2022-2023学年山东省青岛市胶州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市胶州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 如图所示几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
2. 如图，斜坡AB长30m，坡顶离地面的高度BC为15m，则此斜坡的倾斜角为( )
A. 25°B. 30°C. 45°D. 60°
3. 如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是( )
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定
4. 已知反比例函数y=m-1x的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m>1 B. m≥1 C. m<1 D. m≤1
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )
A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：4
6. 点A(-2,y1)，B(4,y2)，C(6,y3)均在二次函数y=x2-2x-3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y1=y2>y3C. y1>y2>y3D. y3>y1=y2
7. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为x，那么根据题意列出的方程为( )
A. 10(1+x)2=19.6B. 10(1+2x)=19.6
C. 10(1-x)2=19.6D. 10(1-2x)=19.6
8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=cx与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，共18分）
9. 2sin30°+2cs45°=______．
10. 若yx=103，那么y-xx的值为______．
11. 如图，在△ABC中，AC>AB，过AB上一点D作直线DF交AC于点F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为______．
12. 请写出一个满足条件①②的二次函数表达式y=______．
①图象的对称轴为直线x=1；
②图象经过点(0,3)．
13. 如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为______cm2．
14. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，DF的延长线与CB的延长线交于点H，CE与DH相交于点G.若AB=10，则BG的长为______．
三、解答题（本题共11小题，共78分）
15. 已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)
16. 解方程：x2-2x-1=0．
17. 用配方法确定二次函数y=x2+4x+5图象的对称轴和顶点坐标．
18. 为弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小颖同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“柳暗花明又一村”．
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“暗”还是选“岸”难以抉择，若随机选择
其中一个，则小明回答正确的概率是______；
(2)小颖回答该问题时，对第二个字是选“暗”还是选“岸”、第四个字是选“名”还
是选“明”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小颖回答正确的概率．
19. 如图是旗杆AB竖直放置在矩形平台EFMC上的示意图，在某一时刻旗杆AB形成的影子的顶端恰好落在斜坡CD的D处，点F，M，D在一条直线上．现测得BC=10m，CD=8m，∠CDF=30°，∠ADF=45°，求旗杆AB的高度．
20. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
(1)判断2022是否是“纯数”？请说明理由；
(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”；
(3)不大于100的“纯数”的个数为______．
21. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，在边AD上是否存在一点E，使∠BEC=90°？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
22. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=mx的图象在第二象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中OA=OB=OD=2．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)求这两个函数的关系式；
(3)若点P在x轴上，且S△ACP=12，请直接写出点P的坐标．
23. 如图，在▱ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于点E，F．
(1)求证：OE=OF；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①∠OAE=∠OFC，②∠OAE+∠OFC=90°．
选择的条件：______(填写序号)．
(注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分)
24. 冬天来了，为了晾晒衣服，小明在自家前院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．按如图所示的直角坐标系，绳子的形状可以近似地用抛物线y=110(x-h)2+k来表示，如图(1)，已知BD=6m，绳子最低点与地面的距离为1.4m．
(1)求立柱AB的长度；
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图(2)，MN的长度为1.65m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应的函数关系式为y=14x2+mx+n，最低点离地面1.49米，求水平距离BN．
25. 如图，在等边△ABC中，AB=8cm.动点P从点A出发，沿AB方向运动；动点Q同时从点C出发，沿BC的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为1cm/s.过点P作PD⊥AC，垂足为D，PQ，AC相交于点E.设运动的时间为t(s)(0(1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形？
(2)设四边形PBQD的面积为S(cm2)，写出S与t的关系式；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使S△PDA：S四边形PBQD=1：10？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
(4)试判断S△PDE，S△PDA，S△CEQ之间有怎样的数量关系？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形，
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=30m，BC=15m，
∴sinA=BCAB=1530=12，
∴∠A=30°，
∴此斜坡的倾斜角为30°，
故选：B．
在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得sinA=12，从而求出∠A的度数，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图所示：当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．
故选：B．
直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答案．
此题主要考查了中心投影，正确得出人的影子在墙上的变化是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=m-1x的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而减小，
∴m-1>0，
解得：m>1．
故选：A．
直接利用反比例函数的性质，进而得出m-1的符号，即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积=(12)2=1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选：C．
证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE//BC，DE=12BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，
A(-2,y1)关于对称轴的对称点为(4,y1)，
∵1<4<6，
∴y3>y1=y2，
故选：D．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x>1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得10(1+x)2=19.6，
故选：A．
利用2021年底该市汽车拥有量=2019年底该市汽车拥有量×(1+2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据抛物线开口向下可得a<0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b>0，图象与y轴交在正半轴，故c>0，
则反比例函数y=cx的图象在第一、三象限，
一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，
故选：C．
首先根据抛物线开口向下可得a<0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b>0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
9.【答案】2
【解析】解：原式=2×12+2×22
=1+1
=2．
故答案为：2．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
10.【答案】73
【解析】解：∵yx=103，
∴y=103x，
∴y-xx=103x-xx=73．
故答案为：73．
直接利用已知得出y=103x，代入化简得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确把已知数据代入是解题关键．
11.【答案】2条
【解析】解：如图，

