2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选(共30分．），填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(共30分．）
1. 下列四个图形中，是对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列有理式中①，②，③，④中分式有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在平行四边形ABCD中，都没有一定 成立的是（　　）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．

A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
4. 下列算式中，你认为正确的是（ ）.
A. B. 1÷. =l
C. D.
5. 把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数没有可能是（　　）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
6. 如果把分式中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值(　　)
A. 没有变 B. 扩大为原来两倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
7. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )

A 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
8. 智力测验，有20道选一选．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，没有答题没有给分也没有扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才没有会低于60分，则小明至少答对的题数是（　　）
A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. ll道
9. 已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A. 95° B. 15° C. 95°或15° D. 170°或30°
10. 关于x的分式方程=1，下列说确的是（　　）
A. 方程的解是x=a-3 B. 当a＞3时，方程的解是正数
C. 当a＜3时，方程的解为负数 D. 以上答案都正确
二、填 空 题（共30分）
11. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为______．
12. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______________．
13. 如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 ______ ．

14. 因式分解：__________．
15. 如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是_____．

16. 如果没有等式组无解，那么m的取值范围是________．
17. 当x_______时，分式的值为零．
18. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．

19. 若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是 ______ ．
20. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为 ______ ．

三、解 答 题(共60分)
21. 解没有等式组：并求它整数解的和．
22. 解方程：．
23. 先化简（1﹣）÷，再从0，﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED度数．


25. 某学校准备组织部分学生到当地社会实践参加，陈老师从社会实践带回来了两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元．现在报名参加的人数增加到原来人数的2倍，可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：享受优惠后，参加的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？
26. 在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．


（1）旋转是　 　，旋转角的大小是　 　．
（2）求出∠BAE度数和AE的长．
27. 如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．

28. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）小明发现，过点D作DF//AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： ；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件
没有变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件没有变）时，
请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．














2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(共30分．）
1. 下列四个图形中，是对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称图形，这个点叫做它的对称．
【详解】A.是轴对称图形；
B. 是轴对称图形；
C. 是对称图形；
D. 是轴对称图形；
故答案选C．
本题考查了对称图形，熟练掌握概念是解题的关键．
2. 下列有理式中①，②，③，④中分式有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据分式的定义，分母中含有字母的式子有①，③，所以其中的分式有两个．
故选B．
考点：分式的定义．
3. 如图，在平行四边形ABCD中，都没有一定 成立的是（　　）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．

A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【正确答案】D

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④没有一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立．
故选D.
4. 下列算式中，你认为正确的是（ ）.
A. B. 1÷. =l
C. D.
【正确答案】D

【详解】A. =，错误；
B. 1÷. =，错误；
C. =，错误；
D.，正确．
故选D.
5. 把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数没有可能是（　　）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
【正确答案】A

【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，没有可能是16边形.
故选A.
此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：两个相邻点，则少了一条边；一个顶点和一边，边数没有变；两条邻边，边数增加一条.
6. 如果把分式中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值(　　)
A. 没有变 B. 扩大为原来的两倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
【正确答案】C

【详解】分别用2x、2y，2z去代换原分式中的x、y和z，得
,即新分式缩小为原来的.
故选C.
7. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
【正确答案】A

【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°，CD=CD，∠BCD=∠ECD，
∴△BCD≌△ECD，
∴BC=CE=3，BD=BE.
∵，，
∴BE=AE=AC-CE=5-3=2.
∴BD==1.
故选A．
考点：等腰三角形的判定和性质.
8. 智力测验，有20道选一选．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，没有答题没有给分也没有扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才没有会低于60分，则小明至少答对的题数是（　　）
A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. ll道
【正确答案】A

【分析】设小明答对的题数是x道，根据“总分没有会低于60分”列出没有等式5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，解没有等式求得x的取值范围，根据x为整数，题意即可求解.
【详解】设小明答对的题数是x道，
5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，
x≥13，
∵x为整数，
∴x的最小整数为14，
故选A．
本题了一元没有等式的应用，关键是设出相应的未知数，以得分做为没有等量关系列没有等式求解．
9. 已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A. 95° B. 15° C. 95°或15° D. 170°或30°
【正确答案】C

