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2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一卷二）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（ ）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A. 2 B. C. D.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2结果等于_____．
14. =_____．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.
17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．
18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．
三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得 ；
（Ⅱ）解没有等式②，得 ；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原没有等式组的解集为 ．
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
21. 如图，⊙O直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
【正确答案】A
【详解】解：
故选A
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
【正确答案】C
【详解】试题解析：
故选C．
点睛：本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】选项A没有是轴对称图形，是对称图形；
选项B是轴对称图形，没有是对称图形；
选项C是轴对称图形，也是对称图形；
选项D没有是轴对称图形，是对称图形．
故答案选C．
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
【正确答案】C
【详解】试题分析：科学记数法是把一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n表示整数，为整数
位数减1，此题a为4.4，即4.4×106．
选C
考点：科学记数法
点评：此题考查用科学记数法表示一个数的方法，要求学生掌握科学记数法的表示方法．
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等的实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
【正确答案】C
【详解】试题分析：一元二次方程根的判别式所以方程没有实数根．故选C．
考点：一元二次方程根的判别式．
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
【正确答案】B
【详解】试题解析：
故选B．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：原式=
=．
故选A．
考点：分式的运算.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（ ）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
【正确答案】B
【详解】试题解析：设平均每月增长的百分率是x，
依题意得：
或x=﹣2.25（负值舍去）．
即平均每月增长的百分率是25%．
故选B．
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】D
【分析】首先根据正六边形的特点可把正六边形分成6个全等的等边三角形，再根据题意算出一个等边三角形的面积，进而可算出正六边形面积．
【详解】由题意得：AB＝48÷6＝8m，
过O作OC⊥AB，
∵AB＝BO＝AO＝8m，
∴CO＝＝4m，
∴正六边形面积为：4×8××6＝96m2，
故选D．
本题考查了正多边形和圆，关键是掌握正六边形可分成6个全等的等边三角形是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；由勾股定理可以求得答案．
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B．
此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理．解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程．
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据菱形的性质得到BO=3，AO=4，AO⊥BO，并用勾股定理求出AB，再利用面积法计算OH即可．.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，
∴AB=．
∵OH⊥AB，
∴AO•BO=AB•OH，
∴OH=.
故选D．
本题考查了菱形性质和勾股定理，熟练掌握利用菱形的性质计算线段的长度是解题关键．
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：，图象和轴有两个没有同的交点，
∴，
∴，.
由图可知，当时，，
∴，即.
∴上述结论中正确的是②③④，共3个.
故选C.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2的结果等于_____．
【正确答案】x6
【分析】根据同底数幂相除，底数没有变,指数相减的运算律求解．
【详解】原式
故答案为
错因分析 容易题.失分的原因是没有理解同底数幂的除法法则.
14. =_____．
【正确答案】1
【详解】试题解析：原式
故1．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：从中随机摸出一个球，摸到白球的概率
故
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接OC，
由题意，得
故答案为:
17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：延长CA至点D，使
∵四边形ABEF是正方形，
在与中，
∴≌,
是等腰直角三角形．
故答案为
18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．
【正确答案】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：底×高计算即可；（2）根据剪拼前后的图形的面积相等进行剪拼即可．
试题解析：（1）平行四边形ABCD的面积是：4×6=24；
（2）如图①→1，②→2，③→3，
则矩形EFGC即所求．
【详解】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3
本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得 ；
（Ⅱ）解没有等式②，得 ；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原没有等式组的解集为 ．
【正确答案】（Ⅰ） x＞2；（Ⅱ） x＞3；（Ⅲ）见解析; （Ⅳ）x＞3．
【详解】试题分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
试题解析：
（Ⅰ）没有等式①，得
（Ⅱ）没有等式②，得
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原没有等式组的解集为
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
【正确答案】（1）10，36°．补全条形图见解析；（2）5天，6天；（3）800．
【分析】（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，求出8天的人数，补全条形统计图即可．
（2）众数是在一组数据中，出现次数至多的数据．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
（3）用总人数乘以“时间没有少于7天”的百分比，计算即可得解．
【详解】（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%．
用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：360°×10%=36°．
240÷40=600，
8天的人数，600×10%=60，
故答案为10，36°．
补全条形图如下：
（2）∵参加社会实践5天的至多，∴众数是5天．
∵600人中，按照参加社会实践天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
∴中位数是6天．
（3）∵2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800．
∴估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有800人．
