山西省大同市第二中学校2022-2023学年八年级上学期1月期末数学试题

山西省大同市第二中学校2022-2023学年八年级上学期1月期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下图的四个古汉字中，不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）．

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

3．下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)

①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；

②x3+x=x(x2+1)；

③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；

④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．2019年5月24日，中国·大同石墨烯+新材料储能产业园正式开工，这是大同市争当能源革命“尖兵”的又一重大举措．石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为0.00000000034米，这个数据用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

6．用提公因式法分解因式2x2y2﹣8x2y4时，应提取的公因式是（　　）

A．8x2y4 B．2x2y2 C．2x2y4 D．8x2y2

7．在中，，若，则的形状为(   )

A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形

8．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②．这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图②中Ⅱ部分的面积是(　　)

A．60 B．100 C．125 D．150

9．已知分式的值为 0，则 （       ）

A．1 B． C．1 或 D．0

10．小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（    ）

A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张

C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张

二、填空题

11．计算： ______ ．

12．若点与点 关于x轴对称，则__________．

13．因式分解：_____________．

14．化简的结果是__________．

15．如果2x+3y-3=0，那么4x·8y=___________

16．若是一个完全平方式，则k=___________．

三、解答题

17．分解因式：

(1)2a3－4a2b＋2ab2；

(2)x4－y4.

18．用乘法公式简便计算：

(1)；

(2)．

19．（1）计算：．

（2）下面是小静同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务．

计算：

解：原式……第一步

……第二步

．……第三步

任务一：①以上解题过程中，第一步需要依据__________和__________公式进行运算．

②第__________步开始出现错误，这一步出现错误的原因是__________．

任务二：请直接写出本题的正确结果．

20．（1）计算：；

（2）化简：．

21．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，求的长．

22．阅读下列材料，并完成相应的任务：

任务：（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______；

（2）请直接写出的展开式：______；

（3）根据（2）中的规律，求的值，写出计算过程．

23．综合与实践

如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

(1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）．

(2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．

解：原式

．

在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：．

(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

24．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为．

(1)当时，则点的坐标为（______，______）；

(2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)当时，在坐标平面内是否存在一点不与点重合，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此逐一判断即可得答案．

【详解】A.是轴对称图形，故该选项不符合题意，

B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，

C.是轴对称图形，故该选项不符合题意，

D.是轴对称图形，故该选项不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．B

【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，

由

得n=5．

故选B．

3．B

【分析】根据完全平方公式可判断A，根据负整数指数幂的含义可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据积的乘方运算可判断D．

【详解】A． ，本选项不符合题意；

B． ，本选项符合题意；

C． ， 本选项不符合题意；

D． ，本选项不符合题意．

故选B

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，熟记以上基础运算的运算法则是解本题的关键．

4．B

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；

②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；

③整式的乘法，故③不是因式分解；

④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；

故选B

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．

5．C

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：0.00000000034=，

故选：C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6．B

【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．

【详解】，

系数分别为和，最大公约数为，

所含字母为，最低次都是2，

公因式是．

故选B．

【点睛】本题考查了找公因式，掌握提公因式的方法是解题的关键．

7．B

【分析】根据等边三角形的判定方法可以判定的形状.

【详解】解：在中，，则为等腰三角形，

又，

所以是等边三角形.

故选B

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记有一个角是的等腰三角形是等边三角形的定理是解题关键.

8．B

【分析】分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形Ⅱ部分的长和宽即可．

【详解】解：如图：

∵拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a-b），

∴，解得a=25，b=5，

∴长方形Ⅱ的面积=b（a-b）=5×（25-5）=100．

故选∶B．

【点睛】本题考查了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的几何背景，解题的关键是找出图形等积变化过程中的等量关系．

9．B

【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．

【详解】解：∵分式的值为 0，

∴，解得．

故选：B．

【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．

10．C

【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．

【详解】解：大长方形的面积为，

类卡片的面积是，

∴需要类卡片的张数是，

∴不够用，还缺4张，

故选：．

【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．

11．##-1+4a

【分析】利用整式的混合运算及完全平方公式求解即可．

【详解】a（a+2）-（a-1）2

=a2+2a-a2+2a-1，

=4a-1．

故答案为4a-1．

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟记完全平方公式．

12．13

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程即可．

【详解】解：∵点与点关于x轴对称，

∴，

解得：，

∴，

故答案为：13．

【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

13．

【分析】根据提公因式和平方差公式化简即可得正确答案．

【详解】解：原式=

故答案为：

【点睛】本题考查的是因式分解相关知识点，根据提公因式法和平方差公式解题是关键．

14．

【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【详解】解：原式，

，

故答案是：．

【点睛】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．

15．8

【分析】根据题意得出2x+3y=3，然后利用同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算进行计算即可．

