2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列各实数中，是有理数的是( )
A. π B. C. D. 0.9
2. 下列运算正确的是（　　）
A. a•a2=a3 B. 3a+2a2=5a2 C. 2﹣3=﹣8 D. =±3
3. 下列图案，既是轴对称图形又是对称图形个数是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
5. 如图，该几何体由6个相同小立方体无缝隙地搭成，在它的三视图中，面积相等的视图是 ( )

A. 主视图与俯视图 B. 主视图与左视图
C. 俯视图与左视图 D. 主视图、左视图、俯视图
6. 如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）

A B. C. 1OOcos20° D. 100sin20°
7. 如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是( )

A. B. C. D.
8. 某商店购进甲、乙两种商品共160件，甲每件进价为15元，售价20元；乙每件进价为35元，售价45元；售完这批商品利润为l100元，设甲为x件,则购进甲商品的件数满足方程( )
A. 30x+15(160-x)=1100 B. 5(160-x)+10x=1100
C. 20x+25(160-x)=1100 D. 5x+10(160-x)=l100
9. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A´BC´，连结CC´，若点C在边A´B上，则∠A´C´C的度数为( )

A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

10. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）

A. 300m2 B. 150m2 C. 330m2 D. 450m2
二、填 空 题：(每小题3分，共30分)
11. 哈尔滨地铁2号线总约2000000000元，这个数用科学记数法可表示为__________．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________．
13. 计算的结果是___________
14. 把a-ab2因式分解的结果是_______．
15. 圆心角为120°，弧长为l2π的扇形半径为______．
16. 没有等式组 的解集是____________．
17. 四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三角形．现从中随机抽取2张，全部是对称图形的概率是_________
18. 点P在边长为4的正方形ABCD的边上，AP=5，则△ ADP的面积是 ____________．
19. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线点A和点B，与x轴的另一个交点为点C．点P为抛物线上直线AB上方部分上的一点，过点P 作y轴的平行线交AB于点E,且点P的横坐标为t，若PE的长为d，求d关于t的函数关系式是_______.

20. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=，BC=，则 AE=_______.

三、解 答 题(共60分，其中21、22题各7分．23、24题各8分，25、26、27题各10分)
21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2sin60°+ 2cos60°．
22. 图l、图2均为8×6方格纸(每个小正方形的边长均为1)，在方格纸中各有一条线段AB，其中点A、B均在小正方形的顶点上，请按要求画图：

(1)在图l中画一直角△ABC，使得tan∠BAC=，点C在小正方形的顶点上；
(2)在图2中画一个□ABEF，使得□ABEF的面积为图1中△ABC面积的4倍，点E、F在小正方形的顶点上．
23. 某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了如下两幅没有完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求该中学抽取参加考试的学生的人数；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该中学九年级共有人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的数学成绩类别为优．
24. 如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边.

25. 我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二．
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工l天需付工程款3．5万元，乙队施工需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款没有超过186万元，求甲、乙两队至多合作多少天?
26. 如图，在⊙O中，弦AB、CD互相垂直，垂足为E，点M在CD上，连接AM并延长交BC于点F，交圆上于点G，连接AD，AD=AM.
（1）如图1，求证：AG⊥BC；
（2）如图2，连接EF，DG，求证：EF∥DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，若∠ABG=2∠BAG，EF=15，AB=32，求BG长.

27. 已知：如图1，△OAB是边长为2的等边三角形，OA在x轴上，点B在象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．


（1）求在运动过程中形成的△OPQ面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图2，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．







2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列各实数中，是有理数的是( )
A. π B. C. D. 0.9
【正确答案】D

【详解】A选项中，圆周率是无理数，因此本选项错误；
B选项中，是无理数，因此本选项错误；
C选项中，是无理数，因此本选项错误；
D选项中，0.9是有理数，因此本选项正确；
故选D.
2. 下列运算正确的是（　　）
A. a•a2=a3 B. 3a+2a2=5a2 C. 2﹣3=﹣8 D. =±3
【正确答案】A

【详解】A、a•a2=a3，正确；B、3a+2a²没有是同类项无法计算，故此选项错误；
C、2﹣3= ≠-8，故此选项错误；D、 =3≠±3，故此选项错误；
故选A．
3. 下列图案，既是轴对称图形又是对称图形的个数是（ ）.