21. 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【正确答案】（1）；（2）证明见试题解析．
【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理求得∠ADB的度数，然后解直角三角形即可求得BD，BC；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=；
（2）连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切线．
考点：1．切线的判定；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．
22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
【正确答案】(1)、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2)、x=1；(3)、﹣1＜x＜3．
【详解】试题分析：(1)、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)、(3)、利用二次函数图象性质作答．
试题解析：(1)、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4），
当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
(2)、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值；(3)、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3．
考点：(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数的最值．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
【正确答案】（1） y＝80x＋1200（0≤x≤6并且x为正整数）；（2） 至多可结余130元．
【分析】（1）根据题意可列出y与x的等式关系．
（2）由题意可列出一元没有等式方程组．由此推出y随x的增大而增大．
【详解】（1）（并且x为正整数）．
（2）可以有结余，由题意知
解没有等式组得
∴预支的租车费用可以有结余，
∵x取整数，
∴x取4或5，
∴y随x的增大而增大
∴当时，的值最小．
其最小值元，
∴至多可结余1650﹣1520＝130元．
答：至多可结余130元．
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析（3）①见解析；②见解析.
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD-BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=DF，
∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC等腰三角形．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．
【正确答案】（1），B(3， 0)；（2）；（3）没有存在，理由见解析
【详解】．解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1， 0)
当x＝0时， ∴ C(0，－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3， 0)
（2）由（1）知 B(3， 0) ， C(0，－3) 直线BC的解析式是：
设M（x，x-3）(0≤x≤3)，则E（x，x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的值＝
（3）答：没有存在．
由（2）知 ME 取值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1没有在抛物线上．
当P2时，由（1）知
∴P2没有在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方没有存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一．选一选(40分)
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2. 如图，将正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B.
C. D.
3. 二次函数y=（x﹣1）2+2的图象可由y=x2的图象（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
4. 下列命题中，没有正确的是（ ）
A. 垂直平分弦的直线圆心 B. 平分弦的直径一定垂直于弦
C. 平行弦所夹的两条弧相等 D. 垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
5. 下列成语中，属于随机的是（ ）
A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 守株待兔 D. 探囊取物
6. 在一个没有透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 14
7. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 度
A. 18 B. 30 C. 45 D . 60
9. 如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）
A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
二.填 空 题（20分）
11. 已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
12. 已知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是____________
13. 在同一平面上一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为3m，则⊙O的半径为____cm．
14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆，使⊙OA、B两点，下列结论正确的序号是____________
①AO=2CO；②AO=BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
三.解 答 题（90分）
15. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
16. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径.
17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
18. 现代互联网技术广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），结果上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为 ．
20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁说确，为什么？
21. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
22. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．
23. 如图1，已知正方形ABCD边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造，并指出是哪两个三角形全等（没有要求证明）；
（2）如图2，若点E线段BC上滑动（没有与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+cA、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一．选一选(40分)
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A．ax2+bx+c=0，当a=0时，没有是一元二次方程，故A错误；
B．+=2，没有是整式方程，故B错误；
C．x2+2x=x2﹣1，是一元方程，故C错误；
D．3（x+1）2=2（x+1），是一元二次方程，故D正确．
故选D．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 如图，将正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置没有变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
3. 二次函数y=（x﹣1）2+2的图象可由y=x2的图象（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
【正确答案】D
【详解】y=x2向右平移1个单位得到:y=x-1)2,再向上平移2个单位得到:y=x-1)2+2.所以选D.
