2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 45.全国卷中的随机过程

盘点全国卷中的随机过程

一．全概率公式与随机游走

1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.

2.马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.

3.完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：

（1）；

（2）.

则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.

4.全概率公式： 设是一个完备事件组，则有

二．典例分析.

例.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

解析：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，

；；

则的分布列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得： 

是以为首项，为公比的等比数列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

分支过程与灭绝概率背景下的2021新高考2卷概率题分析

一．概率母函数[2]

1.设是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为，则定义幂级数，称为随机变量的概率母函数.

2.主要性质[2]：

（1）随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：

（2）.

二．分支过程[2]

设最初有个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成个物种，设其对应的概率为.

假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令表示在时刻存在的第个物种在下一时刻（第时刻）分裂成的物种个数，表示时刻中总物种的个数，则

下图说明具体的分裂过程：（公众号：凌晨讲数学）

三．分支过程的母函数[2]

分支过程任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：.

四．灭绝概率：分支过程的灭绝概率是方程的最小正根.

注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程的最小正根.

五．典例分析

（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

解析：（1）.

（2）设，因为，故，若，则，故.

，因为，，故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

若，因为在为增函数且，

而当时，因为在上为减函数，故，

故为的一个最小正实根，

若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.

若，则，故.

此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，

又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

注1.此题实际就是分支过程的经典应用.

注2.在最多分裂三个的情况下，，若使得，明显让越大，就越大，物种的灭绝概率就会小于1，持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎的一个最直观的解释！

参考文献：[2] 孙荣恒.随机过程及其应用[M].北京: 清华大学出版社，2003.

三．习题演练

习题1．足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（1）求（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．

（2）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，

第次触球者不是甲的概率为，则，

从而，又，是以为首项，公比为的等比数列．

则，∴，，

，故第19次触球者是甲的概率大

习题2. 某年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.

解析：小兔子开始在第1格，为必然事件，，

点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，

小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.

①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；

②小兔了先跳到第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；

因为，所以.

所以当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，

.所以获胜的概率.