湖北省仙桃市第二中学2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷

这是一份湖北省仙桃市第二中学2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省仙桃市第二中学2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下面图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
5．如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（    ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
6．如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
7．如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（　　）

A．13 B．18 C．21 D．26
8．如图所示，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到，若，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．
9．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…

且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜，其中，正确结论的是（　　）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

二、填空题
11．周末雪容融和冰墩墩来到奶茶店，经询问他们了解到，店内销量较高的四种奶茶是红豆奶茶，珍珠奶茶，港式奶茶和香草奶茶，他们两人选到同一种口味的概率是_____________．
12．已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是___________．
13．如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆，过点作的平行线分别交两弧于点D，E，则图中阴影部分的面积是 _____．

14．如图，点E是正方形ABCD的边AD上一动点（不与端点重合），连接BE，将△BAE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCH，点A关于BE的对称点为F，连接FB，FH．在点E的运动过程中，当HB＝HF时，tan∠FBH＝_____．

15．如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =_______．


三、解答题
16．解方程：．
17．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．
18．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中画的中点D；
(2)在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
(3)如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．
19．王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：

（1）这次随机抽取的样本容量是　　，其中C类女生有　　名，D类男生有　　名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为　　度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
20．如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．

（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．
21．如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．

(1)求直径的长；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
22．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利. 经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人.设提价后的门票价格为x(元/人)()，日接待游客的人数为y(人).
(1)求y与()的函数关系式；
(2)已知景点每日的接待成本为z(元)，z与y满足函数关系式是，求景点的门票价格为多少元时，每日获取的利润为7900元？(利润＝门票收入－接待成本)
(3)在(2)的条件下，直接写出当门票价格为多少元时，景点每日获取的利润最大？
23．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，E为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点．

【观察发现】
与的位置关系是______；
【思考表达】
（1）连接，判断与是否相等，并说明理由；
（2）如图（2），延长交于点G，连接，请探究的度数，并说明理由；
【综合运用】
如图（3），当时，连接，延长交于点G，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
(3)将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______．

参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义:旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【详解】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，解题的关键是找出图形的对称中心与对称轴．
2．C
【分析】先设每个正六边形的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个正六边形的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
3．C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．D
【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5．B
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【详解】解：如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，



设，又，



，

故选B．

【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
6．B
【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理求出，则是的垂直平分线，得到，可证是等边三角形，则．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是解题的关键．
7．C
【分析】作轴于E，轴于F，轴于H，由平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：作轴于E，轴于F，轴于H，
∵四边形为平行四边形，和平行于x轴，
∴，
∴




．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
8．B
【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与AB交点为D，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴AD2＝AC′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选B
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
9．D
【分析】第一天为3亿元，根据增长率为x得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据三天累计为10亿元，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．B
【分析】根据图表信息可知图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），依据对称轴以及与系数的关系分析即可.
【详解】解：①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2，
∴a＞0，b＜0，
∴函数图象的顶点在第四象限内；
∴①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，
∴②正确；
③∵对称轴为直线x＝
∴﹣＝，
∴b＝﹣a，
∵当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，
∴a﹣b﹣2＞0，即a+﹣2＞0，∴a＞．
∵对称轴为直线x＝，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞．
∴4a﹣4，
∴③错误．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质及其图像性质，利用性质特征求出对称轴，顶点结合二次方程的根判断交点情况等.
11．##0.25
【分析】利用画树状图的方法，得出所有等可能的结果数与两人选到同一种口味的结果数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：用分别表示四种奶茶：红豆奶茶，珍珠奶茶，港式奶茶和香草奶茶，
画树状图如下 ：
所有等可能的结果数为16种，其中两人选到同一种口味的结果数为4种，
他们两人选到同一种口味的概率是：；
故答案为：．

【点睛】此题考查了随机事件的概率，熟练掌握画树状图或列表的方法求概率是解答此题的关键．
12．
【分析】根据以及点在第二象限，可得，再由关于原点对称的两个点的坐标特征，可得点M关于原点对称的点的坐标是．
【详解】解：∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
即，
∴点M关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点坐标的特征，熟练掌握坐标的对称变换是解题的关键．
13．
【分析】连接，由图可知．根据已知条件易求得，．，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【详解】解：如图，连接．

，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作圆，
，，．
又，
．
在直角中，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．正确记忆不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算是解题关键．
14．2
【分析】过点作的垂线交于点，证明出，得到，不妨设，则，根据即可求解．
【详解】解：当HB＝HF时，
为等腰三角形，
由旋转的性质可得：，
即，
过点作的垂线交于点，

根据等腰三角形三线合一，即点为的中点，
在点E的运动过程中，当HB＝HF时，
即点E的运动至的中点处成立，
点A关于BE的对称点为F，可得,连接，
在与中，
，
，
，
不妨设，则，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转、三角形全等的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、求正切值，解题的关键是证明三角形全等进行求解．
15．2
【详解】根据题意，得
C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）；
C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）；
C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）；
C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）；
……
C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）．
对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2，
故答案为2．
16．，
【分析】根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，

