22.2 平行四边形的判定 第一课时-八年级数学下册课件（冀教版）

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22.2 平行四边形的判定第1课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入 一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”如何说明右图是平行四边形？新课精讲探索新知1知识点由两组对边分别平行判定平行四边形平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴反过来， ∵ ∴四边形ABCD 是平行四边形.探索新知例1 如图，在▱ABCD 中，∠1＝∠2.求证：四边形BEDF 是平行四边形．导引：要证四边形BEDF 是平行四边形，由定义知需证：DE∥BF 及DF∥BE，其中DE∥BF 可由▱ABCD 的性质得出，而DF∥BE 可通过同位角相等推出．探索新知证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB (平行四边形的两组对边分别平行)，∴DE∥BF，∴∠1＝∠DFA.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DFA，∴DF∥BE，∴四边形BEDF 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．探索新知 当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两组对边分别平行；当题目中有要证的平行四边形时，首先应联想到它的两组对边是否分别平行．平行四边形的定义的逆向利用及正向利用是后面学习平行四边形的性质及判定的主要依据．典题精讲1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？解：是；说明理由略．典题精讲2 已知：如图，把△ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到△DCB. 求证：四边形ACDB 是平行四边形.解：由把△ABC 绕边BC 的中点O旋转180°得到△DCB 可知，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，由∠ABC＝∠DCB 得AB∥CD，所以四边形ACDB 是平行四边形．典题精讲下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(　　)A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．∠A＝∠B＝∠C＝90°C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°D典题精讲小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是(　　)A．①② B．①④ C．③④ D．②③D探索新知2知识点由一组对边平行且相等判定平行四边形 小明用下列方法得到一个四边形ABCD. 画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD.探索新知(1)将线段AB 沿BC 方向平行移动，线段AB 与CD 能不能重合？你认为这样得到的四边形ABCD 是不是平行四边形？(2)由此，你发现了什么结果？与大家交流.我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD =BC.求证：四边形ABCD 是平行四边形.探索新知如图，连接BD.在△ABD 和△CDB 中，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD ≌△CDB.∴∠ABD =∠CDB. ∴AB∥DC.∴四边形ABCD 是平行四边形.证明：探索新知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.探索新知平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：如图，在四边形ABCD 中，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD 是平行四边形．探索新知例2 已知：如图，在▱ ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，F 为DC 延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.求证：四边形BFDE 是平行四边形.探索新知证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.又∵AE=CF，∴BE=BE+AE=DC+CF=DF.且BE∥DF.∴四边形BFDE 是平行四边形．探索新知 当已知条件中有一组对边平行时，常常利用三角形全等证明这组对边相等或利用平行线的判定证明另一组对边平行，从而判定这个四边形是平行四边形．典题精讲1 将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则四边形ABCD 是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由.解：是；说明理由略．典题精讲2 如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点E，延长CD 到点F，使BE=DF. 猜想线段AC 与EF 之间的关系，并证明自己的猜想.典题精讲AC 与EF 互相平分；证明如下：如图，连接AF，CE.在▱ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，因为BE＝DF，所以AE＝CF，又因为AE∥CF，所以四边形AECF 是平行四边形，所以AC 与EF 互相平分．解： 典题精讲3 已知：如图，BD 是▱ABCD 的对角线，点E 和点F 在BD上，且BE=DF.求证：四边形AECF 是平行四边形.典题精讲在▱ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝FC，∠AEB＝∠CFD，由∠AEB＝∠CFD 得∠AEF＝∠CFE，所以AE∥CF，由AE＝FC，AE∥FC 得四边形AECF 是平行四边形．证明：典题精讲 已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D，F 分别在 线段BC，AB上，DC=EF，∠EFB=60°. 求证：四边形EDCF 是平行四边形.典题精讲证明：在等边三角形ABC 中，∠B＝60°，因为∠EFB＝60°＝∠B，所以EF∥DC，又因为EF＝DC，所以四边形EDCF 是平行四边形. 典题精讲5 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥AD，交BD 于点E，CF⊥BC，交BD 于点F，且AE=CF. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.典题精讲因为AE⊥AD，CF⊥BC，所以∠EAD＝∠FCB＝90°，因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠CBF，在△ADE 和△CBF 中，所以△ADE ≌△CBF，所以AD＝CB，又因为AD∥BC，所以四边形ABCD 是平行四边形．证明：典题精讲下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)　A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．在四边形ABCD 中，AB＝CD，AB∥CDD．