4. 下列命题中，没有正确是（ ）
A. 垂直平分弦的直线圆心 B. 平分弦的直径一定垂直于弦
C. 平行弦所夹的两条弧相等 D. 垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【正确答案】B
【详解】A. 根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线圆心；故本答案正确．
B. 直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但没有一定互相垂直，故被平分飞弦没有能是直径；故本答案错误．
C. 如图所示，
两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确．
D. 根据垂径定理可知，垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；故本选项正确．
故选B.
5. 下列成语中，属于随机的是（ ）
A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 守株待兔 D. 探囊取物
【正确答案】C
【详解】试题分析：A．水中捞月是没有可能，故A错误；
B．瓮中捉鳖是必然，故B错误；
C．守株待兔是随机，故C正确；
D．探囊取物是必然，故D错误；
故选C．
考点：随机．
6. 在一个没有透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 14
【正确答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
【详解】解：根据题意列出方程，
解得：x=6，
故选：B.
7. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【正确答案】B
【分析】根据旋转的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.
【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转是B．
故选B．
此题主要考查旋转的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.
8. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 度
A. 18 B. 30 C. 45 D . 60
【正确答案】A
【详解】扇形圆心角= θ=108°-90°=18°.
9. 如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）
A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2
【正确答案】C
【详解】连接OD，
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3．
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴．
又∵，∴∠DOC=60°．
∴（米2）．
故选C．
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
【正确答案】C
【详解】∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0．
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0．
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴．∴b=2a＞0．
∴abc＜0，因此说法①正确．
∵2a﹣b=2a﹣2a=0，因此说法②正确．
∵二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）．
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，因此说法③错误．
∵二次函数图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而＜3
∴y2＜y1，因此说法④正确．
综上所述，说确的是①②④．
故选：C．
二.填 空 题（20分）
11. 已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
【正确答案】－3
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
【详解】设另一根为，则 ，
解得，，
故答案为－3．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
12. 已知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是____________
【正确答案】-4≤y≤5
【详解】y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4,
x=1时最小值是-4，把x=-2代入抛物线，y=5是值.
所以-4≤y≤5.
13. 在同一平面上一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为3m，则⊙O的半径为____cm．
【正确答案】5或2
【详解】P点在圆内，半径是P点在圆外=2.
14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆，使⊙OA、B两点，下列结论正确序号是____________
①AO=2CO；②AO=BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
【正确答案】①③④
【详解】连接OB，
∴OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OC＝OB＝OA，
即OA＝2OC，
故①正确；
∵cos∠OBC＝，
∴BC＝OB，
即BC＝OA，
故②错误；
∵∠ABO＝∠OBC＝30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
故③正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴，
∴点A、B、D将⊙O的三等分．
故④正确．
故答案为①③④．
三.解 答 题（90分）
15. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
【正确答案】(1)7；（2）x1=3, x2=-7
【详解】试题分析：（1）将a=4，b=3代入公式计算出结果即可；（2）根据运算规则计算出方程左边的结果，再解方程即可.
试题解析：
（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.
（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .
点睛：遇到新运算规则，理解题目的意思，套用公式即可.
16. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径.
【正确答案】6.5
【详解】如图，设圆弧的圆心为点O，连接AO，DO，则由题意可知：O、D、C在同一直线上，且OD⊥AB于点D，
∴∠ADO=90°，AD=AB=6，
设拱桥的半径为，则AO=，OD=OC-CD=，
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：，即：，解得：，
∴拱桥的半径为6.5.
17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】试题分析：（1）利用正方形性质得到边相等角相等，利用SAS证明△ADE≌△ABF.
(2)利用勾股定理计算AE长度，再利用（1）的结论，易得△AEF是等腰直角三角形，求△AEF.的面积
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE==10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转 A点，按顺时针方向旋转90度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×100=50．
点睛：1.证明三角形全等的方法：
（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .
（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .
注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA没有能证明三角形的全等.
