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2023年河北省中考数学复习全方位第9讲 一元二次方程及其应用 课件
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这是一份2023年河北省中考数学复习全方位第9讲 一元二次方程及其应用 课件，共39页。PPT课件主要包含了真题试做，考点梳理，化为1，常数项，分别等于0，题型突破，m≤15等内容，欢迎下载使用。
1. (2012·河北,8)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )
A. (x+2)2=3 B. (x-2)2=3 C. (x-2)2=5 D. (x+2)2=5
2.(2010·河北,16)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 .
3. (2014·河北,21)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 . (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
将方程x2-2x-24=0变形为x2-2x=24.配方,得x2-2x+1=24+1.整理,得(x-1)2=25.解得x1=6,x2=-4.
4. (2019·河北,15)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 有一个根是x=-1 D. 有两个相等的实数根
5. (2016·河北,14)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根
6. (2015·河北,12)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( )
A. a<1 B. a>1 C. a≤1 D. a≥1
1.一元二次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是① 的整式方程叫做一元二次方程. 2.一般形式ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数,a≠0),其中ax2,bx,c分别叫做二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
3.一元二次方程必备的三个条件(1)必须是② 方程; (2)必须只含有③ 未知数; (3)所含未知数的最高次数是④ .
4.一元二次方程的四种解法
(x±m)2=n(n≥0)
【易错提示】对于方程两边含有相同因式的一元二次方程,应将方程化为一般式求解,不能直接约去公因式,从而丢根.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.(1)当b2-4ac⑩ 0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac 0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac 0时,方程无实数根.
(2)面积类问题中的常见图形(如图①).平移转化法:设阴影部分的宽为x,通过平移可将图①转化为图②,由图②易知空白部分的面积为(a-x)(b-x).
1.(2021·河北模拟)用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
2. (2021·石家庄模拟)一元二次方程x2-5x+6=0的解为( )
A. x1=2,x2=-3 B. x1=-2,x2=3 C. x1=-2,x2=-3 D. x1=2,x2=3
4.解下列方程:(1)3x2-11x+6=0;(2)3x2-2x-2=0.
1. (2021·河北全真模拟)已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
2. (2021·石家庄模拟)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A. -1 B. 1 C. -2或2 D. -3或1
3. (2021·河北模拟)关于x的一元二次方程ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1,则下面关于该方程的判别式Δ的说法正确的是( )
A. Δ>0 B. Δ=0 C. Δ<0 D. 无法确定
4. (2021·石家庄质检)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如,4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
5. (2021·石家庄长安区模拟)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0).(1)求证:当m≠0时,无论m为何值,该方程总有实数根;(2)若m=2,用公式法解这个方程.
解:(1)证明:关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0),∵b2-4ac=(3m-1)2-4m(2m-1)=(m-1)2≥0,∴该方程总有实根.
6. (2021·原创题)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
解:(1)由题意知a≠0.∵Δ=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)答案不唯一,满足b2-4a=0(a≠0)即可,例如:令a=1,b= -2,则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.
1.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A. -2 B. 1 C. 2 D. 0
2.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是( )
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
3.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2 020=0的两个不等实根,则m2+m-n=( )
A. 2 019 B. 2 020 C. 2 021 D. 2 022
5.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值范围是 .
1. (2021·河北模拟)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2019年年收入为200美元,预计2021年年收入将达到1 000美元,设2019年到2021年该地区居民人均收入平均增长率为x,可列方程为( )
A. 200(1+2x)=1 000 B. 200(1+x)2=1 000 C. 200(1+x2)=1 000 D. 200+2x=1 000
2.如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是 .
(18-3x)(6-2x)=60
3. (2021·原创题)如图,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n= .
4.如图,学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD,EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断.为了节约材料,场地的一边CD借助原有的一面墙,墙长为12米,长方形生物园ABCD的面积为45平方米,求长方形场地的边AB的长.
解:设AD长为x米,则AB长为(24-3x)米,根据题意得x(24-3x)=45,化简得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5.当x=3时,24-3x=15>12(不符合题意,舍去);当x=5时,24-3x=9.答:长方形场地的边AB的长为9米.
5.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2018年利润为2亿元,2020年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率;(2)若利润的年平均增长率不变,该企业2021年的利润能否超过3.4亿元?
解:(1)设年利润平均增长率为x,依题意得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),答:该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%.
(2)2.88(1+20%)=3.456,3.456>3.4.答:该企业2021年的利润能超过3.4亿元.
6. (2021·石家庄模拟)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,我市某快递公司,今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同;(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,依题意得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意舍去),∴x=0.1=10%. 答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
(2)今年11月份的快递投递任务是12.1(1+10%)=13.31(万件).∵平均每人每月最多可投递0.6万件,∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是0.6×21=12.6<13.31.∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务.至少要增加2名业务员.