【详解】因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，
所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE．
因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，
所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°．
①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；
②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°．
故选C．
10. 关于x的分式方程=1，下列说确的是（　　）
A. 方程的解是x=a-3 B. 当a＞3时，方程的解是正数
C. 当a＜3时，方程的解为负数 D. 以上答案都正确
【正确答案】B

【详解】方程两边都乘以x+3，去分母得：a=x+3，
解得：x=a−3，
∴当x+3≠0，把x=a−3代入得：a−3+3≠0，即a≠0，方程有解，故选项A错误；
当x>0，即a−3>0，解得：a>3，则当a>3时，方程的解为正数，故选项B正确；
当x<0，即a−3<0，解得：a<3，则a<3且a≠0时，方程的解为负数，故选项C错误；
显然选项D错误．
故选B.
点睛：本题考查了分式方程的解，先按照一般步骤解方程，用含有a的代数式表示x，然后根据x的取值讨论a的范围，即可作出判断．
二、填 空 题（共30分）
11. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为______．
【正确答案】14cm或16cm

【详解】试题分析:根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案．
解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时，
则周长为14cm；
②当AB=BE=3cm时，CE=2cm，
则周长为16cm．
故答案14cm或16cm．

考点：平行四边形的性质．
12. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______________．
【正确答案】a＜8，且a≠4

【详解】解：分式方程去分母得：x=2x-8+a，
解得：x=8-a，
根据题意得：8-a＞0，8-a≠4，
解得：a＜8，且a≠4．
故a＜8，且a≠4．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可．此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母没有为0．
13. 如图，△ABC中，已知BC=12，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为28，则AC的长为 ______ ．

【正确答案】16

【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，AC=BE+CE，
∵BC=12，△BCE的周长为28，
∴BC+(BE+CE)=28，即BE+CE=28−12=16，
∴AC=16.
故答案为16.
14. 因式分解：__________．
【正确答案】

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
故．
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
15. 如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是_____．

【正确答案】40m

【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答．
【详解】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=AB，
∴AB=2MN=2×20=40（m）．
本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键．
16. 如果没有等式组无解，那么m的取值范围是________．
【正确答案】m≤3

【详解】根据没有等式的解集的确定：都大取大，都小取小，大小小大取中间，小小无解，由没有等式组无解可得m≤3.
故答案为m≤3.
点睛：此题主要考查了没有等式组的解集的确定，关键是根据没有等式的解集的确定：都大取大，都小取小，大小小大取中间，小小无解，由没有等式无解，确定出m的取值范围.
17. 当x_______时，分式的值为零．
【正确答案】= 3

【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零列式计算即可．
【详解】解：根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故．
本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零是解题的关键．
18. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．

【正确答案】15°．

详解】试题解析：设∠A=x°，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠A=x°，
∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°，
∵ED=DB，
∴∠ABD=∠BED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵DB=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∠ABC=120°，
∴120+x+3x=180，
解得：x=15，
∴∠A=15°．
考点：等腰三角形的性质
19. 若2a=3b=4c，且abc≠0，则值是 ______ ．
【正确答案】-2

【详解】设2a=3b=4c=12k(k≠0)，
则a=6k，b=4k，c=3k，
所以,，
故答案为-2.
点睛：本题考查了比例的性质，根据2、3、4的最小公倍数是12，设2a=3b=4c=12k（k≠0），然后表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．
20. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为 ______ ．

【正确答案】2s或6s

【详解】当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，

过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B=30∘,AB=2cm，
∴BD=AB⋅cos30°=2×=3cm，
∴BC=6cm，即运动的时间6s；
当AB=BP时，
∵AB=2cm，
∴BP=2cm，
∴运动的时间2s.
故答案为2s或6s.
三、解 答 题(共60分)
21. 解没有等式组：并求它的整数解的和．
【正确答案】﹣2＜x≤1，0