2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的图形，没有管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
18. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．
19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），结果上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为 ．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）点P′的坐标为（b，﹣a）．
【详解】试题分析：（1）令起始边垂直，终边垂直.(2)把每个顶点坐标取相反数，连接.
(3) P′和P先逆时针旋转90°（横坐标变纵坐标的相反数，纵坐标等于横坐标），再作原点对称（横纵坐标都取相反数）.
试题解析：
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）P（a，b）次变换后P1(- b,a),第二次变换后点坐标为P′（b，﹣a）．
20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说确，为什么？
【正确答案】（1）BC=72﹣2x（2）小英说确
【分析】（1）、BC的长度=围栏的长度-AB和CD的长度+门的宽度；
（2）、首先求出S和x的二次函数关系，然后根据二次函数的性质求出S取值时x的值，从而得出矩形没有是正方形．
【详解】（1）、设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x；
（2）、小英的说确；
矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，
∵56﹣2x＞0，
∴x＜28，
∴0＜x＜28，
∴当x＝14时，S取值，
此时x56﹣2x，
∴面积的没有是正方形．
21. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.
【分析】（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
【详解】解：（1）由图可知三等奖占总25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
22. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OD、BD，OD||BC,DE⊥BC，所以DE⊥OD.
(2)利用30°的三角形求出DE长，再利用勾股定理得到OE长.
试题解析：
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，
∴BC=2，
∴BD=BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，
1×=2DE，
DE=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．
23. 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造，并指出是哪两个三角形全等（没有要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（没有与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+cA、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．
【正确答案】（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F
【详解】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；
（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；
②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．
解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AG=EC．
∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由题意可知抛物线A（0，1），D（1，1）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，
∴点F的坐标为F（a，a﹣1），
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，
∴a﹣1=﹣a2+a+1，
∴a=（负值没有合题意，舍去），
点F的坐标为F.
考点：二次函数综合题．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（ ）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A. 2 B. C. D.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2结果等于_____．
14. =_____．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.
17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．
18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．
三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得 ；
（Ⅱ）解没有等式②，得 ；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原没有等式组的解集为 ．
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
21. 如图，⊙O直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
【正确答案】A
【详解】解：
故选A
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
【正确答案】C
【详解】试题解析：
故选C．
点睛：本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】选项A没有是轴对称图形，是对称图形；
选项B是轴对称图形，没有是对称图形；
选项C是轴对称图形，也是对称图形；
选项D没有是轴对称图形，是对称图形．
故答案选C．
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
【正确答案】C
【详解】试题分析：科学记数法是把一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n表示整数，为整数
位数减1，此题a为4.4，即4.4×106．
选C
考点：科学记数法
点评：此题考查用科学记数法表示一个数的方法，要求学生掌握科学记数法的表示方法．
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等的实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
【正确答案】C
【详解】试题分析：一元二次方程根的判别式所以方程没有实数根．故选C．
考点：一元二次方程根的判别式．
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
【正确答案】B
【详解】试题解析：
故选B．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：原式=
=．
故选A．
考点：分式的运算.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（ ）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
【正确答案】B
【详解】试题解析：设平均每月增长的百分率是x，
依题意得：
或x=﹣2.25（负值舍去）．
即平均每月增长的百分率是25%．
故选B．
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】D
【分析】首先根据正六边形的特点可把正六边形分成6个全等的等边三角形，再根据题意算出一个等边三角形的面积，进而可算出正六边形面积．
【详解】由题意得：AB＝48÷6＝8m，
过O作OC⊥AB，
∵AB＝BO＝AO＝8m，
∴CO＝＝4m，
∴正六边形面积为：4×8××6＝96m2，
故选D．
本题考查了正多边形和圆，关键是掌握正六边形可分成6个全等的等边三角形是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；由勾股定理可以求得答案．
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B．
此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理．解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程．
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据菱形的性质得到BO=3，AO=4，AO⊥BO，并用勾股定理求出AB，再利用面积法计算OH即可．.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，
∴AB=．
∵OH⊥AB，
∴AO•BO=AB•OH，
∴OH=.