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】解：个图形是轴对称图形，是对称图形；
第二个图形是轴对称图形，没有是对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是对称图形；
第四个图形是轴对称图形，是对称图形．
共有3个图形既是轴对称图形，也是对称图形，
故选C．
此题主要考查了对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
4. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
【正确答案】D

【分析】根据反比例函数单调性反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1-m＞0．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
5. 如图，该几何体由6个相同的小立方体无缝隙地搭成，在它的三视图中，面积相等的视图是 ( )

A. 主视图与俯视图 B. 主视图与左视图
C. 俯视图与左视图 D. 主视图、左视图、俯视图
【正确答案】A

【详解】设每个小正方形的一个面的面积为1，则由图可知，其主视图面积为4，左视图面积为3，俯视图的面积为4，由此可知面积相等的视图是主视图和俯视图.
故选A.
6. 如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）

A. B. C. 1OOcos20° D. 100sin20°
【正确答案】D

【详解】∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=100sin20°，
故选D．
7. 如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是( )

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A选项中，因为EF∥CD，CD∥AB，所以EF∥AB，所以，所以本选项正确；
B选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，所以本正确；
C选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，因为AB=CD，所以，所以本选项错误；
D选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，因为AB=CD，所以，所以本选项正确；
故选C.
8. 某商店购进甲、乙两种商品共160件，甲每件进价为15元，售价20元；乙每件进价为35元，售价45元；售完这批商品利润为l100元，设甲为x件,则购进甲商品的件数满足方程( )
A. 30x+15(160-x)=1100 B. 5(160-x)+10x=1100
C. 20x+25(160-x)=1100 D. 5x+10(160-x)=l100
【正确答案】D

【详解】由题意可知，当设甲商品的件数为x时，可得方程为：，即.
故选D.
9. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A´BC´，连结CC´，若点C在边A´B上，则∠A´C´C的度数为( )

A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【正确答案】B

【详解】∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°，
由旋转的性质可得，∠A′BC=∠ABC=90°，BC′=BC，∠A′C′B=∠ACB=60°，
∴∠CC′B=∠CCB=45°，
∴∠AC′C=∠A′C′B-∠CC′B=60°-45°=15°.
故选B.

10. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）

A. 300m2 B. 150m2 C. 330m2 D. 450m2
【正确答案】B

【详解】解：如图，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则，
解得
故直线AB的解析式为y=450x﹣600，
当x=2时，y=450×2﹣600=300，
300÷2=150（m2）
故选B．

本题考查函数的应用．
二、填 空 题：(每小题3分，共30分)
11. 哈尔滨地铁2号线总约2000000000元，这个数用科学记数法可表示为__________．
【正确答案】2×109

【详解】.
故答案为.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________．
【正确答案】x≠2

【分析】对于分式而言，要保证分式有意义，则分式的分母没有能为零．
【详解】解：由题意可得x－2≠0，解得：x≠2．
故x≠2．
本题考查函数自变量的取值范围．
13. 计算的结果是___________
【正确答案】2

【详解】原式=.
故答案为.
14. 把a-ab2因式分解的结果是_______．
【正确答案】a(1+b)(1-b)

【详解】原式=.
故答案为.
15. 圆心角为120°，弧长为l2π的扇形半径为______．
【正确答案】18

【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，解得.
故答案为.
16. 没有等式组 解集是____________．
【正确答案】-1
【详解】
解没有等式①得：，
解没有等式②得：，
∴原没有等式组的解集为：．
故答案：．
17. 四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三角形．现从中随机抽取2张，全部是对称图形的概率是_________
【正确答案】

【详解】四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三角形，从中随机抽取2张，共有4×3=12种结果，且每个结果出现的机会相同，四个图形中对称图形有圆、矩形两个，这两个同时被抽到只有圆，矩形和矩形，圆两种结果，全部是对称图形的概率是．
18. 点P在边长为4的正方形ABCD的边上，AP=5，则△ ADP的面积是 ____________．
【正确答案】8或6

