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专题8二次函数与矩形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）
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挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；
(3)有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.
【例1】．(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A(﹣2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C．
(1)求a，c的值；
(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】(2022•绥化)如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【例3】(2022•黔东南州)如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】．(2022•梁山县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线y＝kx+1(k＞0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．(2022•武功县模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．
(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2022•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求证：四边形OBED是矩形；
(3)在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标．
3．(2022•石家庄二模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)点C的纵坐标为 (用含b的式子表示)，∠OBC＝ 度；
(2)当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为(3，2)．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
4．(2022•滨海县一模)如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式：
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
5．(2022•石家庄模拟)某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
(1)请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
(2)若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
(3)现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN(如图2)，对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
6．(2022•朝阳区校级一模)已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D(A与D不重合)，与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
(1)当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
(2)求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．
(3)当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(4)当抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．
7．(2022•长春一模)已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．
(1)写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标(用含m的式子表示)．
(2)当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
(3)当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
(4)当m＞0时，分别过点A(2，1)、B(2，4)作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象(包括边界)的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
8．(2021•咸丰县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
9．(2022•白山模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b(b为常数，b≠0)与y轴交于点A，且点A的坐标为(0，3)，过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN为正方形时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
10．(2021•吉林四模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A(5，0)，与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线AB的解析式；
(3)当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；
(4)当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．
11．(2021•南关区校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a(a为常数)．
(1)当(﹣，m)在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
(3)已知A(﹣1，1)、B(﹣1，2a﹣)，连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P(点P不与A、B重合)，将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部(包含边界)图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
12．(2021•吉林二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b(k≠0)与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．
(1)求直线AB对应的函数关系式；
(2)当点P与点A重合时，求点E的坐标；
(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；
(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
13．(2020•吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
14．(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
15．(2022•丹东)如图1，抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
16．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
17．(2022•福田区校级模拟)如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
(2)已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 (请直接写出)
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
18．(2022•绿园区模拟)已知二次函数y＝﹣n2+2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
(1)当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
19．(2022•罗湖区二模)【实践与探究】九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(2022•安徽模拟)如图；已知抛物线y＝ax2+3x+c与直线y＝x+1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．
(1)求a，c，n的值；
(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD+CD的最小值．
21．(2022春•朝阳区校级月考)已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a(a≠0)．
(1)抛物线L的对称轴为直线 ．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
22．(2022•烟台一模)如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C(4，﹣5)两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(2022•海口模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．
(1)求该抛物线对应的二次函数的关系式；
(2)当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
(3)如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．
①求n的值；
②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
24．(2022•锦州二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D(﹣1，0)和点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；
(3)有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.
【例1】．(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A(﹣2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C．
(1)求a，c的值；
(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】(2022•绥化)如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【例3】(2022•黔东南州)如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】．(2022•梁山县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线y＝kx+1(k＞0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．(2022•武功县模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．
(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2022•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求证：四边形OBED是矩形；
(3)在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标．
3．(2022•石家庄二模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)点C的纵坐标为 (用含b的式子表示)，∠OBC＝ 度；
(2)当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为(3，2)．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
4．(2022•滨海县一模)如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式：
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
5．(2022•石家庄模拟)某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
(1)请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
(2)若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
(3)现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN(如图2)，对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
6．(2022•朝阳区校级一模)已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D(A与D不重合)，与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
(1)当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
(2)求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．
(3)当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
(4)当抛物线在矩形内部(包括边界)最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．
7．(2022•长春一模)已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．
(1)写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标(用含m的式子表示)．
(2)当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
(3)当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
(4)当m＞0时，分别过点A(2，1)、B(2，4)作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象(包括边界)的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
8．(2021•咸丰县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
9．(2022•白山模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b(b为常数，b≠0)与y轴交于点A，且点A的坐标为(0，3)，过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN为正方形时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
10．(2021•吉林四模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A(5，0)，与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线AB的解析式；
(3)当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；
(4)当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．
11．(2021•南关区校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a(a为常数)．
(1)当(﹣，m)在抛物线上，求m的值．
(2)当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
(3)已知A(﹣1，1)、B(﹣1，2a﹣)，连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P(点P不与A、B重合)，将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部(包含边界)图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
12．(2021•吉林二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b(k≠0)与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．
(1)求直线AB对应的函数关系式；
(2)当点P与点A重合时，求点E的坐标；
(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；
(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
13．(2020•吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
14．(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
15．(2022•丹东)如图1，抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
16．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
17．(2022•福田区校级模拟)如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
(2)已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 (请直接写出)
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
18．(2022•绿园区模拟)已知二次函数y＝﹣n2+2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
(1)当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
19．(2022•罗湖区二模)【实践与探究】九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(2022•安徽模拟)如图；已知抛物线y＝ax2+3x+c与直线y＝x+1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．
(1)求a，c，n的值；
(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD+CD的最小值．
21．(2022春•朝阳区校级月考)已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a(a≠0)．
(1)抛物线L的对称轴为直线 ．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
22．(2022•烟台一模)如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C(4，﹣5)两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(2022•海口模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．
(1)求该抛物线对应的二次函数的关系式；
(2)当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
(3)如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．
①求n的值；
②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
24．(2022•锦州二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D(﹣1，0)和点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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