2023年中考数学复习考点一遍过——相交线与平行线

2023年中考数学复习考点一遍过——相交线与平行线

一、单选题（每题3分，共30分）

1．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（　　）

A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角

C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角

2．如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　）

A．46° B．90° C．96° D．134°

3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（　　）

A．30° B．40° C．60° D．70°

4．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

5．如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　）

A．27° B．53° C．57° D．63°

6．下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

8．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　）

A．100° B．80° C．70° D．60°

9．如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）

A．40° B．60° C．80° D．100°

10．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°

二、填空题（每题3分，共24分）

11．如图，在中，，若，则的度数是　     　.

12．如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接.若的面积是2，则的值是　     　.

13．一副三角板如图放置，，，，则　     　．

14．1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　     　．

15．如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是　         　．

16．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 沿DE翻折得到 ，点F落在AE上．若 ， ，则 　     　cm． 

17．如图，在中，弦半径，则的度数为　     　．

18．如图，在等腰直角三角形中，，点M，N分别为，上的动点，且，.当的值最小时，的长为　     　.

三、解答题（共8题，共66分）

19．填空并完成以下证明：

如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
 

解：∠AED与∠C的大小关系是              ．

证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）

∠1＝∠DFH（　　）

∴            ＝180°

∴EH∥AB（　　）

∴∠3＝∠ADE（　　）

∵∠3＝∠B

∴∠B＝∠ADE（　　）

∴            ∥BC（　　）

∴∠AED＝∠C（　　）

20．如图，，直线分别与直线、直线相交于点E，F，点G在上，平分．若，求的度数．

21．如图，、分别在、上，是的中点，，求证：．

22．如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.

 求证：CD∥OB.

23．如图，在△ABC与△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF；求证：AC∥DF．

24．已知：如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，问DF与BE平行吗？为什么？

25．如图，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，DE∥BC，∠A＝65°，∠B＝35°，求∠EDC的度数．

26．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD.理由如下：

∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠CGD（　　）

∴∠2＝∠CGD（等量代换）

∴CE∥BF（　　）

∴∠      ▲      ＝∠BFD（　　）

又∵∠B＝∠C（已知）

∴      ▲      （等量代换）

∴AB∥CD（　　）

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．

故答案为：D．

【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义对每个图形一一判断即可。

2．【答案】C

【解析】【解答】解：∵l1∥l2，

∴∠1+∠3+∠2＝180°，

∵∠1＝38°，∠2＝46°，

∴∠3＝96°.

故答案为：C.

【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2＝180°，据此计算.

3．【答案】B

【解析】【解答】解：如图：

∵m∥n，∠1=70°，

∴∠1=∠ABD=70°，

∵∠ABC=30°，

∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，

故答案为：B．

【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出∠ABD的度数，根据∠2=∠ABD-∠ABC，代入计算求出∠2的度数.

4．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°−50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°−50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

5．【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示：

∵AE∥BF，

∴∠EAB=∠ABF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠ABC=90°，

∴∠ABF+27°=90°，

∴∠ABF=63°，

∴∠EAB=63°，

∵AB∥CD，

∴∠AED=∠EAB=63°．

故答案为：D．

【分析】先求出∠EAB=∠ABF，再求出∠ABF=63°，最后求解即可。

6．【答案】D

【解析】【解答】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；

B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；

C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；

D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据作平行线的方法对每个选项一一判断即可。

7．【答案】C

【解析】【解答】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，

∵

∴

∴

∵//

∴

故答案为：C

【分析】相加入射角等于反射光线与镜面的夹角，得出∠2的度数，再根据平行线的性质得出答案。

8．【答案】B

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠AEG=∠EGC，

∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，

∴∠GEF=30°，

∴∠GEA=80°，

∴∠EGC=80°．

故答案为：B．

【分析】先利用平行线的性质可得∠AEG=∠EGC，再利用角的运算求出∠GEF=30°，再利用平行线的性质可得∠EGC=∠GEA=80°。

9．【答案】C

【解析】【解答】解：∵纸片是菱形

∴对边平行且相等

∴（两直线平行，内错角相等）

故答案为：C.

【分析】根据菱形的性质可得对边平行，由两直线平行，内错角相等可得∠1的度数.

10．【答案】D

【解析】【解答】解：如图：连接OB，

∴OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB．

∵OC＝OD，

∴OC＝OB．

∵OC⊥AB，

∴，

∴∠OBC＝30°．

∵，

∴∠BOD＝∠OBC＝30°，

∴∠OBD＝∠ODB＝75°，

∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°.

故答案为：D.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，由已知条件可得OC＝OB，求出sin∠OBC的值，得到∠OBC的度数，根据平行线的性质可得∠BOD＝∠OBC＝30°，结合内角和定理可得∠OBD＝∠ODB＝75°，然后根据∠ABD＝∠OBC+∠OBD进行计算.

11．【答案】40°

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：40°.

【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，进而根据二直线平行，内错角相等得∠CAD=∠ACB，进而根据三角形的内角和算出∠ACB的度数即可.

12．【答案】

【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，

∵的面积是2，

∴点到的距离为，

在中，点到的距离为，

∴点到的距离为，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

 【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据三角形的面积计算公式得出得出点E到AB的距离，由等面积法算出点C到AB的距离，从而即可得出点C到DF的距离，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△CAB，根据相似三角形的性质建立方程，求解可得CD、DF的长，然后根据角平分线的性质及平行线的性质可推出DA=DE=1，据此就不难求出DE与EF的比值了.

