2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 36.调和线束的斜率形式及应用

这是一份2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 36.调和线束的斜率形式及应用，共4页。试卷主要包含了基本结论，基本应用等内容，欢迎下载使用。

若四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点，所形成的的四条射线，，，，称为调和线束. 对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.
结论[1]:如图1.若调和线束，，，的方程为.
那么.
图1 图2
2.基本应用
此处，我们选择比较经典的两个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述结论应用的范例.
例1.如图2，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
证明：由于直线是点关于椭圆的极线，所以成调和点列，分别设直线为，那么四直线的交比,利用交比的性质可得，又由于，故，即
，证毕.
详解：（1）椭圆的方程为.
（2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为①，代入椭圆方程并整理，得，设，则有：
②，在方程①中令得，的坐标为.
从而. 注意到共线，则有，即有. 所以
可入可得：，
又，所以. 故存在常数符合题意.
结论：已知椭圆，过定点作一直线交椭圆于两点，交点的极线于点，是椭圆上一点，且点横坐标为,则直线的斜率成等差数列.
例2．椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，试证明：为定值.
解析： （1）；
如图，连接，交与点，连接交轴于点，则点关于椭圆的极线为直线.又因点在轴上，则点对应的极线垂直于轴且过点和，则可知为一组调和点列，为一组调和线束，即有，则，因此，此时可认为直线的斜率为无穷大，则，即，即
，因此.
详解（1），
（2）由（1）知,直线AD方程为：；直线BP方程：，联立得直线BP和椭圆联立方程组解得P点坐标为，因为D,N,P三点共线,所以有：
参考文献：[1].田朋朋.三直线斜率等差性质的本质与推广.[J].数学通讯
思考题：（2022武汉九月调考）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.