【分析】先分别解两个没有等式，求出它们的解集，再求两个没有等式解集的公共部分即可求出没有等式组的解集.
【详解】
由①去括号得：﹣3x﹣3﹣x+3＜8，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：4x+2﹣3+3x≤6，
解得：x≤1，
则没有等式组的解集为﹣2＜x≤1．
整数解有-1,0,1
故整数解的和为0
本题考查了一元没有等式组的解法，先分别解两个没有等式，求出它们的解集，再求两个没有等式解集的公共部分.没有等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小无解.
22. 解方程：．
【正确答案】．

【详解】试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元方程，检验即可求解．
试题解析：解：方程两边同乘以，得，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．
考点：解分式方程．

23. 先化简（1﹣）÷，再从0，﹣2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
【正确答案】原式=

【详解】试题分析：本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，从所给数中选一个使分式有意义的数代入求值.
解：原式=•=
当x=0时，
∴原式=
24. 如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．


【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠AED=85°．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可知BC=AD，由已知AB=AE可得∠B=∠AEB，进而得∠B=∠DAE，根据边角边可证明全等；
（2）由（1）知∠AEB=∠DAE，由角平分线知∠BAE=∠DAE，进而可得∠AEB=∠BAE，从而求得∠BAE=60°再进行角度的计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：由（1）知，∠AEB=∠DAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
又∠B=∠AEB，∠BAE=∠B=∠AEB=60°，
∵∠AED=∠BAC，∠EAC=25°，
∴∠AED=∠BAE+∠EAC=60°+25°=85°．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的证明，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25 某学校准备组织部分学生到当地社会实践参加，陈老师从社会实践带回来了两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元．现在报名参加的人数增加到原来人数的2倍，可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：享受优惠后，参加的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？
【正确答案】现在报名参加的学生有40人

【分析】设原来报名参加的学生有x人，根据如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，如果能享受优惠，那么参加的每位同学平均分摊的费用比原来少4元，可列方程求解．
【详解】解：设原来报名参加的学生有x人，
依题意，得．
解这个方程，得x=20．
经检验，x=20是原方程的解且符合题意．
所以2x=40，
答：现在报名参加的学生有40人．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键；注意分式方程要检验．
26. 在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．


（1）旋转是　 　，旋转角的大小是　 　．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【正确答案】（1）A，150°；（2）60°，2

【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC=150°，然后利用旋转的定义可判断旋转为点A，旋转角为150°；
（2）根据旋转的性质得到∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，利用周角定义可得到∠BAE=60°，然后利用点C为AD中点得到AC=AD=2，于是得到AE=2．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB=30°，
∴∠BAC=150°，
当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；
（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，
∴∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，
∴∠BAE=360°-150°-150°=60°，
∵点C为AD中点，
∴AC=AD=2，
∴AE=2．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
27. 如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．

【正确答案】△PMN是等腰三角形． 理由见解析

【详解】分析：易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD=BC，那么可得PM=PN，那么△PMN是等腰三角形．
本题解析：
解：△PMN是等腰三角形． 理由如下：
∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∴PM=BC，
同理：PN=AD，
∵AD=BC， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形．
28. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）小明发现，过点D作DF//AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： ；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件
没有变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件没有变）时，
请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．

【正确答案】（1）AD=DE；（2）AD=DE，证明见解析；（3）．

【详解】试题分析：本题难度中等．主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结．并能够三角形的性质是解题关键．
试题解析：（10分）
（1）AD=DE．
（2）AD=DE．
证明：如图2，过点D作DF//AC，交AC于点F,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF//AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（3）．

考点：1．等边三角形探究题；2．全等三角形判定与性质；3．等边三角形的判定与性质．













2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列电视台的台标，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说确的是（ ）
A. 可能有5次正面朝上 B. 必有5次正面朝上
C. 掷2次必有1次正面朝上 D. 没有可能10次正面朝上
3. 用配方法解方程x2－2x－3＝0时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070
C. x(x＋1)＝2070 D. x(x－1)＝2070
5. 用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
6. 抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系图象可能是（　　）
A. B. C. D.
二、填 空 题
7. 一元二次方程x2=x的解为_____．
8. 如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=_____cm．

9. 如图所示的五角星绕点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______；

10. 某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为_________；
11. 若正方形边长为6cm，则其外接圆半径是___________；
12. 林业工人为树木的生长情况，常用一种角卡工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知AC和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树的直径为________.