13．【答案】105

【解析】【解答】解：如图，

∵ ，

∴ ，

， ，

，

故答案为：105.

【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠2=∠A=45°，由内角和定理可得∠D=60°，由外角的性质可得∠1=∠2+∠D，据此计算.

14．【答案】40°

【解析】【解答】解：如图，

∵AC⊥BC，
∴∠2+∠3=90°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=90°-50°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用垂直的定义可证得∠2+∠3=90°，利用平行线的性质可得到∠3的度数，即可求出∠2的度数.

15．【答案】53°28′

【解析】【解答】解：如图

l1l2，l2l3，

，，

，

∠1＝，

，

故答案为：53°28′．

 【分析】先求出，，再根据∠1＝，计算求解即可。

16．【答案】

【解析】【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， ，四边形ABCD是矩形，

∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，

∵AF=2EF，

∴AF=6cm，

∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=DF， ，

∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，

∴AD=AE=9cm，

∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2

∴62+DF2=92，

∴DF= (cm)，

AB=DF= (cm).

故答案为∶ ．

【分析】由折叠及矩形的性质得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，易得AF=2EF=6cm，则AE=AF+EF=9cm，根据矩形的性质可得AB=CD=DF，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC=∠DEF，则AD=AE=9cm，然后在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的值，据此解答.

17．【答案】100°

【解析】【解答】解：∵，

∴∠OCA=∠BOC=40°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=40°，

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，

故答案为：100°．

【分析】先利用平行线的性质可得∠OCA=∠BOC=40°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°即可。

18．【答案】

【解析】【解答】解：如图，过点A作AD∥BC，且AD=AC，连接DN，如图1所示，
 

，

又，

，

，

，

当三点共线时，取得最小值，

此时如图2所示，
 

在等腰直角三角形中，，

，

，

，

，

，

，

，

，

设，

，

，

，

，，

，

，

即取得最小值为.

故答案为：.

【分析】过点A作AD∥BC，且AD=AC，连接DN，根据平行线的性质可得∠DAN=∠ACM，证明△AND≌△CMA，得AM=DN，故当B、N、D三点共线时，BN+AM取得最小值，由等腰直角三角形的性质得BC，由全等三角形性质得∠ADN=∠CAM，由等腰三角形性质得∠ADN=∠ABN，由平行线性质得∠ADN=∠MBN，推出∠ABN=∠MBN，设∠MAC=α，则∠BAM=90°-α，∠ABM=2α=45°，据此得α的度数，由内角和定理可得∠AMB=67.5°，由余角的性质可得∠BAM=90°-22.5°=67.5°，则AB=BM，由CM=BC-BM可得CM，据此求解.

19．【答案】解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠DFH（对顶角相等），
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．

【解析】【分析】由对顶角相等得∠1＝∠DFH，由等量代换求得∠2＋∠DFH＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，可判定EH∥AB，再根据二直线平行，内错角相等得∠3＝∠ADE，由等量代换求得∠B＝∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可判定DE∥BC，最后根据二直线平行，同位角相等得∠AED＝∠C．

20．【答案】解：∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，求出，再结合，求出即可。

21．【答案】证明：是的中点，

，

在和中，

，

≌，

，

，

．

【解析】【分析】先利用“SAS”证明 ≌，可得，证出AB//DF，再利用平行线的性质可得。

22．【答案】证明：∵OD＝CD，

∴∠DOC＝∠DCO，

∵OC平分∠AOB，

∴∠DOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠DCO，

∴DC∥OB.

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，由角平分线的概念可得∠DOC＝∠BOC，则 ∠BOC＝∠DCO，然后根据平行线的判定定理进行证明.

23．【答案】证明：∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC，

即BC=EF，

在和中，

，

∴，

∴，

∴AC∥DF.

【解析】【分析】根据BE=CF以及线段的和差关系可得BC=EF，由已知条件可知AB=DE，∠ABC=∠DEF，利用SAS证明△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠F，然后根据平行线的判定定理进行证明.

24．【答案】解：DF∥BE，理由如下：

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

∵AD∥BC，

∴∠A＝∠C，

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴∠DFA＝∠BEC，

∴∠DFE＝∠BEF，

∴DF∥BE．

【解析】【分析】由线段的和差得AF=CE，由二直线平行，内错角相等得∠A=∠C，利用SAS证△ADF≌△CBE ，得∠DFA＝∠BEC， 根据等角的补角相等得∠DFE＝∠BEF，根据内错角相等，两直线平行，得出结论.

25．【答案】解：在 中，

， ，

，

为 的角平分线，

，

∵DE∥BC，

．

【解析】【分析】根据三角形内角和定理得出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得出∠BCD=40°，再根据平行线的性质得出∠EDC=∠BCD=40°，即可得出答案.

26．【答案】解：∵∠1＝∠2（已知），

且∠1＝∠CGD（对顶角相等），

∴∠2＝∠CGD（等量代换），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），

又∵∠B＝∠C（已知），

∴∠BFD＝∠B（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），（内错角相等，两直线平行）.

【解析】【分析】由已知条件可知∠1＝∠2，由对顶角的性质可得∠1＝∠CGD，则∠2＝∠CGD，根据同位角相等，两直线平行，推出CE∥BF，根据二直线平行，同位角相等，可得∠C＝∠BFD，结合∠B＝∠C，则∠BFD＝∠B，然后根据内错角相等，两直线平行，进行证