2023重庆市育才中学高三上学期入学检测数学试题含解析

重庆市2022年有才中学高三数学开学考试卷

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合后利用补集的定义可求.

【详解】，解得

，而，故，

故选：D．

2. 已知命题，，那么是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】解：命题，为存在量词命题，

其否定为：，；

故选：B

3. 若，，则角的终边一定落在直线上

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由二倍角公式可计算出与，从而得出，即直线的斜率，进而得到答案．

【详解】由题可得，，

所以

所以角的终边落在直线上，即

故选D.

【点睛】本题考查二倍角公式及直线的斜率与倾斜角正切值的关系，属于简单题．

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】计算得到，，，得到答案.

【详解】，，且，，

所以，

故选：D.

【点睛】本题考查了根据三角函数，指数函数，对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

5. 已知，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.

【详解】解：

，

故选：

【点睛】本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.

6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由图象对称性可知应为偶函数，可排除BD；当时，，可排除A.

【详解】由图象对称性可知：应为偶函数，

对于B，，为奇函数，B错误；

对于D，，为奇函数，D错误；

由图象可知：当从正方向无限接近时，；

对于A，当从正方向无限接近时，，，，A错误.

故选：C.

7.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用同角三角函数关系式，将切化弦，之后利用诱导公式化简，借助于正弦的差角公式化简，最后应用辅助角公式求得结果.

【详解】

，

故选C.

【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，诱导公式，正弦的差角公式以及辅助角公式，正确应用公式是解题的关键.

8. 已知函数，则（）的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ）

A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对

【答案】C

【解析】

【分析】把问题转化为两个函数图像交点的个数问题.

【详解】由题意得的图象上关于原点对称的点的对数等价于函数与 的图像在上的交点的个数，在平面直角坐标系内画出两函数在 上的图像如图所示：

由图得两函数图象有两个不同的交点，

的图像上关于原点对称的点共有2对

故选：C.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列函数的最小值为2的有

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项.

【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）；

因为函数在递增，所以；

因为函数在递增，所以；

因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题.

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 是第三象限角

B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

C. 若角的终边上有一点，则

D. 若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【解析】

【分析】A中，由象限角的定义即可判断；

B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；

C中，根据三角函数的定义即可判断；

D中，取即可判断.

【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；

选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；

选项C中，，，故C正确；

选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．

故选：BC．

11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C. 是函数图象的一条对称轴

D. 若，则的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.

【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，

所以，又函数过点，即，所以，

所以，又，所以，所以，故A正确；

由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；

因为，所以是函数图象一条对称轴，故C正确；

对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，

所以，故D正确；

故选：ACD

12. 已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】BCD

【解析】

【分析】由，变形构造函数，由，变形构造函数，然后由表示图像上一点与图像上一点的距离导数的平方，求得切点，转化为点到直线的距离求解.

【详解】由，得，令，

∴，

由，得，令，

则表示图像上一点与图像上一点的距离的平方，

设图像上与直线平行的切线的切点为，

由，

得，

∴切点为，

∴切点到直线的距离的平方为，

∴与距离的平方的取值范围为.

故选：BCD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数在上单调递减，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．

【详解】由题意，解得或，

若，则函数为，在上递增，不合题意．

若，则函数，满足题意．

故答案为：．

14. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.

【答案】

【解析】

【详解】由得图象关于点中心对称知，

，即，

即.因此，的最小值为

.

故答案为

15. 已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，___________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．

【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，

且，

；

；

即；①

；②

②①得；

故周期为4；

故答案为：．

16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”’转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围.

【详解】，则，

两边加上得到，

单调递增，，即，

令，则，因为的定义域为

时，，单调递增，，，单调递减，

，

.

故答案为：

【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：

对于任意的，使得恒成立，可得出；

对于任意的，使得恒成立，可得出.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解笞应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值0

【解析】

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；

（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最值.

【小问1详解】

解：，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

【小问2详解】

解：，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

又，

所以函数在上的最大值为，最小值0.

18. 已知.

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.

【答案】（1）最小正周期为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；

（2）根据函数图象平移的性质可得，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.

【小问1详解】

，所以的最小正周期为.

由，解得，

所以的单调递减区间为.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以

所以函数的对称轴为，

解得

19. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．

（1）求A和a的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；

（2）由锐角三角形得，根据正弦定理有，，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得：

所以，

所以，

因为中，所以，

因为，所以，

因为，由余弦定理得：，解得，

综上，，．

【小问2详解】

由（1）知：，，

由正弦定理得：，．

因为为锐角三角形，故，得．

从而的面积

，

又，，

所以，从而的面积的取值范围为．

20. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制如图所示的散点图．

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．

（1）根据散点图判断，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）适宜；（2）；（3）12千件产品．

【解析】

【分析】（1）根据散点图判断，适宜；

（2）由，两边同时取常用对数得．设，可得，根据表格数据、参考数据和参考公式求出y关于x的回归方程；

（3）生产总成本=非原料总成本+原料总成本.写出生产总成本为的解析式，根据的单调性，可求产品数量的最大值.

【详解】（1）根据散点图判断，适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型．

（2）由，两边同时取常用对数得．

设，∴，

∵，

∴．

把代入，得，

∴，∴，

∴，

即y关于x的回归方程为．

（3）设生产了x千件该产品.则生产总成本为．

又在其定义域内单调递增，且，

故最多能生产12千件产品．

【点睛】本题考查非线性回归方程的求法，属于较难的题目.

21. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．

（1）证明：平面；

（2）AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）连接与交于点O，连接OM，证明，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，不妨设，设，，利用向量法求出，从而可得出的结论.

【小问1详解】

解：连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，

因为点M为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

解：因为，

所以，所以，

如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，

设，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则有，取，得，

设平面一个法向量为，

则有，取得，

因为，解得或（舍），

此时，

所以AC上存在点N，当时，二面角的大小为.

22. 已知函数，．

（1）若，证明：；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，利用的零点及单调性推理作答.

（2）由（1）可得当时，不恒成立，当时，将转化为和恒成立求解.

【小问1详解】

函数的定义域为，求导得：，

显然函数在上单调递增，而，即当时，，当时，，

因此，函数在上单调递减，在上单调递增，，

所以.

【小问2详解】

当时，由（1）知，当时，，，即不恒成立，不合题意，

当时，等价于“当时，，当时，”，

当时，令，求导得，显然在上单调递减，

令，，当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，，，即，

因此，，当时，，，

当时，，而，从而存在唯一实数，使得，即，

当时，，当时，，则（即）在上单调递增，在上单调递减，

而，当时，在上，在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，在上，在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，在上单调递增，在上单调递减，，，

于是得在上单调递减，而，即当时，，当时，，符合题意，

因此，，，

所以.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.