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初中数学冀教版八年级下册22.1 平行四边形的性质优质ppt课件
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这是一份初中数学冀教版八年级下册22.1 平行四边形的性质优质ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了课前导入，新课精讲，学以致用，课堂小结，情景导入，探索新知，知识点，平行四边形的定义，典题精讲，AE＝CF等内容，欢迎下载使用。
从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质.
在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法.
教室 瓷砖图案 伸缩门 晾衣架
我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelgram).连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线(diagnal). 两条对角线的交点叫做平行四边形的中心(center).
如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作 “□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”.线段AC， BD 为□ABCD 的两条对角线，点O 为它的中心.
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2. 表示方法：平行四边形用符号“▱ ”表示，如图，平 行四边形ABCD 记作“▱ABCD ”， 读作“平行四边形 ABCD ”．3. 数学表达： ⇔四边形ABCD 是平行四边形. 即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD 是平行 四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，则AB∥CD， AD∥BC.
例1 如图，在▱ABCD 中，过点P 作直线EF，GH 分别平 行于AB，BC，那么图中共有______ 个平行四边形．
导引： 根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由 已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边 形的定义可以判定四边形ABFE 是平行四边形，同理 可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、 四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边 形PFCH 都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD， 即共有9个平行四边形．
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质． 对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．
在上面的问题中，销售员的月工资数y (元)与他当月销售产品数x (件)之间的函数关系式为: y =10x+3 000. 当销售员的工资为4 100元时，有4100=10x+3 000.解得y =110. 要想使月工资超过4 500元，只要使此10x+3 000 >4 500即可.解得 x >150.
1 如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB=3.求▱ABCD 的周长.
在▱ABCD 中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因为AC 平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以▱ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.
如图，▱ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )A．13 B．14 C．15 D．18
平行四边形的中心对称性
1. 如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形不动，将上面的图形绕中心O 旋转180°.这两个图形能完全重合？平行四边形是不是中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？被对角线分成的三角形中，关于点O 成中心对称的三角形有几对？
2. 在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD 的对边AD 与CB，AB 与CD 之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD 与∠DCB，∠ABC 与∠CDA 之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD 之间具有怎样的数量关系?3. 把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.
例2 下列所述图形中，是中心对称图形的是( )A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.故选B．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别是A (a，b)，B (4，－2)，C (－a，－b)，则关于点D 的说法正确的是( )甲：点D 在第一象限．乙：点D 与点A 关于原点对称．丙：点D 的坐标是(－4，2)．丁：点D 与原点距离是2 .A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙
平行四边形的性质——对边相等
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明.
如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，∴ △ABC ≌△CDA.∴AD =CD，AB =CD.
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.
1. 边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
例3 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4
根据BM 平分∠ABC 和AB∥CD 可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD 的周长是14得到CD 的长，进而得到DM 的长．具体过程如下：∵在▱ABCD 中，AB∥CD，BM 是∠ABC 的平分线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2.又∵▱ABCD 的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD 和BM 平分∠ABC 就得到△BCM 是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行四边形的周长的一半”会经常用到．
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD 的周长.
在▱ABCD 中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.所以▱ABCD 的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.
2 已知：如图，在▱ ABCD 中，E 为BC 的中点，DE 与AB 的延长线相交于点F.求证：B 为AF 的中点.
在▱ABCD 中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E 为BC 的中点，所以BE＝CE.在△FBE 和△DCE 中，所以△FBE ≌△DCE.所以BF＝CD.又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B 为AF 的中点．
如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，若△CED 的周长为6，则▱ABCD的周长为( )A．6 B．12 C．18 D．24
如图，在▱ABCD中，BM 是∠ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4
平行四边形的性质——对角相等
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明.
如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，∴ △ABC ≌△CDA.∴∠B=∠D.请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.
角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
例4 如图，在▱ABCD 中，已知∠A＋∠C＝120°，求平 行四边形各角的度数． 由平行四边形的对角相等， 得∠A＝∠C，结合已知条件 ∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A 和∠C 的度数； 再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D 的度数． 在▱ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°. ∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°.
