2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 07. 极值点偏移研究

一道极值点偏移问题究竟可以有多少种解法

典例.（2021新高考1卷）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

证明：（1）函数的定义域为，又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故. 下面用不同的方法来证明：.这些方法均是证明极值点偏移的常用方法.

方法1.构造偏差函数.

若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.

设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.

方法2. 比值代换.

令，由，整理得，

于是，欲证只需证. 下面构造函数：

，故只需证明即可，对求二阶导数可证得.

方法3.不等式放缩

由于下面不等式组成立：以及. 下面我们用不等式放缩来完成证明：

，，整理可得：，即证得.

方法4.二次函数拟合

如图，考虑用二次函数拟合上述曲线，只需保证二次函数在顶点处的邻域内拟合即可.可将在处二阶泰勒展开，故只需满足方程组，求得：.即.这样的话，的根为，且，由，得证.

方法5：单调性同构

（2）因为，故，即，

故，设，由（1）可知不妨设.下面我们证明

由于，于是可得：.

构造函数，则上式显然成立，于是可得：

，得证！

方法6.先给出极值点偏移判定定理.

极值点偏移判定定理：若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：

（1）若，则；

（2）若，则.

反之，若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：

（3）若，则；

（4）若，则.

证明见第6讲，此处略去！

回到原题，由题知可得，若令，则原命题等价于：已知，证明：. 不妨假设,由于，故,,注意到为函数的极值点，因此此处我们只用判定定理证明.，由于是严格减函数，根据本文所给判定定理之（2）可得，证毕.

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