两组对角分别相等B典题精讲如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　　)A．2个 B．4个 C．6个 D．8个B典题精讲在四边形ABCD 中，AD＝BC，若四边形ABCD 是平行四边形，则还应满足(　　)A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°C探索新知3知识点平行线之间的距离 距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.探索新知 如图，a∥b，c∥d，c，d 与a，b 分别相交于A，B，C，D 四点. 由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC 是平行四边形，AB=CD. 也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.探索新知 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图，A是a上的任意一点，AB丄b，B 是垂足，线段AB 的长就是a，b 之间的距离.探索新知定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.要点精析(1)点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；(2)三种距离之间的区别与联系如下表：探索新知已知：如图，EF∥MN，A，B 为直线EF上任意两点， AD丄MN，垂足为D，BC丄MN，垂足为C.求证：AD=BC.证明：∵ AD丄MN，BC丄MN， ∴AD∥BC. 又∵EF∥MN，∴四边形ADCB 为平行四边形. ∴AD =BC.例4 求证：平行线间的距离处处相等.探索新知误区1：“距离”是一条线段的长度，而不是一条线段；误区2：“两点之间的距离”不需要垂直，而另外两个距离都需要垂直．典题精讲直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P 在直线a，b 之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b 之间的距离(　　)A．等于7 B．小于7 C．不小于7 D．不大于7D典题精讲如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G 为垂足，则下列说法不正确的是(　　)A．AB＝CDB．EC＝FGC．A，B 两点间的距离 就是线段AB 的长度D．a 与b 之间的距离就是线段CD 的长度D易错提醒判断符合下列条件的四边形ABCD 是否是平行四边形．(1)AB∥CD，∠A＝∠C；(2)AB∥CD，BC＝AD.(1)是．∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.又∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°.∴AD∥BC.∴四边形ABCD 为平行四边形．(2)不是．反例：如图所示，该四边形是等腰梯形，而不是平行四边形．解： 学以致用小试牛刀如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，DE∥AB. 若DE＝DC，∠C＝80°，则∠A＝(　　)A．80° B．90° C．100° D．110°1C小试牛刀如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是(　　)①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CEA．①或②　　 B．②或③　　C．③或④　　 D．①或③2C小试牛刀如图，a∥b，若要使S△ABC＝S△DEF，需增加条件(　　)A．AB＝DE B．AC＝DFC．BC＝EF D．BE＝AD3C小试牛刀4如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E，F 分别在边AB，BC 上，ED∥BC，EF∥AC. 求证：EB＝CF.小试牛刀∵ED∥BC，EF∥AC.∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE＝CF.∵BD 平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CF.证明：小试牛刀5如图，在平行四边形ABCD 中，∠C＝60°，M，N 分别是AD，BC 的中点，BC＝2CD.求证：(1)四边形MNCD 是平行四边形；(2)BD＝ MN.小试牛刀(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵M，N 分别是AD，BC 的中点， ∴MD＝NC，MD∥NC， ∴四边形MNCD 是平行四边形．证明：小试牛刀(2)如图，连接DN. ∵N 是BC 的中点，BC＝2CD，∴CD＝NC. 又∵∠C＝60°， ∴△DCN 是等边三角形． ∴ND＝NC，∠DNC＝∠NDC＝60°. ∴ND＝NB＝CN. 易得∠DBC＝∠BDN＝30°. ∴∠BDC＝∠BDN＋∠NDC＝90°. ∴BD＝ ∵四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN＝CD. ∴BD＝ MN.证明：小试牛刀6如图，以BC 为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE 至点F，使得BF＝BE.(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F 两点间的距离．小试牛刀(1) ∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C. ∵EG∥BC，DE∥AC， ∴∠AEG＝∠ABC＝∠C， 四边形CDEG 是平行四边形． ∴∠DEG＝∠C. ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠F＝∠AEG＝∠ABC. ∴∠F＝∠DEG. ∴BF∥DE. ∴四边形BDEF 为平行四边形．证明：小试牛刀(2)∵∠C＝45°， ∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°. ∴△BDE、△BEF 是等腰直角三角形． ∵BD＝2，∴BF＝BE＝ . 作FM⊥BD 交DB 的延长线于M，连接DF， 如图所示． 易得△BFM 是等腰直角三角形， ∴FM＝BM＝1. ∴DM＝3. 在Rt△DFM 中， 由勾股定理得DF＝ ， 即D，F 两点间的距离为 .解：小试牛刀7如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6 cm. 动点P，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以1 cm/s的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2 cm/s的速度由点C 向点B 运动．几秒后，四边形ABQP 是平行四边形？小试牛刀设x s后，四边形ABQP 是平行四边形，则AP＝x，CQ＝2x，∴BQ＝6－2x.∵AD∥BC，∴当AP＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形．∴x＝6－2x. 解得x＝2.∴2 s后，四边形ABQP 是平行四边形．解：课堂小结课堂小结平行四边形的判定方法：如图：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 几何语言(如图)： ∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形．同学们，下节课见！