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2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 02函数对称性与周期性及应用
展开函数对称性与周期性及应用
一.函数的对称性:
函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.
1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称,则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.(公众号:凌晨讲数学)
代数表示: (1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值,函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地,若函数满足,则函数的图象关于直线对称.
特别地,偶函数(关于轴对称),,即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数),函数值相等.
2.中心对称:函数上任意一点()关于点对称的点()也在函数图像上,此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像,点()为对称中心.
用代数式表示:(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地,奇函数(关于原点对称),,即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数),函数值相反.(公众号:凌晨讲数学)
3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部,即一旦函数具备对称性,则只需分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质.
(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.
(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象,然后再根据对称性作出另一半的图象.
(3).对于轴对称函数,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;对于中心对称函数,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.
二.函数的周期性
1.定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
2.函数周期性有关结论:
设是非零常数,若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立,
则函数是周期函数,且是它的一个周期.
(1). (2).
(3). (4).
3.函数的对称性与周期性
性质1. 若函数同时关于直线与轴对称,则函数必为周期函数,且.
性质2. 若函数同时关于点与点中心对称,则函数必为周期函数,且.(公众号:凌晨讲数学)
性质3.若函数既关于点中心对称,又关于直线轴对称,则函数必为周期函数,且.
特别地:
(1).若是奇函数且关于轴对称,则是周期函数,周期为______.
(2).若是偶函数且关于轴对称,则是周期函数,周期为______.
(3).若是奇函数且关于轴对称,则是周期函数,周期为______.(4).若是偶函数且关于轴对称,则是周期函数,周期为______.
4.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用:简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期的性质,则得到
整个函数的性质.
(2).图像:只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性:(公众号:凌晨讲数学)
由于间隔的函数图象相同,所以若函数在上单调增(减),则在上单调增(减).
二.典例分析
1.(2021新高考2卷)
已知函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,则( )
A. B. C. D.
解析:因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,因为函数为奇函数,则,故,其它三个选项未知.故选:B.
2.(2021全国甲卷)
设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
A. B. C. D.
因为是奇函数,所以①;
因为是偶函数,所以②.
令,由①得:,由②得:,
因为,所以,令,由①得:,所以.由两个对称性可知,函数的周期.所以.故选:D.
3.(2021全国乙卷)
已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )
A. B. C. D.
解析:因为的图像关于直线对称,所以,
因为,所以,即,
因为,所以,
代入得,即,
所以,.
因为,所以,即,所以.
因为,所以,又因为,
联立得,,所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,所以因为,所以.
所以故选:D
4.(2022新高考1卷)
已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
A. B. C. D.
解析:因为,均为偶函数,
所以即,,
所以,,则,故C正确;
函数,的图象分别关于直线对称,又,且函数可导,
所以,所以,所以,所以,,故B正确,D错误;若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误. 故选:BC.
5.(2022新高考2卷)
已知函数的定义域为R,且,则( )
A. B. C.0 D.1
解析:因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.故选:A.
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