专题53+数列奇偶项问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题53 数列奇偶项问题

【方法点拨】

定义   在数列中，若任意，存在且，都有（ 为常数），则称数列是“隔项成等差”数列.

类型1   ：

由，两式相减得，这就得到“隔项成等差”数列，特别的，当时，数列为周期数列.

类型2   ：

由，两式相减得，这样，类型2就转化为类型1了，所不同的是不包含首项.

类型3   ：

对赋值，有，通过加减可得，从而，所以，这就得到“隔项成等差”数列.

【典型题示例】

例1   数列满足，且．记数列的前项和为，则当取最大值时为　　

A．11 B．12 C．11或13 D．12或13

【答案】

【解析】设，由，

可得，，，，，，，，

可得，可得，

则数列的奇数项为首项为，公差为1的等差数列；偶数项为首项为，公差为的等差数列，

且每隔两项的和为9，7，5，3，1，，，为递减，

可得，，，，，，

则当取最大值时或13．

例2   设数列的前项和为，已知，则 _______．

【答案】－2

【解析】由得，

两式相减得，

即，所以

两式相减得，

又将代入得，

所以.

例3  数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.

【解析】，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列前项和为，

，

.

点评：

本题综合考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和、分类讨论思想和数学计算能力.

例4    已知数列的前项和为，且，，则(     )

A．200 B．210 C．400 D．410

【答案】B

【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．

【解析】由题，，又因为

所以当时，可解的

当时，，与相减得

当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，

当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，

所以当为正整数时，，

则.故选B.

【巩固训练】

1.数列满足，则其前项和为________.

2.已知数列的前项和为，，，则        .

3. 设为数列的前n项和，则

（1）_____； （2）         ．

4.已知数列的前项和为，对任意，且

恒成立，则实数的取值范围是         ．

5.各项均为正数的数列的前n项和为，且，则       ．

6.设数列满足，数列前n 项和是，对任意的，，若，当n是偶数时，的表达式是___________．

7. 若数列满足，且数列的前项的和总满足（其中为常数），则数列的通项公式是          .    

8. 若数列满足，且，若数列单调递增，则 的取值范围为           .  

9.已知数列的首项，且满足，则=________．

【答案或提示】

1.【答案】1830

【解析】由，可得，，，，

，，···，

所以，，，，，，···，

所以从第一项起，每四项的和构成以10为首项，16为公差的等差数列

所以前项和为.

2.【答案】

【提示】奇偶项分别成等差数列.

3.【答案】；

【解法一】∵    ∴当时，

两式相减得，即

当是偶数时，，所以，即是奇数时，；

当是奇数时，，，即当是偶数时，.

∴

.

【解法二】∵    ∴

当是偶数时，，，即当是奇数时，；

当是奇数时，，，即当是偶数时，；

.

4.【答案】

【解析】当时，

当时，，所以

当为偶数时，；

当为奇数时，，即，.

所以.

当为偶数时，，当为奇数时，

又因为恒成立，，所以.

5.【答案】

【解析】∵    ∴（）

两式相减得，即

又因为的各项均为正数，所以（）

当时，由得，所以

故是以为首项，公差为的等差数列

∴.

6.【答案】

【解析】：，

因为，所以，即，所以数列中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n是偶数时，

的表达式是．

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】512

【分析】利用已知将n换为n+1，再写一个式子，与已知作比，得到数列的各个偶数项成等比，公比为2，再求得，最后利用等比数列的通项公式即可得出．

【解析】∵anan+1=2n，（）∴an+1an+2=2n+2．（）

∴,（），∴数列的各个奇数项成等比，公比为2，

数列的各个偶数项成等比，公比为2，

又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，

可得：当n为偶数时，∴a20＝1•29＝512．故答案为512．