，．
【点睛】本题主要考查公式法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程，
∴
==．   
∵，
∴．
∴ 该方程总有两个实数根．　　　 　              
（2）解：∵一元二次方程，
解方程，得，．                    
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)①∠F＝45°；②见解析

【分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，点即为所求；
（2）作出的中点，连接即可；
（3）①利用等腰直角三角形的性质判断即可；
②取格点，连接，延长交于点，作直径，连接，延长交 点，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；

（2）解：如图1中，点即为所求；

（3）解：①是等腰直角三角形，
；
②如图2中，线段即为所求．

【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（1）20、2、1、36；（2）画图见解析；（3）
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360°乘以D类别人数占总人数的比例即可得；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可.
【详解】解：（1）这次随机抽取的样本容量是（1＋2）÷15%＝20，
C类女生有20×25%﹣3＝2（名），D类男生有1名，
扇形统计图中D类所对应的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：20、2、1、36；
（2）补全图形如下：

（3）画树状图如下：

一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，
所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为＝.
【点睛】此题考查了本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.掌握总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法是解此题的关键．
20．（1）1；（2）．
【分析】（1）将A的坐标为代入,然后根据三角形的面积即可求出n的值；
（2）过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，再表示出B点坐标，进而求出k2，即可求得y2的解析式．
【详解】解：（1）∵A，且轴
∴AH=，OH=n
又∵的面积为．
∴ ,即
解得，；
（2）如图：过点B作BQ⊥x轴于点Q，

∵轴，
∴BQ=AH=，
又OH=1，则AO=2
∵，
∴∠AOH+∠BOQ=90°，
又∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠OAH=∠BOQ，
又∵∠OHA=∠BQO=90°，
∴
∴，即
∴QO=3
∵B位于第二象限
∴B点的坐标为（-3，）
∵B在反比例函数的图象上，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B(-3,)是解答此题的关键．
21．(1)4
(2)6

【分析】（1）设辅助线，利用直径、角平分线的性质得出的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知，得出的度数，根据圆周角的性质结合得出，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出的值，进而利用直角三角形面积公式求出，由阴影部分面积可知即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，连接，

为的直径，平分，
，，．
．
，，
，即．
．
．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，

由（1）已知，，，，
．
，
弦弦，劣弧劣弧．
．
为的直径，，
，．
，
．
．
．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．
22．(1)
(2)景点的门票价格为30元或50元时，每日获取的利润为7900元
(3)40

【分析】（1）根据题意直接得出一次函数解析式即可；
（2）根据题意得出一元二次方程，然后求解即可；
（3）由题意确定出二次函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意，，即；
（2）解：∵，，
∴，
依题意，，
即，
整理得：，
解得：，
答：景点的门票价格为30元或50元时，每日获取的利润为7900元；
（3）解：设景点每日的利润为W元，则：
，
当时，景点每日获取的利润最大．
【点睛】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用等，理解题意，列出方程及函数解析式是解题关键．
23．【观察发现】；【思考表达】（1）相等，理由见解析；（2），理由见解析；【综合运用】，理由见解析
【分析】观察发现：由翻折的性质即可得到答案；
思考表达：（1）连接．先证，得到，由翻折变换的性质可知，即可得到；
（2）连接，，由翻折的性质可知，设，，则，得到，则，得到，则，进一步即可得到，则，得到结论；
综合运用：延长交的延长线于点T，过点D作交的延长线于点R．设，，，，在中，则有，得到，，再证，即可得到．
【详解】解：【观察发现】如图（1）中，由翻折的性质可知，．
故答案为：；
【思考表达】（1）结论：．
理由：如图（2）中，连接．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴；
（2）结论：．
理由：如图（2）中，连接，，
由翻折的性质可知，
设，．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【综合运用】结论：．
理由：如图（3）中，延长交的延长线于点T，过点D作交的延长线于点R．

设，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
在中，则有，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理、折叠的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，恰当添加辅助线是解题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)或

【分析】（1）求出点的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点的坐标，根据的面积列出函数解析式，再根据函数最大值求出坐标；
（3）用表示出点的坐标，根据与抛物线有一个交点，进而可以得出取值范围．
【详解】（1）解：∵将代入
∴
解得
∴
令，则
∴
将代入
∴
解得
∴
令，则
解得或
∴
故答案为：，
（2）解：设，则
∴
∴
∴当时，面积最大，
此时；

故答案为：
（3）解：∵
∴抛物线的顶点
∵点横坐标，
∴则
如图1，当经过抛物线的顶点时


解得
此时线段与抛物线有一个交点；
如图2，当点与点重合时，，

解得
当点与点重合时，
∴时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的解析，数形结合是解题的关键．