【详解】解：∵2x+3y-3=0，

∴2x+3y=3，

∴，

故答案为：8．

【点睛】题目主要考查求代数式的值及同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

16．±8

【分析】根据平方项可知是x和4的完全平方式，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．

【详解】解：∵x2+kx+16是一个完全平方式，

∴kx＝±2×4•x，

解得k＝±8．

故答案为：±8．

【点睛】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．

17．(1) 2a(a－b)2；(2) (x2＋y2)(x＋y)(x－y)

【分析】（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行二次因式分解；

（2）两次利用平方差公式分解因式即可；

【详解】(1)解：原式＝2a(a2－2ab＋b2)

＝2a(a－b)2；

(2)解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)

＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式分解因式，（1）提取公因式后再利用完全平方公式继续进行二次因式分解；（2）连续运用平方差公式进行二次因式分解.

18．(1)

(2)

【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；

（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，理解和掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

19．（1）；（2）任务一：平方差公式；完全平方；一；完全平方公式使用错误；任务二：

【分析】（1）先根据积的乘方去括号，再根据同底数幂的乘法计算；

（2）任务一：直接根据平方差公式和完全平方公式作答即可；

任务二：先根据平方差公式和完全平方公式正确化简，再去括号合并同类项即可．

【详解】（1）

（2）任务一：

①以上解题过程中，第一步需要依据平方差公式和完全平方公式进行运算．

②第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是完全平方公式使用错误．

故答案为：平方差公式；完全平方；一；完全平方公式使用错误；

任务二：

原式

．

【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，乘法公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．

20．（1）；（2）

【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根的定义、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案；

（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题考查分式的加减运算、乘除运算法则、绝对值的性质、立方根的定义、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．

21．6．

【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠B=30°，根据直角三角形两锐角互余的性质可求出∠BAC=60°，可求出∠DAC的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AD的长，即可得BD的长．

【详解】连接，

∵是线段的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴在中，

∴，

∴．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．

22．（1）4，6，4；（2）；（3）14641．

【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可；

（2）根据“杨辉三角”的规律即可得答案；

（3）把114变形为(10+1)4，根据“杨辉三角”的规律计算即可得答案.

【详解】（1）∵“杨辉三角”的特征为两条斜边都是数字1组成，其余的数是等于它“肩”上的两数之和，

∴（▲）中可填入的数字依次为4，6，4，

故答案为：4，6，4

（2）由（1）可知的展开式中各项系数为1、4、6、4、1，

∴=，

故答案为：

（3）

【点睛】本题考查数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键.

23．(1)；；

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解；

（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；

（3）根据（1）中结论，即可求解．

【详解】（1）解：根据题意，，，

∵，

∴，

故答案为：；；．

（2）解：

，

故答案为：．

（3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为，

∴

，

∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．

24．(1)

(2)不变，

(3)存在，或或

【分析】（1）先过点C作轴于E，证，推出，，即可得出点C的坐标；

（2）先过点C作轴于E，证，推出，，可得，即可得出点C的坐标为，据此可得的值不变；

（3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案．

【详解】（1）如图1，过点C作轴于E，

则．

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴，．

∵，，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：，

（2）动点A在运动的过程中，的值不变，值为．

证明如下：

如图1，过点C作轴于E，

则．

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴，．

∵，，

∴，，

∴，

∴．

∵，，

∴，，

∴，

∴．

又∵点C的坐标为，

∴，

即，值不变；

（3）存在一点P，使与全等，分为三种情况：

①如图2，过P作轴于E，

则，

∴，，

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∴，

即P的坐标是

②如图3，过C作轴于M，过P作轴于E，

则．

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴，．

由（2）知C的坐标为，且，

∴，且，

∴，，

即P的坐标是；

③如图4，过P作轴于E，

则．

∵，

∴，，

∴，，

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴点P的坐标是．

综合上述：符合条件的P的坐标是或或．

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想．