2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学（理）试题 PDF版

昆明市第一中学2021届摸底考试

参考答案（理科数学）

一、选择题 

1. 解析：因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，选B．
2. 解析：因为集合，集合，所以，选A．
3. 解析：因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，又因为，所以，选C．
4. 解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C．
5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，，另外中间一位数有种可能，所以有个，选A．
6. 解析：函数的定义域是，，令，解得，故函数在上单调递减，选D．
7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中和的分界线可知俯视图是圆心角为的扇形，故该几何体的体积为，选C．
8. 解析：令，；，.所以，，所以，选C．
9. 解析：由题意，，，所以，选C．
10. 解析：由题意，△是以斜边的直角三角形，以三角形所在平面截球所得的小圆面圆心在中点，又因为平面平面，所以平面截球所得平面即为大圆.因为△是边长为的正三角形，其外接圆半径，故该三棱锥外接球的半径，其表面积，选D．
11. 解析：解析：因为的最小正周期为，故，将其向右平移后所得图像对应的解析式为，又为奇函数，所以，，解得，故.令（），解得（），取，，故①正确；令（），解得（），的对称中心为（），②正确；又由（），取知是原函数的一个单调递减区间，又，故③正确；对于④，函数在此区间上的零点只有，两个，故错误，综上所述正确结论的编号为①②③，选A．
12. 解析：依题意函数的图象关于轴及直线对称，所以的周期为，作出时 的图象，由的奇偶性和周期性作出的图象，关于的方程恰有三个不同的实数根，可转化为函数与的图象有三个不同的交点，由数形结合可知，解得，选B．

二、填空题

13. 解析：如图所示在处取得最大值，且．

14. 解析：由平方可得：，所以在方向上的投影是．
15. 解析：由题意可得，直线过抛物线的焦点，设、在上的射影分别是、，过作于．由抛物线的定义可得出中，得，，解得．
16. 解析：因为平面，所以，故①对；因为点到直线的距离是定值，点到平面的距离也是定值，所以三棱锥的体积为定值，故②对；线段在底面上的正投影是线段，所以△在底面内的正投影是△.又因为线段的长是定值，所以线段是定值，从而△的面积是定值，故③对；设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故④对.所以正确结论是①②③④．

三、解答题

（一）必考题

17.       解：（1）由得：，因为 ，

所以 ，所以，；

由此猜想数列的通项公式；

证明：因为 ，所以，

所以 ，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，即：.（用数学归纳法证明也可）      ………6分

（2）由（1）得，所以

.                         ………12分

18. 解：（1）证明：因为，，且，可得，，所以

又平面平面，平面平面，

四边形是矩形，，平面，可得平面，平面，则，

，平面，，故平面， 

平面，

所以，平面平面．                                      ………6分

（2）由（1）知△，△，△都是直角三角形，．设，则，，， ，解得，

如图以点为坐标原点，为轴，为轴，

为轴建立空间直角坐标系.

可得，，，，  

故，， ，

设为平面的一个法向量，则

，得，同理可得平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

，

，

所以，二面角的余弦值为.                           ………12分

19. 解：（1）设“甲获得合格证书”为事件，“乙获得合格证书”为事件，“丙获得合格证书”为事件，则，，.

因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.             ………6分

（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件，

则.

所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是.                    ………12分

20. 解：（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，

所以，

由椭圆定义知：动点的轨迹为以原点为中心的椭圆，

其中：，，又，

所以曲线的轨迹方程为.          ………5分

（2）设，，则，由题意知直线的斜率必存在，

设直线的方程为：，

由消得：，

故

因为，，共线，其中，

所以，

整理得，

则，解得，此时

则直线的方程为：，

所以直线恒过定点                         ………12分

21. 解：（1）函数的定义域为，

，

当时，，在上单调递增；

当时，令，得．

所以在上单调递减；在上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；在上单调递增．………6分

（2）当时，，所以．

设，

则，

当时，，在上单调递增，

所以，所以，

故．

由（1）可知，当时，在上单调递增．

所以成立；

当时，，且在上单调递增，

所以成立；

当时，在上单调递减；

则有，不合题意．

综上所述，实数的取值范围为.               ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）由得，

代入曲线得：，

所以曲线的普通方程为.        

因为直线过点，斜率为，

所以的参数方程为  （为参数）.           ………5分

（2）设，所对应参数分别为,，

将的参数方程代入曲线得:，

则,且，

所以，.                          ………10分

23. 解：（1）时，由不等式可得：，

可化为： 或 或，

解得： 或 或 ，

即：，所以，不等式的解集为.                    ………5分

（2）因为

所以的图象与轴所围成的三角形的三个顶点分别为，，，

由题意，，

整理得：，

因为，所以解得：，

所以，实数的取值范围为.                    ………10分