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．
在▱ ABCD 中，已知∠A， ∠B 的度数之比为5：4.求∠C 的度数.
在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.又因为∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°× ＝100°.所以∠C＝∠A＝100°.
2 已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求平行四边形各角的度数.
3 求平行四边形四个内角的度数和.
如图所示，在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.所以平行四边形ABCD 的四个内角的和为2×180°＝360°.
4 如图，在▱ ABCD 中， CE⊥BA，交BA 延长线于点E， ∠EAD＝46°.求∠BCE 和∠D 的度数.
如图，记AD 与CE 交于点F，在▱ABCD 中，因为BA∥CD，所以∠D＝∠EAD＝46°.因为CE⊥BA，所以∠AEC＝90°.所以∠AFE＝90°－46°＝44°.又因为AD∥BC，所以∠BCE＝∠AFE＝44°.
5 如图，在▱ ABCD 中，点E，F 在对角线BD上，且BE=DF .猜想AE 与CF 有怎样的数量关系，并对你的猜想给与证明.
证明：在▱ABCD 中，因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF.所以AE＝CF.
6 已知：如图，在▱ ABCD 中，E，F 分别是BC，AD上的点，且BE=DF.求证AE=CF.
在▱ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝CF.
如图，在▱ABCD 中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC 的长是( )A. B．2C．2 D．4
如图，在▱ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度数是( )A．80° B．50° C．40° D．30°
在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线分边BC 为3 cm和4 cm两部分，则▱ABCD 的周长为( )A．20 cm B．22 cm C．10 cm D．20 cm或22 cm
易错点：不注意分情况讨论，造成漏解
如图，E，F 分别是▱ABCD 的边AD，BC 上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到四边形EFC′D ′，ED ′交BC 于点G，则△GEF 的周长为( )A．6 B．12 C．18 D．24
如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E，交BC 的延长线于点G，∠ABC 的平分线交CD 于点F，交AD 的延长线于点H，AG 与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )A．BO＝OH B．DF＝CEC．DH＝CG D．AB＝AE
已知▱ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，则∠B 的度数是( )A．100° B．160° C．80° D．60°
如图，在▱ABCD 中，DE＝CE，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B 的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F. ∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE， ∴△ADE ≌△FCE.(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC. ∵△ADE ≌△CEF，∴AD＝CF. ∴CB＝CF.∴BF＝2BC. ∵AB＝2BC，∴BF＝AB. ∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°. ∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F 分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF 交BD 于O. (1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于G，当FG＝1时，求AE 的长．
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE. 在△ODF 和△OBE 中， ∴△ODF ≌△OBE(AAS)， ∴BO＝DO.
(2) ∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA＝∠GFD＝90°. ∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°. ∴AE＝GE.∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠GDO＝90°. ∴∠GOD＝∠G＝45°.∴DG＝DO. ∴OF＝FG＝1. 由(1)可知，△ODF ≌△OBE， ∴OE＝OF＝1. ∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.
如图所示的是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE.甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？请说明理由．
两人同时到达F 站．理由如下：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴BA＝DE，BD＝AE，①且S△ABD＝S△ADE∵AF∥BC，EC⊥BC，∴EC⊥AF.∴EF 为△ADE 的边AD上的高，CF 与△ABD 的边AD上的高相等．∴S△ABD＝ AD ·CF，S△ADE＝ AD ·EF.
∵S△ABD＝S△ADE，∴CF＝EF.②∴DF 为EC 的垂直平分线，∴DC＝DE.又BA＝DE，∴DC＝BA.③由①②③得BA＋AE＋EF＝BD＋DC＋CF.又∵两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，∴两人同时到达F 站．
如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 进行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF 与BD 是否平行，并说明理由．
(1)由折叠可知： ∠CDB＝∠EDB. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠EBD， ∴∠EDB＝∠EBD；
(2) AF∥BD，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE，由折叠可知：DC＝DF. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC＝AB，∴AB＝DF. ∴AB－BE＝DF－DE，即AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， 在△BED 中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°， 即2∠EDB＋∠DEB＝180°， 同理在△AEF 中，2∠EFA＋∠AEF＝180°， ∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠EDB＝∠EFA，∴AF∥BD.
