冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线评优课ppt课件

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1. 在△ABC 中，AD=BD， 线段CD 是△ABC 的中线.2. 在△ABC 中，AE=EC， 线段BE 是△ABC 的中线.如果连结DE，那么DE 是否是△ABC 的中线？
什么叫三角形的中位线？连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.如图：点 D、E 分别是AB、AC 边的中点，线段DE 就是△ABC 的中位线。一个三角形共有几条中位线？答：三条
思考：三角形的中位线与三角形的 中线有什么区别与联系？区别：中位线：中点--------中点 中线：顶点--------中点联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都 在三角形的内部且都是线段.
1. 如图，在△ABC 中，画出它的三条中位线DE，DF， EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一 起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE 与BC 具有怎样的位置关系和数量关系？
2. 如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 以点E 为中 心顺时针旋转180°，使点A 和点C 重合.四边形 DBCF 是平行四边形吗？由此发现DE 与BC 的位置关 系和数量关系与上面的发现是否相同？
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 的中点.求证：DE∥BC，且DE= BC.
延长DE 到点F，使EF=DE.连接CF.在△ADE 和△CFE 中，∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，∴ △ADE ≌△CFE.∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF.又∵BD=AD=CF，∴四边形DBCF 是平行四边形.∴DE∥BC，且DF=BC.∴DE= DF= BC.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，P 为对角线BD的中点，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点. 求证：△PMN 是等腰三角形.
在△ABD 中，∵N，P 分别为AB，BD 的中点，∴PN = AD.同理PM = BC.又∵AD=BC，∴PN=PM.∴ △PMN 是等腰三角形.
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑用三角形中位线定理．
三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长.
∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF＝ BC＝3，EF∥BC，∵BD 平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB＝ AB＝2，∴DF＝EF－ED＝3－2＝1.
2 如图，EF 为△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC，交EF 于点D，AB=4，BC=6.求 DF 的长.
3 如图， △CDE 为△ABC 沿AC 方向平移得到的，延长AB，ED 相交于点F.请指出图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段.
相等的线段有AB＝BF＝CD，BC＝DF＝DE，AC＝CE.平行的线段有AF∥CD，AB∥CD，BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF.
4 如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AB，BC，CD，DA 的中点.请猜想四边形EFGH 的形状，并证明自己的猜想.
四边形EFGH 为平行四边形．证明如下：如图，连接AC，BD.∵H，E 分别是AD，AB 的中点，∴EH＝ BD，同理可得FG＝ BD，∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，∴四边形EFGH 是平行四边形．
如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)A．50 m B．48 mC．45 m D．35 m
如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是(　　)A．5 B．7 C．9 D．11
如图，△ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则△AFG 的面积是(　　)A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
三角形中位线在四边形中的应用
欲证MN BC，只需证明MN是△EBC 的中位线即可．而要证得M，N 分别为BE，CE 的中点，则可利用E，F 分别为AD，BC的中点证四边形ABFE 和四边形EFCD 为平行四边形得到．
例2 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点， 连接AF，DF 分别交BE，CE 于点M，N，连接MN. 求证：MN BC.
如图，连接EF.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC.∵E，F 分别是AD，BC 的中点，∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.∴四边形ABFE 是平行四边形，∴MB＝ME.同理，四边形EFCD 是平行四边形，∴NC＝NE.∴MN 是△EBC 的中位线．∴MN BC.
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边 形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
1 如图，A，B 两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC 和BC的中点M，N.由MN 的长度即可知道A，B 两点间的距离.(1)说出上述测量方法中的道理.(2)若测得MN=20m，求A，B 两 点间的距离.
(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)在△ABC 中，∵M，N 分别是AC，BC 的中点，且MN＝20 m，∴A，B 两点间的距离为20×2＝40(m)．
已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E，BD=AC，M，N 分别为AD，BC 的中点，MN 分别交AC，BD 于点F，G. 求证：EF= EG.
如图，取CD 的中点为H，连接MH，HN.∵M，H 分别是AD，DC 的中点，∴MH＝ AC，MH∥AC，同理可得NH＝ BD，NH∥BD，∵AC＝BD，∴MH＝NH，∴∠HMN＝∠HNM，∵MH∥AC，HN∥BD，∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG.
如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH 的周长为(　　)A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减小C．线段EF 的长不改变D．线段EF 的长先增大后减小
如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB的中点，OE＝5 cm，则AD 的长为______cm.
如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB 的周长是18 cm，则EF＝________cm.
易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长
如图，在△ABC 中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)A．∠ECD＝112.5° B．DE 平分∠FDCC．∠DEC＝30° D．AB＝ CD
如图，四边形ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF长度的最大值为________．
如图，在四边形ABCD 中，AB＝DC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点．(1)若AB＝6，求PM 的长；(2)若∠PMN＝20°，求∠MPN 的度数．
(1)∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6. ∵点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点， ∴PM 是△ADC 的中位线． ∴PM＝ DC＝ ×6＝3.(2)∵点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点， ∴PN 是△ABC 的中位线． ∴PN＝ AB. ∵AB＝DC， PM＝ DC，∴PM＝PN. ∴∠PNM＝∠PMN＝20°. ∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝140°.
如图，E 为▱ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 与OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
AB∥OF，OF＝ AB，理由：如图，连接BE，∵四边形ABCD 平行四边形，∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE，又∵CE＝DC，∴AB＝CE.∴四边形ABEC 是平行四边形．∴BF＝CF.∴OF 是△ABC 的中位线．∴AB∥OF，OF＝ AB.
如图，四边形ABCD 中，AB＝CD，G，H 分别是BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的延长线于点E，F. 求证：∠AEH＝∠F.
如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.∵H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，∴HM 是△ADC 的中位线．∴HM∥CD，HM＝ CD.∴∠MHG＝∠F.同理，GM∥AB，GM＝ AB.∴∠MGH＝∠AEH.又∵AB＝CD，∴GM＝HM.∴∠MGH＝∠MHG. ∴∠AEH＝∠F.
已知：如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G.求证：GF＝GC.
如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.∵F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，∴FH 是△ABE 的中位线．∴FH∥AB 且FH＝ AB.在▱ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC.又∵点E 是DC 的中点，∴EC＝ DC＝ AB，∴FH＝EC.∵AB∥DC，FH∥AB，∴FH∥EC，∴四边形EFHC 是平行四边形．∴GF＝GC.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．几何语言(如图)： ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC．DE= BC．
注意：(1)位置关系：平行于第三边，(2)数量关系：等于第三边的一半拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般的三角形并没有底边．(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；可以证明两直线平行.