13. 将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为____________．
14. 如图，矩形ABCD内接于⊙O，∠OAD＝30°，若点P是⊙O上一点，且OP⊥OA，则∠OPB的度数为__________.

三、解 答 题
15. 已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且点C（2，8），求该抛物线的解析式.
16. 如图，在10×10正方形格纸中，小正方形的顶点称为格点，用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（1）在图1的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使得半径最小，请在图中标出圆心O并直接写出该圆的半径长度；
（2）在图2的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使圆心是格点，请在图中标出圆心O并直接写出该圆的半径长度.

17. 在体育课上，老师向排好队列的学生讲解行进间传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位是年级球队队员的同学出列，配合老师进行传球示范.
(1)首先球在老师手里时，直接传给甲同学的概率是多少?
(2)当老师传给甲后，老师叫四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲个传出，求甲传给下一个同学后，这个同学又再传回给甲的概率.
18. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
19. 如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．

20. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．

（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分面积．
21. 在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算.

22. 某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书标价为20元．现A、B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购一本，则按标价；若性购买多于一本，但没有多出20本时，每多购一本，每本价在标价的基础上优惠2%（例如买两本，每本价优惠2%；买三本价优惠4%，以此类推）；若购买多于20本时，每本售价为12元，B店一律按标价的7折；
（1）试分别写出在两书店购此书的总价yA、yB与购本书数x之间的函数关系式.
（2）若某班性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算？为什么？若要性购买没有多于20本时，先写出y（y＝yA－yB）与购书本数x之间的函数关系式，并在图中画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店购买更合算.

23. 在一节数学实践课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板没有重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种没有同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都没有是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，没有要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．

24. 如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点没有重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称点的坐标；
请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围；
若抛物的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由．

2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列电视台的台标，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形可得答案。
【详解】根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D符合．
故选：D．
本题考查了对称图形，掌握对称图形的概念：对称图形是要寻找对称，旋转后与原图重合是解题的关键。

2. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说确的是（ ）
A. 可能有5次正面朝上 B. 必有5次正面朝上
C. 掷2次必有1次正面朝上 D. 没有可能10次正面朝上
【正确答案】A

【分析】根据随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的，可得答案．
【详解】A、可能有5次正面朝上，是随机，故A正确；
B、没有一定有5次正面朝上，没有是必然，故B错误；
C、掷2次没有一定有1次正面朝上，可能两次都反面朝上，没有是必然，故C错误；
D、可能10次正面朝上，是随机，故D错误；
故选：A．
本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的．没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的．没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．

3. 用配方法解方程x2－2x－3＝0时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】把方程x2−2x−3=0的常数项移到等号的右边,得到x2−2x=3，
方程两边同时加上项系数一半的平方,得到x2−2x+1=4，
配方得(x−1)2=4
故选A.
4. 九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070
C. x(x＋1)＝2070 D. x(x－1)＝2070
【正确答案】D

【详解】设全班有名学生，则每人都送出了张照片，因此全班共送出照片张，由题意可得.
故选D.
5. 用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
【正确答案】B

【详解】∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm，
∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据圆的周长公式，得，解得r=2cm．
故选B．
考点：圆锥和扇形的计算．
6. 抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：A、由二次函数的图象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此时直线y=ax+b一，三，四象限，故A正确；
B、由二次函数的图象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此时直线y=ax+b一，三，四象限，故B错误；
C、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b一、二、三象限，故C错误；
D、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b一、二、三象限，故D错误；
正确只有A．
故选A．
考点：1.二次函数的图象；2.函数的图象．
二、填 空 题
7. 一元二次方程x2=x的解为_____．
【正确答案】x1=0，x2=1．

【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【详解】解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
8. 如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=_____cm．

【正确答案】5

【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
又∵AB=10cm，∠CAB=30°，∴BC=AB=5cm．
9. 如图所示的五角星绕点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______；