1. 平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用．平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两对角线的交点．2. 平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补和相等提供了很重要的依据．注意常和全等三角形一起综合运用．
从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质.
在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法.
教室 瓷砖图案 伸缩门 晾衣架
我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelgram).连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线(diagnal). 两条对角线的交点叫做平行四边形的中心(center).
如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作 “□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”.线段AC， BD 为□ABCD 的两条对角线，点O 为它的中心.
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2. 表示方法：平行四边形用符号“▱ ”表示，如图，平 行四边形ABCD 记作“▱ABCD ”， 读作“平行四边形 ABCD ”．3. 数学表达： ⇔四边形ABCD 是平行四边形. 即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD 是平行 四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，则AB∥CD， AD∥BC.
例1 如图，在▱ABCD 中，过点P 作直线EF，GH 分别平 行于AB，BC，那么图中共有______ 个平行四边形．
导引： 根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由 已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边 形的定义可以判定四边形ABFE 是平行四边形，同理 可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、 四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边 形PFCH 都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD， 即共有9个平行四边形．
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质． 对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．
在上面的问题中，销售员的月工资数y (元)与他当月销售产品数x (件)之间的函数关系式为: y =10x+3 000. 当销售员的工资为4 100元时，有4100=10x+3 000.解得y =110. 要想使月工资超过4 500元，只要使此10x+3 000 >4 500即可.解得 x >150.
1 如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB=3.求▱ABCD 的周长.
在▱ABCD 中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因为AC 平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以▱ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.
如图，▱ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是( )A．13 B．14 C．15 D．18
平行四边形的中心对称性
1. 如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形不动，将上面的图形绕中心O 旋转180°.这两个图形能完全重合？平行四边形是不是中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？被对角线分成的三角形中，关于点O 成中心对称的三角形有几对？
2. 在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD 的对边AD 与CB，AB 与CD 之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD 与∠DCB，∠ABC 与∠CDA 之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD 之间具有怎样的数量关系?3. 把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.
例2 下列所述图形中，是中心对称图形的是( )A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.故选B．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别是A (a，b)，B (4，－2)，C (－a，－b)，则关于点D 的说法正确的是( )甲：点D 在第一象限．乙：点D 与点A 关于原点对称．丙：点D 的坐标是(－4，2)．丁：点D 与原点距离是2 .A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙
平行四边形的性质——对边相等
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明.
如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，∴ △ABC ≌△CDA.∴AD =CD，AB =CD.
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.
1. 边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
例3 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4
根据BM 平分∠ABC 和AB∥CD 可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD 的周长是14得到CD 的长，进而得到DM 的长．具体过程如下：∵在▱ABCD 中，AB∥CD，BM 是∠ABC 的平分线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2.又∵▱ABCD 的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD 和BM 平分∠ABC 就得到△BCM 是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行四边形的周长的一半”会经常用到．
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD 的周长.
在▱ABCD 中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.所以▱ABCD 的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.
2 已知：如图，在▱ ABCD 中，E 为BC 的中点，DE 与AB 的延长线相交于点F.求证：B 为AF 的中点.
在▱ABCD 中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E 为BC 的中点，所以BE＝CE.在△FBE 和△DCE 中，所以△FBE ≌△DCE.所以BF＝CD.又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B 为AF 的中点．
如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，若△CED 的周长为6，则▱ABCD的周长为( )A．6 B．12 C．18 D．24
如图，在▱ABCD中，BM 是∠ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4
平行四边形的性质——对角相等
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明.
如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，∴ △ABC ≌△CDA.∴∠B=∠D.请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.
角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
例4 如图，在▱ABCD 中，已知∠A＋∠C＝120°，求平 行四边形各角的度数． 由平行四边形的对角相等， 得∠A＝∠C，结合已知条件 ∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A 和∠C 的度数； 再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D 的度数． 在▱ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°. ∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°.
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．
在▱ ABCD 中，已知∠A， ∠B 的度数之比为5：4.求∠C 的度数.
在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.又因为∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°× ＝100°.所以∠C＝∠A＝100°.
2 已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求平行四边形各角的度数.