【分析】由正方形ABCD的边长为4，点P在正方形ABCD的边上，且AP=5分析可知，点P没有可能在AD和AB两边上，则只能在CD和BC两边上，故要分两种情况画出图形来分析求解.
【详解】由题意可知，本题存在以下两种情况：
（1）如图1，当点P在BC边上时，由题意可得：S△ADP=AD·CD=8；
（2）如图2，当点P在CD边上时，由题意可得，在△ADP中，AD=4，AP=5，∠D=90°，
∴PD=，
∴S△ADP=AD·PD=6.
综上所述，△ADP的面积为8或6.
故8或6

19. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线点A和点B，与x轴的另一个交点为点C．点P为抛物线上直线AB上方部分上的一点，过点P 作y轴的平行线交AB于点E,且点P的横坐标为t，若PE的长为d，求d关于t的函数关系式是_______.

【正确答案】

【详解】∵中，当时，；当时，；
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），
把点A、B的坐标代入得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为.
∵点P在抛物线是直线AB之上部分的图象上，且其横坐标为，
∴点P的坐标为，
∵PE∥轴，且点E在直线上，
∴点E的坐标为，
∴=PE=.
即与的函数关系式为.
20. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=，BC=，则 AE=_______.

【正确答案】5

【详解】∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB=90°，
∴sinA=.
设BD=，则AB=AC=，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD=，
∴CD=AC-AD=，
∵在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2，
∴，解得（没有合题意，舍去），
∴AB=10，AD=8，BD=6，
∵BE平分∠ABD，
∴，
∴AE=5.
点睛：本题有两个解题关键点：（1）利用sinA=，设BD=，其它条件表达出CD，把条件集中到△BDC中，BC=由勾股定理解出，从而可求出相关线段的长；（2）要熟悉“三角形角平分线分线段成比例定理：三角形的内角平分线分对边所得线段与这个角的两边对应成比例”.
三、解 答 题(共60分，其中21、22题各7分．23、24题各8分，25、26、27题各10分)
21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2sin60°+ 2cos60°．
【正确答案】

【分析】先将原式按分式混合运算的相关运算法则化简，再由60°角的正弦函数值和余弦函数值求出x的值，代入x的值计算即可．
【详解】原式=

=
=
当x=2×+2×=+1时，
原式=.
22. 图l、图2均为8×6的方格纸(每个小正方形的边长均为1)，在方格纸中各有一条线段AB，其中点A、B均在小正方形的顶点上，请按要求画图：

(1)在图l中画一直角△ABC，使得tan∠BAC=，点C在小正方形的顶点上；
(2)在图2中画一个□ABEF，使得□ABEF的面积为图1中△ABC面积的4倍，点E、F在小正方形的顶点上．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析

【分析】（1）本题答案没有，根据题意，若∠ABC=90°，则使AB=2BC即可；若∠ACB=90°，则使AC=2BC即可；
（2）根据（1）中所画△ABC的面积，画出符合要求的图形即可.
【详解】解：（1）本题答案没有，如图1，图中△ABC为所求三角形；
（2）本题答案没有，对应着图1中的三角形按要求画即可，如图2，图中四边形ABEF为所求平行四边形，

23. 某中学为评估九年级学生的学习状况，抽取了部分参加考试的学生的成绩进行样本分析，并绘制成了如下两幅没有完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求该中学抽取参加考试的学生的人数；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该中学九年级共有人参加了这次考试，请估计该中学九年级共有多少名学生的数学成绩类别为优．
【正确答案】（1）50 （2）见解析
（3）200人

【分析】从两个统计图中可知，“良”的人数为人，占人数的，可求出人数；
求出“中”的人数，即可补全条形统计图；
求出样本中“优”的所占的百分比，估计总体人中“优”的人数即可．
【小问1详解】
解：（人），
答：该中学抽取参加考试的学生的人数为人．
【小问2详解】
解：（人），补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该中学九年级人参加了这次考试的学生中，数学成绩类别为“优”的大约有人．
本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
24. 如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边.