①作∠ADF'=∠C；②作DF//BC．
因此共有2种作法，
故答案为：2．
由相似三角形的判定方法可求解．
本题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
12.【答案】y=(x-1)2+2
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设抛物线解析式为y=(x-1)2+k，
将(0,3)代入y=(x-1)2+k得3=1+k，
解得k=2，
∴y=(x-1)2+2，
故答案为：y=(x-1)2+2．
设y=(x-1)2+k，将(0,3)代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
13.【答案】123
【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为4cm，底面三角形的高为23cm，三棱柱的高为6cm，
所以，其左视图为长方形，长为6cm，宽为23m，面积为6×23=123(cm2)，
故答案为：123．
由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．
14.【答案】10
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

∵AB=10，
∴C(10,0)，D(10,10)，A(0,10)，
∵E为AD的中点，F为AB的中点，
∴E(5,10)，F(0,5)，
由C(10,0)，E(5,10)可得直线CE解析式为y=-2x+20，
由D(10,10)，F(0,5)可得直线DF解析式为y=12x+5，
解 y=-2x+20y=12x+5得x=6y=8，
∴G(6,8)，
∴BG=62+82=10，
故答案为：10．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，由AB=10，E为AD的中点，F为AB的中点，可得E(5,10)，F(0,5)，由C(10,0)，E(5,10)可得直线CE解析式为y=-2x+20，由D(10,10)，F(0,5)可得直线DF解析式为y=12x+5，即可解得G(6,8)，从而BG=10．
本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出点G的坐标．
15.【答案】解：如图，矩形ABCD为所求．

【解析】分别以A、C点为圆心，BC、BA为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABCD满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．
16.【答案】解：∵a=1，b=-2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=-22-4×1×(-1)=8>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=-(-2)±82×1=1±2，
∴x1=1+2，x2=1-2．
【解析】本题考查了解一元二次方程的方法-公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
17.【答案】解：∵y=x2+4x+5=(x+2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为(-2,1)．
【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
18.【答案】12
【解析】解：(1)由题意知，第二个字共有2种等可能结果，其中正确的只有1种结果，
所以小明回答正确的概率是12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：

由树状图知，共有4种等可能结果，其中小颖回答正确的只有1种结果，
所以小颖回答正确的概率为14．
(1)利用概率公式直接计算即可；
(2)画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小颖回答正确的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：如图，延长AB交FM的于T，