1. (2012·河北,8)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是( )
A. (x+2)2=3 B. (x-2)2=3 C. (x-2)2=5 D. (x+2)2=5
2.(2010·河北,16)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 .
3. (2014·河北,21)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 . (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
将方程x2-2x-24=0变形为x2-2x=24.配方,得x2-2x+1=24+1.整理,得(x-1)2=25.解得x1=6,x2=-4.
4. (2019·河北,15)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 有一个根是x=-1 D. 有两个相等的实数根
5. (2016·河北,14)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根
6. (2015·河北,12)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( )
A. a<1 B. a>1 C. a≤1 D. a≥1
1.一元二次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是① 的整式方程叫做一元二次方程. 2.一般形式ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数,a≠0),其中ax2,bx,c分别叫做二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
3.一元二次方程必备的三个条件(1)必须是② 方程; (2)必须只含有③ 未知数; (3)所含未知数的最高次数是④ .
4.一元二次方程的四种解法
(x±m)2=n(n≥0)
【易错提示】对于方程两边含有相同因式的一元二次方程,应将方程化为一般式求解,不能直接约去公因式,从而丢根.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.(1)当b2-4ac⑩ 0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac 0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac 0时,方程无实数根.
(2)面积类问题中的常见图形(如图①).平移转化法:设阴影部分的宽为x,通过平移可将图①转化为图②,由图②易知空白部分的面积为(a-x)(b-x).
1.(2021·河北模拟)用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
2. (2021·石家庄模拟)一元二次方程x2-5x+6=0的解为( )
A. x1=2,x2=-3 B. x1=-2,x2=3 C. x1=-2,x2=-3 D. x1=2,x2=3
4.解下列方程:(1)3x2-11x+6=0;(2)3x2-2x-2=0.
1. (2021·河北全真模拟)已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
2. (2021·石家庄模拟)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A. -1 B. 1 C. -2或2 D. -3或1
3. (2021·河北模拟)关于x的一元二次方程ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1,则下面关于该方程的判别式Δ的说法正确的是( )
A. Δ>0 B. Δ=0 C. Δ<0 D. 无法确定
4. (2021·石家庄质检)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如,4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
5. (2021·石家庄长安区模拟)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0).(1)求证:当m≠0时,无论m为何值,该方程总有实数根;(2)若m=2,用公式法解这个方程.
解:(1)证明:关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0),∵b2-4ac=(3m-1)2-4m(2m-1)=(m-1)2≥0,∴该方程总有实根.
6. (2021·原创题)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
解:(1)由题意知a≠0.∵Δ=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)答案不唯一,满足b2-4a=0(a≠0)即可,例如:令a=1,b= -2,则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.
1.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A. -2 B. 1 C. 2 D. 0
2.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是( )
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
3.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2 020=0的两个不等实根,则m2+m-n=( )
A. 2 019 B. 2 020 C. 2 021 D. 2 022
5.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值范围是 .
1. (2021·河北模拟)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2019年年收入为200美元,预计2021年年收入将达到1 000美元,设2019年到2021年该地区居民人均收入平均增长率为x,可列方程为( )
A. 200(1+2x)=1 000 B. 200(1+x)2=1 000 C. 200(1+x2)=1 000 D. 200+2x=1 000
2.如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是 .
(18-3x)(6-2x)=60
3. (2021·原创题)如图,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n= .
4.如图,学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD,EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断.为了节约材料,场地的一边CD借助原有的一面墙,墙长为12米,长方形生物园ABCD的面积为45平方米,求长方形场地的边AB的长.
解:设AD长为x米,则AB长为(24-3x)米,根据题意得x(24-3x)=45,化简得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5.当x=3时,24-3x=15>12(不符合题意,舍去);当x=5时,24-3x=9.答:长方形场地的边AB的长为9米.
5.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2018年利润为2亿元,2020年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率;(2)若利润的年平均增长率不变,该企业2021年的利润能否超过3.4亿元?
解:(1)设年利润平均增长率为x,依题意得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),答:该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%.
(2)2.88(1+20%)=3.456,3.456>3.4.答:该企业2021年的利润能超过3.4亿元.
6. (2021·石家庄模拟)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,我市某快递公司,今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同;(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,依题意得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意舍去),∴x=0.1=10%. 答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
(2)今年11月份的快递投递任务是12.1(1+10%)=13.31(万件).∵平均每人每月最多可投递0.6万件,∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是0.6×21=12.6<13.31.∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务.至少要增加2名业务员.
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