【正确答案】（1）见解析；（2）AF、DF、BD、CD

【分析】（1）由已知条件易证△AFE≌△DFB，从而可得AE=BD=DC，AE∥BC即可证得四边形ADCE是平行四边形；
（2）由（1）可知，AE=BD=CD；由BE平分∠AEC，AE∥BC可证得△BCE是等腰三角形，从而可得EC=BC，AD=EC、AF=DF，可得AF=DF=AE；由此即可得与AE相等的线段有BD、CD、AF、DF共四条.
【详解】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠DBF，∠EAF=∠FDB，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF，
∴△AFE≌△DFB，
∴ AE=CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴DC=AD，
∴AE=DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形 ADCE是平行四边形；
（2）解：∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠CEB=∠EBC，
∴EC=BC，
∵由（1）可知，AD=EC，BD=DC=AE，
∴AD=BC，
又∵AF=DF，
∴AF=DF=BD=DC=AE，
即图中等于AE的线段有4条，分别是：AF、DF、BD、DC.
25. 我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二．
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工l天需付工程款3．5万元，乙队施工需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款没有超过186万元，求甲、乙两队至多合作多少天?
【正确答案】（1）90天；（2）至多合做12天

【详解】试题分析：
（1）设乙队单独完成需x天，根据题意可列方程：，解此方程即可得乙队单独完成工程所需时间；
（2）设两队至多合作a天，由题意可得乙队共做了天，由此可得甲队可得工程费3.5a万元，乙队可得工程费2万元，根据总费用没有超过186万元，即可列出没有等式，解没有等式求得a的整数解即可.
试题解析：
（1）设乙单独完成需x天，由题意得：
，
解得 x=90 ，
经检验x=90是分式方程的解.
答：乙单独约需90天
（2）设合做a天， ，
则 3.5a+2[a+(1-)÷]≤186 ，
解得：a≤12，
∴a的值为12，
答：至多合做12天.
26. 如图，在⊙O中，弦AB、CD互相垂直，垂足为E，点M在CD上，连接AM并延长交BC于点F，交圆上于点G，连接AD，AD=AM.
（1）如图1，求证：AG⊥BC；
（2）如图2，连接EF，DG，求证：EF∥DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，若∠ABG=2∠BAG，EF=15，AB=32，求BG长.

【正确答案】（1）AG⊥BC；（2）E、F分别为MD、MG中点，EF∥DG ；（3）BG=18

【详解】试题分析：
（1）由AB⊥CD于点E可得∠B+∠C=90°；由AD=AM，可得∠CMF=∠AMD=∠D=∠B，由此可得∠CMF+∠C=90°，从而得到∠CFM=90°即可得到AG⊥BC；
（2）如图2，连接CG，由AD=AM，AB⊥CD可得点E是DM的中点；由（1）可知∠CMF=∠B，∠B=∠CGA，可得∠CMF=∠CGA，从而可得CM=CG，（1）中结论AG⊥BC可得点F是MG的中点，由此可得EF是△MDG的中位线，从而可得结论EF∥DG；
（3）如图3，作∠ABG的平分线交AG于点N，由∠ABG=2∠BAG，已知条件可证得∠ABG=∠DAG，从而得到AG=DG=2EF=30；由BN平分∠ABG及∠ABG=2∠BAG可得∠GBN=∠ABN=∠GAB，∠AGB=∠BGA可证得△GBN∽GAB，BN=AN，设AN=x、BG=y，根据相似三角形的性质列出比例式即可解得BG的值.
试题解析：
（1）∵AB⊥CD于点E，
∴∠BEC=90°，
∴∠B+∠C=90°.
∵AD=AM，
∴∠AMD=∠D=∠B，
又∵∠CMF=∠AMD，
∴∠CMF=∠B，
∴∠CMF+∠C=90°，
∴∠CFM=90°，
∴AG⊥BC；
（2）如图2，连接CG，

（2）由（1）可知，∠CMF=∠B，
∵∠B=∠CGA，
∴∠CMF=∠G，
∴CM=CG，
又∵AG⊥BC，
∴点F是MG的中点.
∵AD=AM，AB⊥CD，
∴点E是DM的中点，
∴EF是△MDG的中位线，
∴EF∥DG；
（3）∵由（2）可知，EF是△MDG的中位线，EF=15，
∴DG=2EF=30，
∵AD=AM，AB⊥CD，
∴∠DAG=2∠BAG，
又∵∠ABG=2∠BAG，
∴∠ABG=∠DAG，
∴AG=DG=30.
如图3，作BN平分∠ABG，则∠GBN=∠ABN=∠GAB，
∴AN=BN，
∵∠AGB=∠BGA，
∴△GBN∽GAB，
∴，，
设BG=x，AN=BN=y，则GN=AG-AN=30-y，
∴，，两式变形可得：，
解得：（没有合题意，舍去），
∴BG=18.

