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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第19讲 解析几何等角定理
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第19讲 解析几何等角定理
第19讲 解析几何等角定理一、问题综述椭圆等角定理：过椭圆长轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被焦点所在直线平分，即.双曲线等角定理：过双曲线实轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被焦点所在直线平分，即.抛物线等角定理：过抛物线对称轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被对称轴平分.二、典例分析【例1】（2018•新课标Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（Ⅰ）当与轴垂直时，求直线的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，证明：．【解答】解：（Ⅰ），，与轴垂直，，由，解得或，即或，直线的方程为，，证明：方法1（Ⅱ）当与轴重合时，，当与轴垂直时，为的垂直平分线，，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，联立和，得，设，，，，则，，且，，所以，而，进而，故，的倾斜角互补，所以，综上．证明：方法2（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆的右焦点为，设直线，联立椭圆，得，设直线与椭圆的交点为，，，，则△恒成立，且，所以，由，可得，则．【例2】（2018•新课标Ⅰ）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（Ⅰ）当与轴垂直时，求直线的方程；（Ⅱ）证明：．【解答】解：（Ⅰ）当与轴垂直时，，代入抛物线解得，所以或，直线的方程：，或：．（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程得，消得，即，，则有，所以直线与的倾斜角互补，即.【方法小结】（1）解析几何角度相等常用的定理有角平分线定理、余弦定理、斜率等. 如下图，容易看出恰为直线的倾斜角的补角，恰为直线的倾斜角. 所以有，，结合，则有，所以，即，进而. 这就能把角度问题转化为斜率问题. （2）由可得，通分整理得，此时先不代入直线，而是两边同除以，得到，利用该等式，同时把直线方程设为，用，代入消元，对解题运算显得更为简单.三、巩固练习1.（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（Ⅰ）当时，分別求在点和处的切线方程．（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）2.已知点是椭圆的右顶点，且椭圆的离心率为．过点作直线交椭圆于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求出直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）椭圆的长轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．3.（2015•四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2018秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，，其中为椭圆的离心率，过定点，的动直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与轴的交点为，若总成立，求的值；（3）如果存在，求出点的坐标（用表示；如果不存在，请说明理由．是否存在定点，（其中，使得总成立？参考答案1.【解答】解：联立，不妨取，，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，即为．同理可得曲线在点处的切线方程为：．存在符合条件的点，下面给出证明：设满足，联立，得，设，，，，直线，的斜率分别为，．则，所以当时，，直线，的倾斜角互补，．即点符合条件．2.【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆的方程；设直线的方程为：，联立，得，由△，解得；（Ⅱ）假设存在定点，使得恒成立，即恒成立．设点，，，，由（1）知，，解得，故存在定点．3.【解答】解：（Ⅰ）直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为，点，在椭圆上，又离心率是，，解得，，椭圆的方程为：；（Ⅱ）结论：存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，则有，即．点在直线轴上，可设．当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点，则、的坐标分别为、，又，，解得或．若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是．下面证明：对任意直线，均有．当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，联立，消去并整理得：，设、的坐标分别为，、，，△，且，，，已知点关于轴对称的点的坐标为，，又，，，即、、三点共线，．故存在与点不同的定点，使得恒成立．4.解：（1）椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．（2）椭圆的准线方程为，则，当直线与轴垂直或与轴重合时，；当直线与轴不垂直且不重合时，设的方程为，，设，，，，由，得，，，，总成立，又，斜率存在，故，的斜率和总为0，对，，恒成立，即对，，恒成立，即，，恒成立，代入式并整理得．（3）假设存在这样的点，，（其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线与轴不垂直也不重合的情形，结合（2）中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，，满足条件，坐标为，．
第19讲 解析几何等角定理一、问题综述椭圆等角定理：过椭圆长轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被焦点所在直线平分，即.双曲线等角定理：过双曲线实轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被焦点所在直线平分，即.抛物线等角定理：过抛物线对称轴上任一点的一条弦端点与对应点的连线所成的角被对称轴平分.二、典例分析【例1】（2018•新课标Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（Ⅰ）当与轴垂直时，求直线的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，证明：．【解答】解：（Ⅰ），，与轴垂直，，由，解得或，即或，直线的方程为，，证明：方法1（Ⅱ）当与轴重合时，，当与轴垂直时，为的垂直平分线，，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，联立和，得，设，，，，则，，且，，所以，而，进而，故，的倾斜角互补，所以，综上．证明：方法2（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆的右焦点为，设直线，联立椭圆，得，设直线与椭圆的交点为，，，，则△恒成立，且，所以，由，可得，则．【例2】（2018•新课标Ⅰ）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（Ⅰ）当与轴垂直时，求直线的方程；（Ⅱ）证明：．【解答】解：（Ⅰ）当与轴垂直时，，代入抛物线解得，所以或，直线的方程：，或：．（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程得，消得，即，，则有，所以直线与的倾斜角互补，即.【方法小结】（1）解析几何角度相等常用的定理有角平分线定理、余弦定理、斜率等. 如下图，容易看出恰为直线的倾斜角的补角，恰为直线的倾斜角. 所以有，，结合，则有，所以，即，进而. 这就能把角度问题转化为斜率问题. （2）由可得，通分整理得，此时先不代入直线，而是两边同除以，得到，利用该等式，同时把直线方程设为，用，代入消元，对解题运算显得更为简单.三、巩固练习1.（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（Ⅰ）当时，分別求在点和处的切线方程．（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）2.已知点是椭圆的右顶点，且椭圆的离心率为．过点作直线交椭圆于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求出直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）椭圆的长轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．3.（2015•四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2018秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，，其中为椭圆的离心率，过定点，的动直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与轴的交点为，若总成立，求的值；（3）如果存在，求出点的坐标（用表示；如果不存在，请说明理由．是否存在定点，（其中，使得总成立？参考答案1.【解答】解：联立，不妨取，，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，即为．同理可得曲线在点处的切线方程为：．存在符合条件的点，下面给出证明：设满足，联立，得，设，，，，直线，的斜率分别为，．则，所以当时，，直线，的倾斜角互补，．即点符合条件．2.【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆的方程；设直线的方程为：，联立，得，由△，解得；（Ⅱ）假设存在定点，使得恒成立，即恒成立．设点，，，，由（1）知，，解得，故存在定点．3.【解答】解：（Ⅰ）直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为，点，在椭圆上，又离心率是，，解得，，椭圆的方程为：；（Ⅱ）结论：存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，则有，即．点在直线轴上，可设．当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点，则、的坐标分别为、，又，，解得或．若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是．下面证明：对任意直线，均有．当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，联立，消去并整理得：，设、的坐标分别为，、，，△，且，，，已知点关于轴对称的点的坐标为，，又，，，即、、三点共线，．故存在与点不同的定点，使得恒成立．4.解：（1）椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．（2）椭圆的准线方程为，则，当直线与轴垂直或与轴重合时，；当直线与轴不垂直且不重合时，设的方程为，，设，，，，由，得，，，，总成立，又，斜率存在，故，的斜率和总为0，对，，恒成立，即对，，恒成立，即，，恒成立，代入式并整理得．（3）假设存在这样的点，，（其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线与轴不垂直也不重合的情形，结合（2）中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，，满足条件，坐标为，．
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