∵四边形BCMT是矩形，
∴BC=MT=10米，BT=CM，
在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，CD=8米，∠CDM=30°，
∴DM=CD⋅cs30°=8×32=43(米)，CM=12CD=4(米)，
∴DT=MT+DM=(10+43)(米)，
∵∠ADT=45°，∠ATD=90°，
∴AT=TD=(10+43)米，
∴AB=1T-BT=10+43-4=(6+43)米，
答：旗杆AB的高度为(6+43)米．
【解析】根据题意得出CM，DM的长，再结合∠ADF度数得出AT的长，进而得出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是求出DT的长．
20.【答案】12
【解析】解：(1)∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，
∴2022是“纯数”；
(2)2023到2050之间的“纯数”有：2030，3031，2032，；
(3)不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，共12个，
故答案为：12．
(1)根据“纯数”的定义判断；
(2)根据“纯数”的定义求解；
(3)根据“纯数”的定义写出数，再查个数．
本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．
21.【答案】解：不存在．
理由如下：
取BC的中点O，连接OE，以BC为直径的圆交AD于E点，则∠BEC=90°，
设AE=x，则DE=5-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=3，∠A=∠D=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∴Rt△ABE∽Rt△DEC，
∴AECD=ABDE，即x3=35-x，
整理得x2-5x+9=0，
此方程没有实数解，
∴在边AD上不存在一点E，使∠BEC=90°．
【解析】取BC的中点O，连接OE，以BC为直径的圆交AD于E点，根据圆周角定理∠BEC=90°，设AE=x，则DE=5-x，证明Rt△ABE∽Rt△DEC，利用相似比得到x3=35-x，整理得x2-5x+9=0，由于此方程没有实数解，从而可判断在边AD上不存在一点E，使∠BEC=90°．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)∵OA=OB=OD=2．
∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(0,2)，
(2)∵OB//CD，
∴OB：CD=OA：AD，
∴CD=2×42=4，
∴C点坐标为(-2,4)，
把C(-2,4)代入y=mx得m=-2×4=-8，
∴反比例函数解析式为y=-8x，
把A(2,0)，B(0,2)代入y=kx+b得2k+b=0b=2，
解得k=-1b=2，
∴一次函数解析式为y=-x+2；
(3)设P(t,0)，
∵S△ACP=12，
而S△PBA+S△PBC=S△PAC，
∴12|t-2|×4=12，解得t=8或t=-4，
∴点P的坐标为(8,0)或(-4,0)．
【解析】(1)利用OA=OB=OD=2直接写出A点坐标和B点坐标；
(2)再利用平分线分线段成比例定理计算出CD得到C点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式；
(3)设P(t,0)，利用三角形面积公式得到12|t-2|×4=12，然后其出t得到点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23.【答案】①或②
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中，
∠AFO=∠CEO∠FAO=∠ECOOA=OC，
∴△AOF≌△COE(AAS)，
∴OE=OF；
(2)解：①四边形AECF为矩形．
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE//CF，
∴∠AEO=∠OFC，
∵∠OAE=∠OFC，
∴∠AEO=∠OAE，
∴OA=OE，
∴AC=EF，
∴四边形AECF为矩形；
②四边形AECF为菱形．
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE//CF，
∴∠AEO=∠OFC，
∵∠OAE+∠OFC=90°，
∴∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠AOE=90°，
即AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
(1)结合平行四边形的性质利用AAS证明△AOF≌△COE可证明结论；
(2)选择①，可先证明四边形AECF为平行四边形，再证明AC=EF可证明四边形AECF为矩形；选择②，可可先证明四边形AECF为平行四边形，再证明AC=EF可证明四边形AECF为菱形．
本题主要考查平行四边形的性质与判定，矩形，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：抛物线的对称轴为x=12×BD=3，
即顶点的坐标为：(3,1.4)，
则抛物线的表达式为：y=0.1(x-3)2+1.4，
当x=0时，y=0.1(x-3)2+1.4=0.1(0-3)2+1.4=2.3，
即AB=2.3；
(2)由AB=2.3知，点A(0,2.3)，
则抛物线F1的表达式为：y=14x2+mx+2.3，
由题意得：y=c-b24a=2.3-m24×14=1.49，
解得：m=0.9(舍去)或-0.9，
故抛物线F1的表达式为：y=14x2-0.9x+2.3，
令y=14x2-0.9x+2.3=1.65，
解得：x=1(舍去)或2.6，
即BN=2.6．
【解析】(1)由题意得：顶点的坐标为：(3,1.4)，可求出抛物线的表达式，进而求解；
(2)由y=c-b24a=2.3-m24×14=1.49，求出m的值，得到抛物线F1的表达式为：y=14x2-0.9x+2.3，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，主要考查的是二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠ACB>∠BQP，△BPQ是直角三角形，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
∴8+t=2(8-t)，
∴t=83，
∴当t为83时，△BPQ为直角三角形；
(2)如图，过点Q作QH⊥AC于H，

∵∠A=60°，AP=t cm，PD⊥AC，
∴∠APD=30°，
∴AD=12PD=t2cm，PD=32t cm，
∴DC=(8- t2)cm，
∵∠A=∠ACB=∠QCH=60°，∠H=∠ADP=90°，AP=CQ=t cm，
∴△APD≌△CQH(AAS)，
∴AD=CH=t2cm，QH=PD=32t cm，
∵S=S△ABC-S△APD+S△DCQ，
∴S=34×82-12×t2×32t+12×32t×(8-t2)=-34t2+23t+163；
(3)∵S△PDA：S四边形PBQD=1：10，
∴10×12×t2×32t=-34t2+23t+163，
∴t=4或t=-83(舍去)，
∴当t为4时，使S△PDA：S四边形PBQD=1：10；
(4)S△PDE=S△PDA+S△CEQ，理由如下：

由(2)可知：△APD≌△CQH(AAS)，
∴S△APD=S△CQH，PD=HQ，
又∵∠PED=∠QEH，∠PDE=∠H=90°，
∴△PDE≌△QHE(AAS)，
∴S△PED=S△QHE，
∴S△PED=S△QHE=S△ECQ+S△CHQ=S△PDA+S△CEQ．
【解析】(1)由直角三角形的性质可得BQ=2BP，列出等式可求解；
(2)由直角三角形的性质可求AD，PD的长，由“AAS”可证△APD≌△CQH，可得AD=CH=t2cm，QH=PD=32t cm，由面积的和差关系可求解；
(3)由面积关系列出方程可求解；
(4)由全等三角形的性质可得S△APD=S△CQH，PD=HQ，由“AAS”可证△PDE≌△QHE，可得S△PED=S△QHE，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．