点睛：（1）解第2小题时，因为由已知易得点E是DM中点，这样要证EF∥DG，可证F是MG的中点来解决，而由（1）中结论BC⊥AG可知，只需证得CM=CG即可，故连接CG，从而将问题转化为证∠CGA=∠CMG，这样问题就基本得到解决了；（2）解第3小题时，由（2）∠ABG=2∠BAG易得AG=DG=2EF=30，AB=32，这样就将条件和问题都集中到△ABG中了，利用∠ABG=2∠BAG，作出∠ABG的平分线BN，就可构造出△GBN∽GAB，列出比例式，即可求得BG的长了.
27. 已知：如图1，△OAB是边长为2的等边三角形，OA在x轴上，点B在象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．


（1）求在运动过程中形成的△OPQ面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图2，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

【正确答案】（1）（），（）
（2）或
（3）4

【分析】（1）由于点从点运动到点需要秒，点从点需要秒，所以分两种情况讨论：①；②．针对每一种情况，根据点所在的位置，由三角形的面积公式得出的面积与运动的时间之间的函数关系，并且得出自变量的取值范围；
（2）如果为等腰三角形，那么分为顶角顶点，为顶角顶点，为顶角顶点，分别讨论，得出结果；
（3）如果延长至点，使，连接，则由可证，得出，再由证出，得出，得出的周长即可．
【小问1详解】
解：过点作于点．如图1所示：


，，
．
，，
．
在中，，
①当时，，，．
过点作于点．
在中
，
，
，
即；
②当时，如图2所示：


，．
，，
．
，
③当时，、重合，没有能构成；
综上所述：当时，；当时，；
【小问2详解】
解：①当时，，则，，；
②当时，，；
③以为顶点，此时点和点重合；
因此，点的坐标为，或，；
【小问3详解】
解：的周长没有发生变化．理由如下：
延长至点，使，连接；如图3所示．


在和中，，
，
，．


，
，
在和中，，
，
．
．
的周长没有变，其周长为4．
本题是几何变换综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．本题难度很大．解题的关键是证明三角形全等，注意分类讨论时，做到没有重复，没有遗漏．


2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A. k＞0，且b＞0 B. k＜0，且b＞0 C. k＞0，且b＜0 D. k＜0，且b＜0
3. 下列各式中，的有理化因式是（　　）
A. B. C. D. ．
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A. 3：2 B. 2：3 C. D. ．
5. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立是（　　）

A. B. C. D.
6. 在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，没有能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A. ∠ABC=∠DCB B. ∠DBC=∠ACB C. ∠DAC=∠DBC D. ∠ACD=∠DAC
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_________．
8. 函数的定义域是_____．
9. 如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．
10. 抛物线y=x2+4的对称轴是________．
11. 将抛物线y=-x2平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为________．
12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是_______．
13. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所的路程是12米，此时物体离地面的高度是_____米．

14. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么_____（结果用含、的式子表示）．

15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝_____．
16. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是_____．
17. 将一个三角形放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是_____．
18. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN长是_____．

三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
20. 解方程：=1．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求AC：CB的值．

22. 如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

23. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD•CA=CE•CB．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若，求证：AB•AD=AF•AE．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴直线x＝1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
25. 如图，在边长为2正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．
（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．




























2022-2023学年上海市青浦区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】按照积乘方与幂的乘方的法则进行以上即可．
【详解】解：
故选
本题考查的是积的乘方与幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
2. 如果函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，那么k、b应满足条件是（ ）
A. k＞0，且b＞0 B. k＜0，且b＞0 C. k＞0，且b＜0 D. k＜0，且b＜0
【正确答案】B

【详解】解：∵函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：B．
3. 下列各式中，的有理化因式是（　　）
A. B. C. D. ．
【正确答案】C

【详解】∵（）（）=（）2-22=x-4，
∴的有理化因式是，
故选C.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A 3：2 B. 2：3 C. D. ．
【正确答案】B