故选D．
本题考查了菱形性质和勾股定理，熟练掌握利用菱形的性质计算线段的长度是解题关键．
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：，图象和轴有两个没有同的交点，
∴，
∴，.
由图可知，当时，，
∴，即.
∴上述结论中正确的是②③④，共3个.
故选C.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2的结果等于_____．
【正确答案】x6
【分析】根据同底数幂相除，底数没有变,指数相减的运算律求解．
【详解】原式
故答案为
错因分析 容易题.失分的原因是没有理解同底数幂的除法法则.
14. =_____．
【正确答案】1
【详解】试题解析：原式
故1．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：从中随机摸出一个球，摸到白球的概率
故
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接OC，
由题意，得
故答案为:
17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：延长CA至点D，使
∵四边形ABEF是正方形，
在与中，
∴≌,
是等腰直角三角形．
故答案为
18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．
【正确答案】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：底×高计算即可；（2）根据剪拼前后的图形的面积相等进行剪拼即可．
试题解析：（1）平行四边形ABCD的面积是：4×6=24；
（2）如图①→1，②→2，③→3，
则矩形EFGC即所求．
【详解】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3
本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得 ；
（Ⅱ）解没有等式②，得 ；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原没有等式组的解集为 ．
【正确答案】（Ⅰ） x＞2；（Ⅱ） x＞3；（Ⅲ）见解析; （Ⅳ）x＞3．
【详解】试题分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
试题解析：
（Ⅰ）没有等式①，得
（Ⅱ）没有等式②，得
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原没有等式组的解集为
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
【正确答案】（1）10，36°．补全条形图见解析；（2）5天，6天；（3）800．
【分析】（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，求出8天的人数，补全条形统计图即可．
（2）众数是在一组数据中，出现次数至多的数据．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
（3）用总人数乘以“时间没有少于7天”的百分比，计算即可得解．
【详解】（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%．
用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：360°×10%=36°．
240÷40=600，
8天的人数，600×10%=60，
故答案为10，36°．
补全条形图如下：
（2）∵参加社会实践5天的至多，∴众数是5天．
∵600人中，按照参加社会实践天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
∴中位数是6天．
（3）∵2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800．
∴估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有800人．
21. 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【正确答案】（1）；（2）证明见试题解析．
【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理求得∠ADB的度数，然后解直角三角形即可求得BD，BC；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=；
（2）连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切线．
考点：1．切线的判定；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．
22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
【正确答案】(1)、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2)、x=1；(3)、﹣1＜x＜3．
【详解】试题分析：(1)、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)、(3)、利用二次函数图象性质作答．
试题解析：(1)、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4），
当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
(2)、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值；(3)、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3．
考点：(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数的最值．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
【正确答案】（1） y＝80x＋1200（0≤x≤6并且x为正整数）；（2） 至多可结余130元．
【分析】（1）根据题意可列出y与x的等式关系．
（2）由题意可列出一元没有等式方程组．由此推出y随x的增大而增大．
【详解】（1）（并且x为正整数）．
（2）可以有结余，由题意知
解没有等式组得
∴预支的租车费用可以有结余，
∵x取整数，
∴x取4或5，
∴y随x的增大而增大
∴当时，的值最小．
其最小值元，
∴至多可结余1650﹣1520＝130元．
答：至多可结余130元．
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析（3）①见解析；②见解析.
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD-BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=DF，
∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC等腰三角形．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．
【正确答案】（1），B(3， 0)；（2）；（3）没有存在，理由见解析
【详解】．解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1， 0)
当x＝0时， ∴ C(0，－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3， 0)
（2）由（1）知 B(3， 0) ， C(0，－3) 直线BC的解析式是：
设M（x，x-3）(0≤x≤3)，则E（x，x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的值＝
（3）答：没有存在．
由（2）知 ME 取值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1没有在抛物线上．
当P2时，由（1）知
∴P2没有在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方没有存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一．选一选(40分)
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2. 如图，将正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B.
