江苏省苏州市姑苏区苏州中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

江苏省苏州市姑苏区苏州中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．0

2．据统计，2022年前三季度苏州市国民生产总值（GDP）为16976.70亿元，数据16976.70精确到个位是（　　）

A．16970 B．16976 C．16977 D．17000

3．下列四个图形中，对称轴条数最多的是（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．圆

4．点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．已知点，点关于轴对称，则（　　）

A．1 B．5 C． D．

6．下列整数中，与最接近的是（　　）

A． B．0 C．1 D．2

7．已知一次函数，当时，对应的自变量的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

8．已知等腰三角形底边上的中线长为5，则这个等腰三角形的腰长可能为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（　　）

A． B． C．6 D．12

10．如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．16的算术平方根是___________．

12．若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k=_____．

13．在直角三角形中，两直角边长分别为2和，则斜边长为___________．

14．已知点，点都在直线的图像上，则___________（填“>”、“=”或“<”）．

15．将一把含角的三角尺和一把长方形直尺按如图所示摆放，若，则这把直尺的宽___________．

16．已知，则在平面直角坐标系中，点不可能出现在第___________象限．

17．如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为___________．

18．如图，将绕直角边的中点旋转，得到．若的直角顶点落在的斜边上，与交于点，且恰好是以为底边的等腰三角形，则___________．

19．已知，则______．

三、解答题

20．计算：．

21．求方程中的值：．

22．计算图中四边形ABCD的面积.

23．如图，过点的直线：（）与直线：交于点．

(1)求直线对应的函数表达式；

(2)当时，的取值范围是___________．

24．如图，在中，，点，，分别是，，的中点．求证：．

25．定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．

(1)若，求的度数；

(2)在（1）的条件下，若，求的长．

26．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，．以为斜边作等腰直角三角形，点落在第四象限内，连接．取边中点，连接交于点．

(1)求的长；

(2)若，求四边形的面积．

27．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题：

(1)甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟；

(2)求图①中的值；

(3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？

28．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，线段轴．动点从点出发，沿方向运动；同时，动点从原点出发，沿轴向右运动，动点，的运动速度均为1个单位长度/秒．当点到达终点时，点也随之停止运动．连接，过的中点作垂直于的线段，点在右侧且，如图①．设运动时间为秒．

(1)当时，点的坐标为___________；点的坐标为___________；

(2)当点落在轴上时，求的值；

(3)如图②，连接，，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据立方根的定义求解即可．

【详解】∵，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查求一个数的立方根．掌握如果，那么x叫做a的立方根是解题关键．

2．C

【分析】根据“四舍五入法”确定近似值即可．

【详解】数据16976.70精确到个位是16977．

故选C．

【点睛】本题考查求一个数的近似数．求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入即可．

3．D

【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．

【详解】解：∵等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；长方形有2条对称轴；圆有无数条对称轴；

∴圆的对称轴最多．

故选：D．

【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．

4．A

【分析】由题意可确定，再根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点位于第一象限．

【详解】∵，

∴点位于第一象限．

故选A．

【点睛】本题考查平方的非负性，平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题关键．

5．D

【分析】根据点，点关于轴对称，确定计算即可．

【详解】∵点，点关于轴对称，

∴，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查了点关于x轴对称的计算，熟练掌握对称点的坐标特点是解题的关键．

6．C

【分析】由，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1．

【详解】∵，

∴．

∵最接近1，

∴与最接近的是1．

故选C．

【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键．

7．A

【分析】由题意即得出，解出x的值即可．

【详解】∵一次函数解析式为，

∴当时，即，

解得：．

故选A．

【点睛】本题考查一次函数的性质．由，得出是解题关键．

8．D

【分析】根据等腰三角形三线合一性质，结合直角三角形斜边大于直角边，判定腰长要大于5，判断即可．

【详解】∵等腰三角形底边上的中线长为5，

根据等腰三角形三线合一性质，得到中线也是底边上高线，

∴直角三角形斜边大于直角边，

∴腰长要大于5，

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．

9．B

【分析】先证明，得到等边，设，则，解得x，在中，计算即可．

【详解】∵等边三角形，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

设，则，

∵，

解得，

∴，

∴的周长为，

故选B．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．

10．C

【分析】由直线，可得，易知；连接，交直线与点，连接，由轴对称的性质可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，则，，由勾股定理可得，解得，即可确定点的横坐标．

