高考数学三轮冲刺压轴小题15 立体几何中最值问题 (2份打包，解析版+原卷版)

一．方法综述

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力。最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面。

此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.

二．解题策略

类型一   空间角的最值问题

【例1】如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【举一反三】 [来

1．在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是　　

A．             B．           C．              D．

2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为(    )

A． B． C． D．

3．是圆锥的直径，是它的一条母线，E、F是的两个三等分点（E点靠近S点），C点在圆O上运动（不与A、B两点重合），则二面角的平面角为则的最大值是_______．

类型二  空间距离的最值问题

【例2】正方体的棱长为1,、分别在线段与上,的最小值为           

【举一反三】

1.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．2

2．已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（   ）

A． B． C． D．

3．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（    ）

A． B． C．1 D．

4．如图，三棱锥中，，点P在侧面内，且点P到直线的距离为4，则点P到平面距离的最小值为_________．

【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题

类型三  周长、面积与体积的最值问题

【例3】已知点P是等边△ABC外一点，且点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上，若△ABC的边长为2，三棱锥P﹣ABC的外接球体积为4，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为___________.

【例4】已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是_____．

【例5】如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中：

①四边形的面积最小值为；

②直线EF与平面所成角的最大值为；

③四棱锥的体积为定值；

④点到截面S的距离的最小值为.

其中，所有真命题的序号为（    ）

A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④

【举一反三】

1．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若该三棱柱的外接球半径是，则三棱锥体积的最大值为__________．

2、如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（     ） 

A.    B.        C.         D.

3．已知正六棱锥的所有顶点都在一个半径为的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（   ）

A． B．

C． D．

三．强化训练

1．如图,在长方体中,,,,点是的中点,点是底面内(不包括边界)一动点,且三棱锥体积为,则的最小值是(    )

A． B． C． D．

2．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为　　

A． B． C． D．

3．设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,,则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

4.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（   ）

A． B． C． D．

5．已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为　　

A． B． C．4 D．2

6.如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（   ）

A． B． C． D．

7．如图，在矩形中， ,点为的中点， 为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使得平面平面设直线与平面所成角为，则的最大值为（  ）

A.         B.        C.          D.

8．如图所示，五面体中，正的边长为，平面，且.设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（     ）

A． B． C． D．

9．棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．1

10．在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

11．已知正四面体的边长为，点P、Q分别为线段，上的动点，满足，M为线段的中点，则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

12．如图是一个底面半径和高都是1的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积是沙面下降高度的函数，若正数，满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

13．如图，在长方体中，，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）

A． B． C． D．

14．在直三棱柱中，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

15．已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

16．在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ）

A． B． C． D．

17.在正四面体中，点是棱的中点，点是线段上一动点，且，设异面直线与所成角为，当时，则的取值范围是__________．

18．如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．

19．已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为        

21．已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是             

22．如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为，高为，铁桶盖的最大张角为，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为___________.

23．已知长方体外接球的体积为，，则矩形面积的最大值为__________．

24．某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为___________.

25．已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.

26．正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最大值为_________．

27．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．

28．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P//平面A1BM，则C1P长度的取值范围是____．