3 求平行四边形四个内角的度数和.
如图所示，在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.所以平行四边形ABCD 的四个内角的和为2×180°＝360°.
4 如图，在▱ ABCD 中， CE⊥BA，交BA 延长线于点E， ∠EAD＝46°.求∠BCE 和∠D 的度数.
如图，记AD 与CE 交于点F，在▱ABCD 中，因为BA∥CD，所以∠D＝∠EAD＝46°.因为CE⊥BA，所以∠AEC＝90°.所以∠AFE＝90°－46°＝44°.又因为AD∥BC，所以∠BCE＝∠AFE＝44°.
5 如图，在▱ ABCD 中，点E，F 在对角线BD上，且BE=DF .猜想AE 与CF 有怎样的数量关系，并对你的猜想给与证明.
证明：在▱ABCD 中，因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF.所以AE＝CF.
6 已知：如图，在▱ ABCD 中，E，F 分别是BC，AD上的点，且BE=DF.求证AE=CF.
在▱ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝CF.
如图，在▱ABCD 中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC 的长是( )A. B．2C．2 D．4
如图，在▱ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度数是( )A．80° B．50° C．40° D．30°
在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线分边BC 为3 cm和4 cm两部分，则▱ABCD 的周长为( )A．20 cm B．22 cm C．10 cm D．20 cm或22 cm
易错点：不注意分情况讨论，造成漏解
如图，E，F 分别是▱ABCD 的边AD，BC 上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到四边形EFC′D ′，ED ′交BC 于点G，则△GEF 的周长为( )A．6 B．12 C．18 D．24
如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E，交BC 的延长线于点G，∠ABC 的平分线交CD 于点F，交AD 的延长线于点H，AG 与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )A．BO＝OH B．DF＝CEC．DH＝CG D．AB＝AE
已知▱ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，则∠B 的度数是( )A．100° B．160° C．80° D．60°
如图，在▱ABCD 中，DE＝CE，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B 的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F. ∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE， ∴△ADE ≌△FCE.(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC. ∵△ADE ≌△CEF，∴AD＝CF. ∴CB＝CF.∴BF＝2BC. ∵AB＝2BC，∴BF＝AB. ∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°. ∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F 分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF 交BD 于O. (1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于G，当FG＝1时，求AE 的长．
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE. 在△ODF 和△OBE 中， ∴△ODF ≌△OBE(AAS)， ∴BO＝DO.
(2) ∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA＝∠GFD＝90°. ∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°. ∴AE＝GE.∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠GDO＝90°. ∴∠GOD＝∠G＝45°.∴DG＝DO. ∴OF＝FG＝1. 由(1)可知，△ODF ≌△OBE， ∴OE＝OF＝1. ∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.
如图所示的是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE.甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？请说明理由．
两人同时到达F 站．理由如下：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴BA＝DE，BD＝AE，①且S△ABD＝S△ADE∵AF∥BC，EC⊥BC，∴EC⊥AF.∴EF 为△ADE 的边AD上的高，CF 与△ABD 的边AD上的高相等．∴S△ABD＝ AD ·CF，S△ADE＝ AD ·EF.
∵S△ABD＝S△ADE，∴CF＝EF.②∴DF 为EC 的垂直平分线，∴DC＝DE.又BA＝DE，∴DC＝BA.③由①②③得BA＋AE＋EF＝BD＋DC＋CF.又∵两人同时出发，两车速度相同，途中耽误时间相同，∴两人同时到达F 站．
如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 进行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF 与BD 是否平行，并说明理由．
(1)由折叠可知： ∠CDB＝∠EDB. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠EBD， ∴∠EDB＝∠EBD；
(2) AF∥BD，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE，由折叠可知：DC＝DF. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC＝AB，∴AB＝DF. ∴AB－BE＝DF－DE，即AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， 在△BED 中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°， 即2∠EDB＋∠DEB＝180°， 同理在△AEF 中，2∠EFA＋∠AEF＝180°， ∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠EDB＝∠EFA，∴AF∥BD.
1. 平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用．平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两对角线的交点．2. 平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补和相等提供了很重要的依据．注意常和全等三角形一起综合运用．
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