高考数学三轮冲刺压轴小题14 立体几何的动态问题 (2份打包,解析版+原卷版)
展开一.方法综述
立体几何的动态问题是高考的热点,问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍,使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题,由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题,有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来,通过动态思维,观察它的变化规律,找到两个极端位置,即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题划归为静态问题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证.
二.解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1. 已知平行四边形中,,,,沿对角线将折起到的位置,使得平面平面,如图,若,均是线段的三等分点,点是线段上(包含端点)的动点,则二面角的正弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.如图,在正方体中,是中点,点在线段上,若直线与平面所成的角为,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.在正方体中,E是侧面内的动点,且平面,则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是
A. B. C. D.
3.如图,已知正方体的上底面中心为,点为上的动点,为的三等分点(靠近点),为的中点,分别记二面角,,的平面角为,则( )
A. B. C. D.
类型二 立体几何中动态问题中的距离问题
【例2】设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点,点P在面BCC1B1所在的平面内,若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等,则点P到点C1的最短距离是( )
A. B. C.1 D.
【举一反三】
1.已知三棱锥中,,且、、两两垂直,是三棱锥外接球面上一动点,则到平面的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
2.已知四边形是边长为5的菱形,对角线(如图1),现以为折痕将菱形折起,使点B达到点P的位置.棱,的中点分别为E,F,且四面体的外接球球心落在四面体内部(不含边界,如图2),则线段长度的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.如图,在正方体中,棱长为1,点为线段上的动点(包含线段端点),则下列结论错误的是( )
A.当时,平面
B.当为中点时,四棱锥的外接球表面为
C.的最小值为
D.当时,平面
类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题
【例3】在棱长为3的正方体中,E是的中点,P是底面所在平面内一动点,设,与底面所成的角分别为(均不为0),若,则三棱锥体积的最小值是( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1.长方体中,,,,为该正方体侧面内(含边界)的动点,且满足.则四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.如图,长方形中,,,点在线段(端点除外)上,现将沿折起为.设,二面角的大小为,若,则四棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.如图,在单位正方体中,点P在线段上运动,给出以下四个命题:
异面直线与间的距离为定值;
三棱锥的体积为定值;
异面直线与直线所成的角为定值;
二面角的大小为定值.
其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题
【例4】如图,直二面角,,,,且,,,,,,则点在平面内的轨迹是( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.一条直线 D.两条直线
【举一反三】
1.已知正方体的棱长为,M,N为体对角线的三等分点,动点P在三角形内,且三角形的面积,则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
2、在正方体中,已知点为平面中的一个动点,且点满足:直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小,则点的轨迹为( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
3.几何中常用表示的测度,当为曲线、平面图形和空间几何体时,分别对应其长度、面积和体积.在中,,,,为内部一动点(含边界),在空间中,到点的距离为的点的轨迹为,则等于( )
A. B. C. D.
三.强化训练
1.如图,棱长为1的正方体中,是线段上的动点,则下列结论正确的是( ).
①异面直线与所成的角为
②
③三棱锥的体积为定值
④的最小值为2.
A.①②③ B.①②④ C.③④ D.②③④
2.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E、F分别在棱AA1和AB上,且C1E⊥EF,则|AF|的最大值为( )
A. B.1 C. D.2
3.棱长为2的正方体中,为的中点,在底面内运动,与平面所成角为,与平面所成角为,若,则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.1
4.已知三棱锥的所有棱长均为2,为的中点,空间中的动点满足,,则动点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中,平面,M是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
6.在长方体中,,,分别是棱的中点,是底面内一动点,若直线与平面没有公共点,则三角形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中,,点为所在平面内的动点,若与所成角为定值,,则动点的轨迹是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
8.在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成的角为的点的个数为( )
A.0 B.3 C.4 D.6
9.如图,已知三棱锥,平面,是棱上的动点,记与平面所成的角为,与直线所成的角为,则与的大小关系为( )
A. B.
C. D.不能确定
10.在三棱锥中,平面,,,,是边上的一动点,且直线与平面所成角的最大值为,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.在直三棱柱中,底面是以B为直角的等腰三角形,且,.若点D为棱的中点,点M为面的一动点,则的最小值为( )
A. B.6 C. D.
12.在棱长为的正四面体中,点为所在平面内一动点,且满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
13.在棱长为的正方体中,是线段上的点,过的平面与直线垂直,当在线段上运动时,平面截正方体所得的截面面积的最小值是( )
A. B. C. D.
14.如图,斜线段与平面所成的角为,为斜足.平面上的动点满足,则点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
15.已知正方体的棱长为1,点,分别为线段,上的动点,点在平面内,则的最小值是( )
A. B. C. D.
16.如图,是等腰直角三角形,,点D是上靠近A的三等分点,点E是上靠近C的三等分点,沿直线将翻折成,所成二面角的平面角为,则( )
A. B.
C. D.
17.如图,棱长为的长方体中,为线段上动点(包括端点).则以下结论正确的为( )
A.三棱锥中,点到面的距离为定值
B.过点平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C.直线与面所成角的正弦值的范围为
D.当点和重合时,三棱锥的外接球体积为
18.如图,在棱长为的正方体中,点是平面内一个动点,且满足,则直线与直线所成角的取值范围为( )(参考数据:)
A. B. C. D.
19.如图,在三棱锥中,.且,则四面体的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
20.如图,三棱锥的底面在平面内,所有棱均相等,是棱的中点,若三棱锥绕棱旋转,设直线与平面所成的角为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
21.在正四面体中,点是棱的中点,点是线段上一动点,且,设异面直线与所成角为,当时,则的取值范围是__________.
22.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成),正方形是上底面正中间一个正方形,正方形是下底面最大的正方形,已知点是线段上的动点,点是线段上的动点,则线段长度的最小值为_______.
23.如图所示,正方体的棱长为2,E,F为,AB的中点,M点是正方形内的动点,若平面,则M点的轨迹长度为______.
24.如图,已知直四棱柱的所有棱长等于1,,和分别是上下底面对角线的交点,在线段上,,点在线段上移动,则三棱锥的体积最小值为______.
25.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF,则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______.
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