C. D.
3. 二次函数y=（x﹣1）2+2的图象可由y=x2的图象（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
4. 下列命题中，没有正确的是（ ）
A. 垂直平分弦的直线圆心 B. 平分弦的直径一定垂直于弦
C. 平行弦所夹的两条弧相等 D. 垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
5. 下列成语中，属于随机的是（ ）
A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 守株待兔 D. 探囊取物
6. 在一个没有透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 14
7. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
8. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 度
A. 18 B. 30 C. 45 D . 60
9. 如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）
A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
二.填 空 题（20分）
11. 已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
12. 已知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是____________
13. 在同一平面上一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为3m，则⊙O的半径为____cm．
14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆，使⊙OA、B两点，下列结论正确的序号是____________
①AO=2CO；②AO=BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
三.解 答 题（90分）
15. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
16. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径.
17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
18. 现代互联网技术广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），结果上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为 ．
20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁说确，为什么？
21. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
22. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．
23. 如图1，已知正方形ABCD边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造，并指出是哪两个三角形全等（没有要求证明）；
（2）如图2，若点E线段BC上滑动（没有与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+cA、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．
2022-2023学年重庆市江津区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（卷二）
一．选一选(40分)
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A．ax2+bx+c=0，当a=0时，没有是一元二次方程，故A错误；
B．+=2，没有是整式方程，故B错误；
C．x2+2x=x2﹣1，是一元方程，故C错误；
D．3（x+1）2=2（x+1），是一元二次方程，故D正确．
故选D．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 如图，将正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置没有变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
3. 二次函数y=（x﹣1）2+2的图象可由y=x2的图象（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
【正确答案】D
【详解】y=x2向右平移1个单位得到:y=x-1)2,再向上平移2个单位得到:y=x-1)2+2.所以选D.
4. 下列命题中，没有正确是（ ）
A. 垂直平分弦的直线圆心 B. 平分弦的直径一定垂直于弦
C. 平行弦所夹的两条弧相等 D. 垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【正确答案】B
【详解】A. 根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线圆心；故本答案正确．
B. 直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但没有一定互相垂直，故被平分飞弦没有能是直径；故本答案错误．
C. 如图所示，
两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确．
D. 根据垂径定理可知，垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；故本选项正确．
故选B.
5. 下列成语中，属于随机的是（ ）
A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 守株待兔 D. 探囊取物
【正确答案】C
【详解】试题分析：A．水中捞月是没有可能，故A错误；
B．瓮中捉鳖是必然，故B错误；
C．守株待兔是随机，故C正确；
D．探囊取物是必然，故D错误；
故选C．
考点：随机．
6. 在一个没有透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 14
【正确答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
【详解】解：根据题意列出方程，
解得：x=6，
故选：B.
7. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【正确答案】B
【分析】根据旋转的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.
【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转是B．
故选B．
此题主要考查旋转的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.
8. 现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处没有重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 度
A. 18 B. 30 C. 45 D . 60
【正确答案】A
【详解】扇形圆心角= θ=108°-90°=18°.
9. 如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）
A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2
【正确答案】C
【详解】连接OD，
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3．
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴．
又∵，∴∠DOC=60°．
∴（米2）．
故选C．
10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说确的是【 】
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
【正确答案】C
【详解】∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0．
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0．
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴．∴b=2a＞0．
∴abc＜0，因此说法①正确．
∵2a﹣b=2a﹣2a=0，因此说法②正确．
∵二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）．
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，因此说法③错误．
∵二次函数图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而＜3
∴y2＜y1，因此说法④正确．
综上所述，说确的是①②④．
故选：C．
二.填 空 题（20分）
11. 已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
【正确答案】－3
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
【详解】设另一根为，则 ，
解得，，
故答案为－3．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
12. 已知拋物线y=x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是____________
【正确答案】-4≤y≤5
【详解】y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4,
x=1时最小值是-4，把x=-2代入抛物线，y=5是值.
