专题23二次函数推理计算与证明综合问题 -挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题23二次函数推理计算与证明综合问题       

【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．

【例2】(2022•绍兴)已知函数y＝﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，﹣3)，(﹣6，﹣3)．

(1)求b，c的值．

(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【例3】(2022•青岛)已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．

(1)求m的值；

(2)判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【例4】(2022•杭州)设二次函数y1＝2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

(2)若函数y1的表达式可以写成y1＝2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．

(3)设一次函数y2＝x﹣m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1＝2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点(x0，0)时，求x0﹣m的值．

【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(﹣，﹣)，……都是和谐点．

(1)判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2)若二次函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．

一．解答题(共20题)

1．(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0)．

(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；

(2)设点P(m，y1)，Q(4，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．

2．(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)、点B(x2，y2)为抛物线y＝ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

(3)若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．

3．(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．

(1)抛物线的对称轴为直线 　   　，抛物线与y轴的交点坐标为 　   　；

(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

4．(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+(a﹣1)x﹣1．

(1)若该函数的图象经过点(1，2)，求该二次函数图象的顶点坐标．

(2)若(x1，y1)，(x1，y2)为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．

(3)当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．

5．(2022•盈江县模拟)抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．

(1)求b，c的值；

(2)抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．

①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；

②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．

6．(2022•沂水县二模)抛物线y＝ax2+bx经过点A(﹣4，0)，B(1，5)；点P(2，c)，Q(x0，y0)是抛物线上的点．

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；

(3)若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，(M、N两点不重合)，当MN≤5时，求m的取值范围．

7．(2022•姜堰区二模)设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x(2x+m)+n．

(1)求证：y1，y2的图象必有交点；

(2)若m＞0，y1，y2的图象交于点A(x1，a)、B(x2，b)，其中x1＜x2，设C(x3，b)为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

(3)在(2)的条件下，如果存在点D(x1+2，c)在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．

8．(2022•西城区校级模拟)已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．

(1)求此抛物线的顶点的坐标；

(2)若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；

(3)若这条抛物线经过点P(2m+1，y1)，Q(2m﹣t，y2)，且y1＜y2，求t的取值范围．

9．(2022•黄岩区一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．

(1)当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．

①求抛物线解析式；

②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；

(2)设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1(m≠n)时，M＝N．求证：a+b＝1．

10．(2022•路桥区一模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣(m+2)x+m(m是常数)．

(1)求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；

(2)若点A(2m+1，7)在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，若抛物线y＝x2﹣(m+2)x+m与直线y＝x+t(t是常数)在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．

11．(2022•安徽模拟)已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．

(1)若抛物线经过(﹣1，﹣2)时，求抛物线解析式；

(2)设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

(3)若线段AB两端点坐标分别是A(0，2)，B(2，2)，当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

12．(2022•富阳区一模)已知抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣)．

(1)若抛物线过点(2，1)，求抛物线的解析式；

(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1﹣x2)(y1﹣y2)＜0，试判断点(2，﹣9)在不在此抛物线上；

(3)抛物线上有两点E(0，n)、F(b，m)，当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．

13．(2022•河东区二模)已知抛物线y＝a(x+3)(x﹣4)与y轴交于点A(0，﹣2)．

(Ⅰ)求抛物线y＝a(x+3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标；

(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．

(i)若点D在抛物线上，求点D的坐标；

(ii)点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．

14．(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．

(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．

(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．

①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．

②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．

(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．

15．(2022•长春二模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．

(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；

(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．

①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；

②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；

(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．

16．(2022•开福区校级一模)已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c(a＞0)．

(1)若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；

(2)当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；

(3)若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．

17．(2022•安徽模拟)已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A(﹣2，2)，该图象与直线x＝2相交于点B．

(1)求点B的坐标；

(2)当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；

(3)点M(m，0)、N(n，0)是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．

18．(2022•江都区一模)对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣(x﹣3)2+2是有上界函数，其上确界是2．

(1)函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为 　   　(只填序号即可)，其上确界为 　   　；

(2)若反比例函数y＝(a≤x≤b，a＞0)的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；

(3)如果函数y＝﹣x2+2ax+2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．

19．(2022•亭湖区校级一模)已知抛物线y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A．

(1)点A的坐标为 　   　；对称轴为 　   　(用含a的代数式表示)；

(2)无论a取何值，抛物线都过定点B(与点A不重合)，则点B的坐标为 　   　；

(3)若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；

(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B)，若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．

20．(2022•义安区模拟)已知抛物线的图象经过坐标原点O．

(1)求抛物线解析式．

(2)若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点(0，1)，设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．

①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．

②求证：无论k为何值，k1k2为定值．