【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，由此即可解决问题．
【详解】∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，
故选B.
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵AB//CD，∴ ，故A、D选项错误；
∵AB//CD，∴△AEF∽△DEC，∴，故B选项错误；
∵AB=CD，，∴，故C选项正确，
故选C.
6. 在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，没有能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A. ∠ABC=∠DCB B. ∠DBC=∠ACB C. ∠DAC=∠DBC D. ∠ACD=∠DAC
【正确答案】D

【详解】A、∵∠ABC=∠DCB，
∴BD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、∵∠DAC=∠DBC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA
∴OB=OC，OD=OA，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，
∴OA=OD，OB=OC，
∴AC=BD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
D、根据∠ACD=∠DAC，没有能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确．
故选D．

点睛：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_________．
【正确答案】

【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
8. 函数的定义域是_____．
【正确答案】x≠﹣1

【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x≠1，
故答案为x≠1.
9. 如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．
【正确答案】

【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，
∴△＜0，即22+4a＜0，
解得a＜﹣1，
故答案为a＜﹣1．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
10. 抛物线y=x2+4的对称轴是________．
【正确答案】直线##轴

【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴（或直线x=0），
故直线或轴．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11. 将抛物线y=-x2平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为________．
【正确答案】

【详解】∵原抛物线，平移后的顶点是P（-2，3），
∴平移后的抛物线的表达式为：y，
故答案为y=.
本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是_______．
【正确答案】4:9.

【详解】试题分析：相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解
∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3；
∴它们的面积比为4：9．
考点：相似三角形的性质．
13. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所的路程是12米，此时物体离地面的高度是_____米．

【正确答案】6

【详解】如图：作BF⊥AF，垂足为F．
∵tan∠BAF=BF：AF=1：，
∴∠BAF=30°，
∴BF===6（米），
故答案为6.

14. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么_____（结果用含、的式子表示）．

【正确答案】

【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为 ；
15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝_____．
【正确答案】2

【详解】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，
∴AE：AC=DE：BC，
∵BC=3DE，
∴AE：AC=1：3，
∵AC=6，
∴AE=2，
故答案为2.

16. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是_____．
【正确答案】

【详解】由此AG交BC于点M，过点G作GP⊥BC，垂足为P，
∵∠MPG=∠BCA=90°，
∴PG//AC，
∴△MPG∽△MCA，
∴MG：MA=PG：AC，
∵G为△ABC的重心，
∴MG：MA=1：3，
∵AC=4，
∴PG=，
∴sin∠GCB==，
故答案为.
.
本题考查了三角形的重心、相似三角形的判定与性质等，熟记三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.
17. 将一个三角形放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是_____．
【正确答案】6

【详解】如图，由题意可得四边形ABED是矩形，∴AD=BE，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，∠ACB=30°，∴BC==，
同理FE=，
所以这两个等边三角形的周长差为：3（BC+EF）=6，
故答案为6.

18. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是_____．

【正确答案】

【详解】∵∠A=45°，∠ADM=90°，
∴∠AMD=45°=∠A，
∴DM=AD=2，
∵AB=7，
∴BD=7-AD=5，
∵△BDE沿着DE所在直线翻折得到△PDE，
∴PD=BD=5，∠PDE=∠BDE，
∴PM=PD-DM=3，
∵∠PDE+∠BDE=∠BDP=90°，
∴∠BDE=45°=∠A，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BD：BA=DE：AC，
即5：7=DE：6，
∴DE= ，
∵DE//AC，
∴△PMN∽△PDE，
∴MN：DE=PM：PD，
即：MN：=3：5，
∴MN=，
故答案为.