所以-4≤y≤5.
13. 在同一平面上一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为3m，则⊙O的半径为____cm．
【正确答案】5或2
【详解】P点在圆内，半径是P点在圆外=2.
14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆，使⊙OA、B两点，下列结论正确序号是____________
①AO=2CO；②AO=BC；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．
【正确答案】①③④
【详解】连接OB，
∴OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OC＝OB＝OA，
即OA＝2OC，
故①正确；
∵cos∠OBC＝，
∴BC＝OB，
即BC＝OA，
故②错误；
∵∠ABO＝∠OBC＝30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
故③正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴，
∴点A、B、D将⊙O的三等分．
故④正确．
故答案为①③④．
三.解 答 题（90分）
15. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
【正确答案】(1)7；（2）x1=3, x2=-7
【详解】试题分析：（1）将a=4，b=3代入公式计算出结果即可；（2）根据运算规则计算出方程左边的结果，再解方程即可.
试题解析：
（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.
（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .
点睛：遇到新运算规则，理解题目的意思，套用公式即可.
16. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径.
【正确答案】6.5
【详解】如图，设圆弧的圆心为点O，连接AO，DO，则由题意可知：O、D、C在同一直线上，且OD⊥AB于点D，
∴∠ADO=90°，AD=AB=6，
设拱桥的半径为，则AO=，OD=OC-CD=，
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：，即：，解得：，
∴拱桥的半径为6.5.
17. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】试题分析：（1）利用正方形性质得到边相等角相等，利用SAS证明△ADE≌△ABF.
(2)利用勾股定理计算AE长度，再利用（1）的结论，易得△AEF是等腰直角三角形，求△AEF.的面积
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE==10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转 A点，按顺时针方向旋转90度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×100=50．
点睛：1.证明三角形全等的方法：
（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .
（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .
注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA没有能证明三角形的全等.
2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的图形，没有管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
18. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．
19. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），结果上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为 ．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）点P′的坐标为（b，﹣a）．
【详解】试题分析：（1）令起始边垂直，终边垂直.(2)把每个顶点坐标取相反数，连接.
(3) P′和P先逆时针旋转90°（横坐标变纵坐标的相反数，纵坐标等于横坐标），再作原点对称（横纵坐标都取相反数）.
试题解析：
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）P（a，b）次变换后P1(- b,a),第二次变换后点坐标为P′（b，﹣a）．
20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说确，为什么？
【正确答案】（1）BC=72﹣2x（2）小英说确
【分析】（1）、BC的长度=围栏的长度-AB和CD的长度+门的宽度；
（2）、首先求出S和x的二次函数关系，然后根据二次函数的性质求出S取值时x的值，从而得出矩形没有是正方形．
【详解】（1）、设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x；
（2）、小英的说确；
矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，
∵56﹣2x＞0，
∴x＜28，
∴0＜x＜28，
∴当x＝14时，S取值，
此时x56﹣2x，
∴面积的没有是正方形．
21. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.
【分析】（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
【详解】解：（1）由图可知三等奖占总25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
22. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OD、BD，OD||BC,DE⊥BC，所以DE⊥OD.
(2)利用30°的三角形求出DE长，再利用勾股定理得到OE长.
试题解析：
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，
∴BC=2，
∴BD=BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，
1×=2DE，
DE=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．
23. 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造，并指出是哪两个三角形全等（没有要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（没有与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+cA、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．
【正确答案】（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F
【详解】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；
（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；
②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．
解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AG=EC．
∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°﹣45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由题意可知抛物线A（0，1），D（1，1）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，
∴点F的坐标为F（a，a﹣1），
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，
∴a﹣1=﹣a2+a+1，
∴a=（负值没有合题意，舍去），
点F的坐标为F.
考点：二次函数综合题．
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