【正确答案】72°

【详解】五角星绕点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为=72°.
故答案为72°.
10. 某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为_________；
【正确答案】20%

【详解】设降价的百分率为x,由题意得2500(1−x)2=1600，
解得x1=0.2，x2=−1.8(舍).
所以平均每次降价百分率为20%.
故答案为20%.
11. 若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是___________；
【正确答案】3cm

【详解】如图所示：作OE⊥BC，

∵四边形ABCD是O的内接正方形，
∴∠OBE=45°，而OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴EB=OE=3，
∴BO=3.
故其半径等于3.
故答案为3.
12. 林业工人为树木生长情况，常用一种角卡工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知AC和AB都与⊙O相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树的直径为________.

【正确答案】m

【详解】连接OB、OC，

由题意可知∠OAB=∠BAC=30°′，
且OB=AB⋅tan∠OAB=0.6tan30°==m，
∴树的直径为m.
13. 将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为____________．
【正确答案】y＝2(x＋1)2 －3

【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案．
【详解】解：y=−2(x−1)2+3的顶点坐标为(1，3)，
故变换后的抛物线为y=2(x+1)2−3，
故答案为y=2(x+1)2−3
本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关于原点对称，而开口大小并没有改变．
14. 如图，矩形ABCD内接于⊙O，∠OAD＝30°，若点P是⊙O上一点，且OP⊥OA，则∠OPB的度数为__________.

【正确答案】15°或75°

【详解】如图：①P在AD上方时，

∵OA⊥OPOA=OP
∴∠APO=45°
∵∠OAD＝30°，∠BAD=90°,
∴∠OAB=60°,
∵OA=OB,
∠AOB=60°,
∴∠APB=30°,
∴∠OPB=∠APO-∠APB=15°；
②如图：

∵PP´是直径，
∴∠PBP´=90°,
由（1）知：∠BP´P=15°,
∴∠BPP´=75°,
故答案为15°或75°
点睛：此题考查了矩形的性质、圆周角定理、圆心角定理、等边三角形的判定与性质，三角形内角的性质等知识点.依据题意作出相应的图形是解决问题的关键.
三、解 答 题
15. 已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且点C（2，8），求该抛物线的解析式.
【正确答案】y＝2x2＋2x－4

【详解】试题分析：由抛物线与x轴的交点是A（-2，0），B（1，0），且点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式．
试题解析：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知,抛物线过A(−2,0),B(1,0),C(2,8)三点，
得，
①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④，
①+②×2得6a+3c=0⑤，
④×3−⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=−4，
把a=6,c=−4代入②得,b=2,
故
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x−4.
16. 如图，在10×10的正方形格纸中，小正方形的顶点称为格点，用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（1）在图1的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使得半径最小，请在图中标出圆心O并直接写出该圆的半径长度；
（2）在图2的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使圆心是格点，请在图中标出圆心O并直接写出该圆的半径长度.

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【详解】试题分析：（1）利用当EF为圆的直径时，半径最小，进而得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理求出即可．
试题解析：（1）作图如图1，半径等于 ；

（2）作图如图2，半径等于5或

17. 在体育课上，老师向排好队列的学生讲解行进间传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位是年级球队队员的同学出列，配合老师进行传球示范.
(1)首先球在老师手里时，直接传给甲同学的概率是多少?
(2)当老师传给甲后，老师叫四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲个传出，求甲传给下一个同学后，这个同学又再传回给甲的概率.
【正确答案】（1）先直接传给甲同学的概率是；（2）再传回甲的概率为.

