2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 03. 方程与零点及应用

嵌套函数与复合方程及应用

一．基本原理：一元二次方程根的分布

对一元二次方程（其中）和二次函数，有：

（1）方程的个根都比小的充要条件是

（2）方程的个根都比大的充要条件是

（3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是

（4）方程的个根都在内的充要条件是

（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是.

（6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是

二．典例分析

题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数.

解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.

例1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

解析：令，则，作的图象如图，

设的零点为、，由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，则，解得．因此，实数的取值范围是. 故选：D.

小结：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

例2．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围　　

A． B． C． D．

解析：令，则方程方程．

如图是函数，的图象，根据图象可得：

方程有8个相异实根方程．有两个不等实数解，

且，．可得

．故选：．

例3．已知函数，，若关于的方程有

三个不同的实数解，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

解析：，，的图象如下：

设，则有三个不同的实数解，即为

有两个根，若时，代入得，即，另一根为只有

一个交点，舍去，若一个在上，一个在，上时，设

，解得．故选：．

题型2. 型方程

例4.已知函数，，则函数的

零点个数为　　个．

A．7       B．8          C．9          D．10

解析：令得，令得或，解得或或．或或．作出的函数图象如图所示：

由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，共有10个零

点．故选：．

小结：求解复合函数零点问题的技巧:

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像

（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.

例5．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（     ）

A．0 B． C． D．1

解析：根据题意，令，为常数，可得，且，

所以时有，将代入，等式成立，

所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，

所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.

至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复合函数的问题了.

三．习题演练

习题1．设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有

是自然对数的底数），则方程的解的个数为　　个．

A．1 B．0 C．3 D．2

解析：设，则，则条件等价为，令，则

，函数为单调递增函数，函数为一对一函数，解得，

，故，即，解得：，故选：．

2．设定义域为的函数，若关于的方程有5个

不同的实数解，则值为　　

A．0 B．1 C． D．不能确定

解：作函数的图象，关于的方程有5个不同的

实数解，方程有2个不同的实数解1，，，，

故，故选：．