专题57+一类过定点问题的不等式恒成立-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题57 一类过定点问题的不等式恒成立

【方法点拨】

      将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题，难点在于发现两函数过定点.

【典型题示例】

例1     已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】在上恒成立，即对于，两函数、的函数值异号，亦既是在此范围内，两函数的图象分别位于x轴的两侧，故将恒成立问题转化为了两函数的位置关系问题，再进一步发现两函数过定点（1,0），而函数含参，是二次函数，只需对的符号（即对称轴位置）及端点值进行讨论、限制即可.

【解析】∵，

∴在上恒成立，即在上恒成立

设，

易知，图象恒过点（1,0），下面对的符号进行分类讨论.

（1）当时，如上图左中，的对称轴在y轴的左侧，在对称轴右侧单减且恒过点（1,0），故满足题意.

(2) 当时，易知满足题意.

（3）当时，如上图右中，欲使在上恒成立

只需，即，解之得，故.

综上得，实数的取值范围为．

例2    设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．

【答案】

【分析】本题解法较多，按照一般思路，则可分为以下两种情况：

(A)， 无解；     (B)， 无解．

因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下图)

我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．

考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；

考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，或者，舍去，得答案：．

点评：

    本题的关键在于，一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题，二是发现两函数在x轴的右侧过定点.

【巩固训练】

1. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值的集合是          ．

2.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．

3.已知不等式对于任意的恒成立，其中是整数，则的取值集合为__________.

4. 已知函数，，若对于任一实数，与 至少有一个为正数，则实数的取值范围是

A．          B．       C．          D．

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】设，

因为恒过点（1,0），所以必有，解之得.

2.【答案】

【分析】考虑从“形”出发.

设，

易知，且函数横过点

又，故在上增

必有过

所以，解之得

又，所以．

3.【答案】

【解析】构造“形”易得，即

∵是整数

∴，或

解之得：，或

所以，故的取值集合为.

4.【答案】B

【解析】当时，显然不成立

当时，因当即时结论显然成立；

当时只要即可即

则.