专题10二次函数与圆存在性问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

             专题10二次函数与圆存在性问题

二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.

二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.

【例1】(2022•闵行区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．

(1)求抛物线的表达式；

(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．

①试证明EF与EB的数量关系；

②求点F的坐标．

【例2】(2022•福建模拟)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

【例3】(2022•武汉模拟)已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c(c＞0)．

(1)如图1，抛物线与直线l相交于点M(﹣1，0)，N(2，6)．

①求抛物线的解析式；

②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；

(2)如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D(0，n)四点在同一圆上，求n的值．

【例4】(2022•上海模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2(a＜0)交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．

(1)求线段PA的长；

(2)如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；

(3)以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．

1．(2021•广元)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；

(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

2．(2021•张家界)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3)判断△ABO的形状，试说明理由；

(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

3．(2021•宜宾)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连结BC、BE、CE．

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断△BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

4．(2020•雨花区校级一模)如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a(a＞0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．

(1)连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．

(2)如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；

(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数．

问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．

5．(2020•汇川区三模)如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．

1°求线段MN的最大值；

2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．

6．(2021•开福区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；

(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M(如图1)，

①求点M的坐标及⊙M的半径；

②过点B作⊙M的切线交于点P(如图2)，设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

7．(2020•天桥区二模)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，﹣2)为抛物线的顶点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．

①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；

②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．

8．(2020•百色)如图，抛物线的顶点为A(0，2)，且经过点B(2，0)．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．

(2)求证：直线AB与⊙O相切．

(3)已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

9．(2020•西藏)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；

(3)如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

10．(2020•宜宾)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；

(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．

11．(2021•嘉兴二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．

(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；

(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；

(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．

12．(2021•常州二模)如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．动点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．

(3)如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．

13．(2021•乐山模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值

14．(2021•河北区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．

(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；

(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．

15．(2021•长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点为M，经过C(1，1)，且与x轴正半轴交于A，B两点．

(1)如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；

(2)如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；

(3)如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于(0，5)，经过点C的直线l：y＝kx+m(k＞0)与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．

16．(2021秋•上城区校级期中)如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．

(1)求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；

(2)求⊙M的半径和圆心M的坐标；

(3)如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

17．(2021秋•西湖区校级期中)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，﹣3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．

(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；

(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；

(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．

18．(2021•雨花区二模)如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．

(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；

(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；

(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．

19．(2020•东海县二模)如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．(点A在点B的左侧)

(1)则m＝　   　，n＝　   　．

(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．

①求圆心M的坐标；

②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A'、C除外)．

20．(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)．其中，m≠0．

(1)当m＝1时．

①该二次函数的图象的对称轴是直线 　   　．

②求该二次函数的表达式．

(2)当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．

(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

21．(2022•炎陵县一模)抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C(0，3)，与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．

(3)如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；

(4)如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4(k＜0)与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．

22．(2022•杨浦区二模)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0，3)，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；

(3)如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．