高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品同步测试题

4.2.1 指数函数的概念

一、选择题

1．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝(　　)

A．8   B．

C．4 D．2

2．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)

A．f(xy)＝f(x)f(y)   B．f(xy)＝f(x)＋f(y)

C．f(x＋y)＝f(x)f(y)   D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

3．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝(　　)

A．1   B．3

C．4   D．2

4．若点(a,27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　　)

A.   B．1

C．2   D．0

5．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)

A．a(1＋p%)元 B．a(1－p%)元

C．元   D．元

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________.

7．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.

8．某厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．

9．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．

10．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．

三、解答题

11．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．

12．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为多少？

13．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．

(1)若f(2)＝，求f(x)解析式；

(2)讨论f(x)奇偶性．

 14．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．

(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？

(3)哪一年年底的人口数将达到135万？

答案：

1、解析：选D　函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.故选D.

2、解析：选C　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.

3、解析：选C　由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1,3)，m＋n＝4.

4、解析：选A　点(a,27)在函数y＝()x的图象上，

∴27＝()a，

即33＝3，∴＝3，解得a＝6，∴＝.故选A.

5、解析：选C　设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，

∴x＝.

6、解析：因为函数的图象过点(－1,2)，所以－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝x，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，

解得2－x＝2，所以x＝－1.

答案：1　－1

7、解析：因为f(x)＝2x＋，f(a)＝5，

则f(a)＝2a＋＝5.

所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋2＝2－2＝23.

答案：23

8、解析：2018年产值为a，增长率为7%.

2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)．

2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%＝a(1＋7%)2(万元)．

……

2022年的产值为a(1＋7%)4万元．

答案：a(1＋7%)4

9、解析：由已知得解得

所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3

＝4＋3＝7.

答案：7

10、解析：∵细胞分裂一次时有21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞…，∴当分裂n次时变为2n个细胞，故可得出2n＝4 096，∵212＝4 096，∴n＝12，∵细胞15分钟分裂一次，∴细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时．故这种细菌由1个分裂为4 096个，这个过程要经过3小时．故答案为3.

答案：3

11、解：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，

∴f(x)＝2x.

(2)F(x)＝2x－2－x，∴F(－x)＝－F(x)，

∴F(x)是奇函数．

12、解：∵21＋22＋23＋24＋25＝62，

21＋22＋23＋24＋25＋26＝126.

∴n≥6，故最少需要6天．

13、解：(1)∵f(x)＝，f(2)＝.

即＝，∴a＝2.

即f(x)＝.

(2)因为f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝＝＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

14、解：(1)2018年年底的人口数为130万；

经过1年，2019年年底的人口数为

130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；

经过2年，2020年年底的人口数为

130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；

经过3年，2021年年底的人口数为

130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．

……

所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．

即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．

(2)2029年年底的人口数为

130(1＋3‰)11≈134(万)．

(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为

130(1＋3‰)11≈134＜135.

2030年年底的人口数为

130(1＋3‰)12≈134.8(万)，

2031年年底的人口数为

130(1＋3‰)13≈135.2(万)．

所以2031年年底的人口数将达到135万．