，代入，得，则同理可得，又，所以到直线的距离是所以＝设，则所以当单调递减，当单调递增所以当取到最小值，同理所以当时，取得最小值，此时13．答案（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为．解（Ⅰ）由题意得，又，则，所以．又，故椭圆的方程为．（Ⅱ）设的面积为，的面积为．当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，，且，面积相等，．当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，和椭圆方程联立得，消掉得．显然，方程有根，且．此时．因为，所以上式（时等号成立）．所以的最大值为．14．解析：（1）设中点为，则由 可推得 ，这说明， 且和三点共线对使用点差法，可得即，同理，于是即轴，所以为定值（2）由得到，设，联立，得所以于是，当时，有最大值15解：（Ⅰ）因为，设，所以，即设直线的方程是：，代入得，，所以，故，因为，所以中点坐标为又因为的中垂线方程是，令，得， （Ⅱ）因为中点在直线上所以，且，解得所以令，，则，设，则，易得，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以 16．答案：（1）详见解析；（2）解：（1）设，，把抛物线看成函数求导得， 则：即，： 解得，所以，所以． 设：与抛物线联立得：，所以，， 从而，所以，所以；（2）由（1）得，，，， 因为，所以，，所以， ，所以． ，因为，所以点到直线的 距离，所以， 令，则有，所以．17．解：（1）设，则点处的切线方程为令，则，故从而所以，所以．（2）由（1）可知直线的方程为，代入抛物线方程得，设，则因为， 所以，，所以．18．解（1）（2）由题意，，．将直线的方程代入得．由得，故由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即．当时上式不成立，因此．等价于，即．由此得，或，解得．因此的取值范围是．19．答案：（Ⅰ）（Ⅱ） 解：（1）（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为．设，由方程组，消去，整理得．解得，或，由题意得，从而．由（Ⅰ）知，，设，有，．由，得，所以，解得．因此直线的方程为．设，由方程组消去，解得．在中，，即，化简得，即，解得或．20．答案 A．解析：由题知及，所以，解得．