【详解】解：对于直线，

当时，，当时，，

∴，

∴，

连接，交直线与点，连接，如下图，

∵点与点关于直线对称，

∴，且，

∴，

∵点在第一象限内，且纵坐标为4，

∴轴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，

∴在中，，

即，解得，

∴，

∴点的横坐标为．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．

11．4

【详解】解：∵

∴16的平方根为4和-4，

∴16的算术平方根为4，

故答案为：4

12．2

【详解】

13．

【分析】根据勾股定理求解即可．

【详解】∵两直角边长分别为2和，

∴斜边长为．

故答案为：

【点睛】本题考查勾股定理．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．

14．<

【分析】由直线解析式可确定其y的值随x的增大而增大，再结合题意即可确定．

【详解】∵，

∴直线，y的值随x的增大而增大．

∵点，点都在直线的图像上，且，

∴．

故答案为：<．

【点睛】本题考查一次函数的图像和性质．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；

15．

【分析】过点E作，垂足为F，设长直角边与的交点为G，斜边与的交点为M，角的顶点为H，计算，结合，计算即可．

【详解】如图，过点E作，垂足为F，设长直角边与的交点为G，斜边与的交点为M，角的顶点为H，

∵，，，

∴，四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

16．第二象限

【分析】根据得到分计算即可．

【详解】∵,

∴，

当时，

得，

此时经过第一象限；

当时，

得，

此时经过第四象限；

当时，

得，

此时经过第三象限；

故不经过第二象限．

故答案为：第二象限．

【点睛】本题考查了坐标与象限，正确分类是计算判断的关键．

17．5

【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．

【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，

∵，点为边的中点，

∴，即为线段的垂直平分线，

∴点、关于对称，，

此时，的值最小，

∵，，

∴在中，，

∴，

即的最小值为5．

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．

18．##度

【分析】利用旋转性质得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可．

【详解】解： ∵绕直角边的中点旋转，得到，

∴，，

∴，

∴，

∵恰好是以为底边的等腰三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．

19．

【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入原式，利用二次根式的性质化简可得答案．

【详解】解：∵

∴，，

解得，，

所以，．

故答案为：．

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的顺序和运算法则．

20．

【分析】根据零指数幂，算术平方根的定义和二次根式的性质进行计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，算术平方根的定义和二次根式的性质．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．

21．

【分析】直接利用平方根的定义开平方求解即可．

【详解】解：，

开方，得：，

整理，得：，

解得：．

【点睛】此题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．

22．246

【分析】根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算△ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算△BCD的面积，即可解题．

【详解】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，

AD=12，AB=16，

则BD=，

故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246．

答：四边形ABCD的面积为246．

【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD和△BCD的面积是解题的关键．

23．(1)

(2)

【分析】(1)先求，结合确定解析式即可．

(2)根据交点坐标，结合图像确定解集即可．

【详解】（1）∵直线：（）与直线：交于点，

∴，

∴，

∵过，

∴，

解得，

∴．

（2）∵直线：（）与直线：交于点，且，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图像求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

24．见解析

【分析】利用三角形中位线定理证明即可．

【详解】∵点，，分别是，，的中点，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）分为，为，为，求解．

（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．

【详解】（1）当为时，

则，

故不成立；

当为时，

∵，

∴，

故不成立；

当为，

∵，

∴，

∴，

故不成立；

故，

解得，

∴．

（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，

∵，，

∴，，，

∴，，，

∵，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．

26．(1)

(2)

【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案；

（2）如图，过作于，过作于，记，的交点为，证明，可得，证明，可得，设，可得，由可得：，求解，利用可得答案．

【详解】（1）解：∵，，边中点为，

∴．

（2）如图，过作于，过作于，记，的交点为，

则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分，而，

∴，

∴，设，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

由可得：，

∴，

∴

．

【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的利用以上知识解题是关键．

27．(1)30

(2)

(3)乙机器人在“基本模式”下运动的速度是20米/分．在“全速模式”下运动的速度是60米/分．

【分析】（1）结合图①和图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米，从而即可求出甲机器人的速度；

（2）利用待定系数法可直接求出直线的解析式．再结合图②求出图①中直线的解析式，最后联立两个直线解析式，求解，其x的值即为a的值；

（3）根据速度=路程÷时间即得出答案．

【详解】（1）由图①可知1分钟~2分钟之间，甲机器人运动，乙处于静止，

由图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米，

∴甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是米/分钟．

故答案为：30；

（2）∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟，

∴运动5分钟甲机器人的路程为米．

设直线的解析式为，

∴，

解得：，

∴直线的解析式为．

∵运动2分钟甲机器人的路程为米，且此时甲、乙运动的路程差d为40米，

∴运动2分钟乙机器人的路程为米．

∵5分钟时甲、乙运动的路程差d为米，

∴运动5分钟乙机器人的路程为米．

设直线的解析式为，

∴，

解得：，

∴直线的解析式为．

由题意可知点C表示，两机器人相遇，

∴联立，解得：，

∴图①中的值为；

（3）由（2）可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米/分．

∵运动2分钟乙机器人的路程为20米，且1分钟~2分钟之间，乙处于静止，

∴0分钟~1分钟之间乙机器人的路程为20米，

∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米/分．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用．读懂题意，看懂图象，从图象中得到必要的信息和数据是解题关键．

28．(1)，

(2)或5

(3)的面积为定值10

【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得，，进而可求解M、N的坐标；

（2）证明是等腰直角三角形，，得到，，分两种情况列方程求解即可；

（3） 过N作轴于D，交于C，连接，，证得到，，进而求得，，然后由求得，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可得出结论．

【详解】（1）解：由题意，当时，，，

∵点的坐标为，轴，

∴，，

∴，

∴，，则，

∵M为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为：，；

（2）解：如图③，连接，

由题意，t秒时，，则，

∵M为的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，，即轴，

∴是等腰直角三角形，且，

∴，，

∵，

∴，

∴；

同理，如图④，

∵，，

∴是等腰直角三角形，，即轴，

则，，

由得，∴，

综上，当点落在轴上时，或5；

（3）解：过N作轴于D，交于C，连接，，

则，，，

∵，，

∴是等腰直角三角形，，则 ，

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

∵，，∴，

∴，又，

∴，

∴，

故的面积为定值10.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．