本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质等，能根据已知证明出DE//AC是解题的关键.
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
【正确答案】．

【分析】（1）原式利用二次根式的性质，零指数幂法则，值的代数意义，以及角的三角函数值进行化简即可得到结果．
【详解】原式，
，
．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 解方程：=1．
【正确答案】x=1

【分析】方程两边同乘转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
【详解】解：方程两边同乘得:
，
整理，得，
解这个方程得，，
经检验，是增根，舍去，
所以，原方程的根是．
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检验.
21. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求AC：CB的值．

【正确答案】(1) y=2x+4;(2)

【详解】试题分析：（1）先确定A、B的坐标，然后再利用待定系数法进行求解即可；
（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，证明△ACM∽△BCN，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1）∵点A（，6）和点B（-3，）在双曲线，∴m=1，n=-2，
∴点A（1，6），点B（-3，-2），
将点A、B代入直线，得 ，解得 ，
∴直线AB的表达式为：；
（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，
∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN，
∴．

22. 如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

【正确答案】39米

【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 在Rt△ADE中，利用三角函数求出的长，在Rt△ACE中，求出的长即可得.
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，
在Rt△ADE中，∵，∴，
在Rt△ACE中，∵，∴，
∴（米），
答：建筑物CD的高度约为39米．

23. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD•CA=CE•CB．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若，求证：AB•AD=AF•AE．

【正确答案】(1)见解析；（2）见解析

【分析】（1）证明△CAE∽△CBD即可得；
（2）过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G，证明△ADF∽△AEB即可得.
【详解】试题分析：
（1）∵，
∴，
∵∠ECA＝∠DCB，
∴△CAE∽△CBD，
∴∠CAE＝∠CBD．
（2）过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G．
∴，
∵，
∴，
∴CG=CA，
∴∠G＝∠CAG，
∵∠G＝∠BAG，
∴∠CAG＝∠BAG．
∵∠CAE＝∠CBD，∠AFD＝∠BFE，
∴∠ADF＝∠BEF．
∴△ADF∽△AEB，
∴，
∴．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）点Q坐标为（4，0）或（9，0）.

【详解】试题分析：（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为（3,0），根据两点式写出二次函数解析式，再令y=0，求出y的值，即可的点C的坐标；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的长，然后根据△ABC的面积为6，列方程求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，分两种情况求解：当Rt△QGH∽Rt△GFH时，求得m的一个值；当Rt△GFH∽Rt△FCO时，求得m的另一个值.
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
当x=0时，y=﹣3a，
∴C（0，﹣3a）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=3a，
∴S△ACB=AB•OC=6，
∴6a=6，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，
∵点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，
∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，
∴OF=2m+1，HF=1，
当∠CGF=90°时，
∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，
∴∠GQH=∠HGF，
∴Rt△QGH∽Rt△GFH，
∴=，即=，解得m=9，
∴Q的坐标为（9，0）；
当∠CFG=90°时，
∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，
∴∠CFO=∠FGH，
∴Rt△GFH∽Rt△FCO，
∴=，即=，解得m=4，
∴Q的坐标为（4，0）；
∠GCF=90°没有存在，
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

点睛：本题考查了二次函数与几何综合，用到的知识点有：二次函数的对称性，图形与坐标，对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和相似三角形的判定与性质.
25. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．
（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1);(2)（0＜x＜2）;(3)见解析

【分析】（1）延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x，由∠PBC＝∠BPQ可得EB=EP，再根据AD//BC，QD＝QC可得PD＝CE，PQ＝QE，从而得BE＝EP= x+2， QP＝，在Rt△PDQ中，根据勾股定理可得，从而求得的长，再根据正切的定义即可求得；
（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，通过证明Rt△PAB≅ Rt△PHB，得到AP = PH =x，通过证明Rt△BHQ≅ Rt△BCQ，得到QH = QC= y，在Rt△PDQ中，根据 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2，代入即可求得；
（3）存在，根据（2）中的两对全等三角形即可得.
【详解】（1）延长PQ交BC延长线于点E，设PD=x，
∵∠PBC＝∠BPQ，
∴EB=EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，
∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，
∴BE＝EP= x+2，
∴QP＝，
在Rt△PDQ中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；

（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，
∵AD//BC，
∴∠CBP＝∠APB，
∵∠PBC＝∠BPQ，
∴∠APB＝∠HPB，
∵∠A＝∠PHB＝90°，
∴BH = AB =2，
∵PB = PB，
∴Rt△PAB Rt△PHB，
∴AP = PH =x，
∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，
∴Rt△BHQ Rt△BCQ，
∴QH = QC= y，
在Rt△PDQ中，
∵，
∴，
∴ ；

（3）存在，∠PBQ＝45°．
由（2）可得，，，
∴．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键.