【详解】试题分析：（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）先画树状图，再根据公式计算即可.
试题解析：（1）当球在老师手里时，先直接传给甲同学的概率是；
（2）当甲传出球后，经两次传球的情况可用如下树状图表示:

∴再传回甲的概率为＝.
18. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1），；（2）证明见解析

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
19. 如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B（1）、（2）变换的路径总长．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．

【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离．
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．
（3）利用勾股定理和弧长公式求点B（1）、（2）变换的路径总长．
【详解】解：（1）如答图，连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC，同理找到点B1，分别连接三点，△A1B1C1即为所求．
（2）如答图，分别将A1B1，A1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到B2，C2，连接B2C2，△A1B2C2即为所求．

（3）∵，，
∴点B所走的路径总长=．
本题考查了网格作图和勾股定理、弧长计算，解题关键是准确作图，熟练计算．
20. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．

（1）求∠C大小；
（2）求阴影部分的面积．
【正确答案】（1） ∠C=30°
（2）详见解析

【分析】（1）根据垂径定理可得，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=，OF=，
∴AB=，
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××π﹣．

垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
21. 在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）＝3．

【分析】（1）连接OD，根据等边三角形性质得出∠B=∠A=60°，求出等边三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD=AC，求出AE=AC，CE=AC，即可求出答案．
【详解】解：（1）连接OD，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
又∵OD＝OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°＝∠ACB，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△AED中，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝AC，CE＝AC－AE＝AC，
∴＝3．
22. 某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书标价为20元．现A、B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购一本，则按标价；若性购买多于一本，但没有多出20本时，每多购一本，每本价在标价的基础上优惠2%（例如买两本，每本价优惠2%；买三本价优惠4%，以此类推）；若购买多于20本时，每本售价为12元，B店一律按标价的7折；
（1）试分别写出在两书店购此书的总价yA、yB与购本书数x之间的函数关系式.
（2）若某班性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算？为什么？若要性购买没有多于20本时，先写出y（y＝yA－yB）与购书本数x之间的函数关系式，并在图中画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店购买更合算.

【正确答案】（1）；
（2）若购书少于16本时，到B书店购买；若购买16本，到A、B书店费用一样；若超过16本，则到A书店购买合算.

【详解】试题分析：（1）分别根据两个书店购书的优惠得出y与x的函数关系式即可；
（2）首先得出y与x的函数关系式，进而画出图象，利用图象分析得出答案．
试题解析：（1）设购买x本，则在A书店购书的总费用为：
在B书店购书的总费用为yB=20×0.7x＝14x；
（2）当x＞20时, 显然yA＜yB，去A店买更合算.
当0＜x≤20时，y＝yA－yB＝－x2＋x ＝－ (x－8)2 ＋25.6，
当－(x－8)2＋25.6＝0时，x＝0或16.
由图象可得：当0＜x＜16时， y＞0；

当x＝16时，y＝0；当16＜x≤20时，y＜0.
综上所述,若购书少于16本时，到B书店购买；
若购买16本，到A、B书店费用一样；
若超过16本，则到A书店购买合算.
23. 在一节数学实践课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板没有重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种没有同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都没有是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，没有要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．

【正确答案】（1）（Ⅰ）5cm；（Ⅱ）10cm；（Ⅲ）10cm；（2）直径为.

【分析】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理可求出结果；
（Ⅱ）利用勾股定理可求出小正方形对角线的长即可；
（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理可求出结果；
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则，P为AB的中点，设OG=x，则OP=10-x,根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）（Ⅰ）连接BD，

，
；
（Ⅱ）如图所示：

三个正方形的边长均为5，
,A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
，
能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为；
（Ⅲ）如图所示：

,
AD是过A、B、C三点的圆的直径，
OA=OB=OD，
O为圆心，
圆O的半径为OA，，
能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为；
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法

连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点
设OG=x，则OP=10-x
则有：，
解得：x=
则ON=，
∴直径为．
考点：正多边形与圆、勾股定理．
24. 如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点没有重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标；
请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围；
若抛物的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由．

【正确答案】（1）点D坐标（4，4）；（2）L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；（3）a1与a2的关系式为a1＋a2＝0或a1＝－a2，理由见解析.

【分析】（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1+a2=0．
【详解】（1）∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
（3）a1与a2的关系式为a1+a2=0．
理由如下：
∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2 （x﹣h）2+k，∴y=a2 （x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n过点（h，k），即
k=a1 （h﹣m）2+n…①
n=a2 （m﹣h）2+k…②
由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．
又“友好”抛物线的顶点没有重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．
本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．