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2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析，共55页。试卷主要包含了认真选一选，仔细填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、认真选一选（共10题，共30分）
1. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是（ ）
A. B. x＞3 C. －1＜x＜3 D. 或x＞3
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
4. 现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么他们各掷所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知等边的边长为，以为直径的⊙与边，分别交于，两点，则劣弧的长为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
7. 小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
10. 如图，已知的三边长为，，，且，若平行于三角形一边的直线将的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为、、，则、、的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
二、仔细填一填（共6题，共24分）
11. 已知一个正多边形的一个外角的余弦值为，那么它是__________边形．
12. 在的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________．
13. 如图，直角三角形中，，，垂直于于，过、圆交于，交于，若， ，则__________，__________．
14. 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距个单位长度．已知线段交线段于点，则线段的长是__________．
15. 如图，内接于⊙，于点，，，，则⊙的直径是__________．
16. 设二次函数，当时，总有，当时，总有，则的取值范围是__________．
三、全面答一答（共7题，17题6分，18、19每题8分，20、21每题10分，22、23每题12分）
17. 小明外出游玩时，带了件上衣和条长裤，上衣颜色有白色、蓝色，长裤有白色、黑色、蓝色，随意拿出一条裤子和一件上衣问题为：
（）小明随意拿出一条裤子和一件上衣配成一套，列出所有可能出现结果的“树状图”；
（）他任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的概率是多少？
（）小明正好拿出黑色长裤的概率是多少？
18. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
19. 如图，已知：中，，，，点、分别在边、上，，，求的长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，点是抛物线上在象限内的一点，直线与轴相交于点．
（）当点是线段的中点时，求点的坐标．
（）在（）的条件，求的值．
21. 如图所示，已知是⊙的直径，、是⊙上的两点．
（）若，求的度数．
（）已知，连接、，其中与直径相交于点，求证：．
（）在（）的条件下，若，求的值．
22. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
23. 平面内,如图,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，点P为AD边上任意点,连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
（1）当∠DPQ= 10°时，求∠APB的大小；
（2）当 时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；
（3）若点Q恰好落在口ABCD边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、认真选一选（共10题，共30分）
1. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】由图可知，，，
∴，
∴．
故选．
2. 二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是（ ）
A. B. x＞3 C. －1＜x＜3 D. 或x＞3
【正确答案】C
【分析】根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可.
【详解】由图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴下方，y＜0，
故选C.
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
【正确答案】B
【详解】试题分析：先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．
∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故选B．
考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.
4. 现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么他们各掷所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．
【详解】解：列表法：
∴点P坐标共有36种可能，其中能落在抛物线上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为：．
故选：B．
本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个的概率=．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
5. 如图，已知等边的边长为，以为直径的⊙与边，分别交于，两点，则劣弧的长为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，连接，，由题意可知，，，均半径，
又知，
∴与均为等边三角形，
∴，
∴劣弧长为．
故选．
点睛：本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【正确答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
7. 小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】D
【详解】延长交的延长线于点，作于点，
有，，
∵测得米杆影长为米，
∴，
∴．
∴电线杆的长度为（米）．
故选．
点睛：此题主要是运用所学的解直角三形的知识解决实际生活中的问题．注意：在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．
8. 已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：当y=0，则，（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），
=，∴M点坐标为：（2，﹣1）．
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为： =．
故选A．
9. 如图，正方形ABCD中，M为DC中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【正确答案】A
【详解】设，有，正方形边长为，
在中，
，
∴，
在中，
，
∴．
在中，，
∴为直角三角形，
∴．
故选．
10. 如图，已知的三边长为，，，且，若平行于三角形一边的直线将的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为、、，则、、的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】设的面积为，周长为，
①中有，与，交于点与点，
∴，
∴；
②，同理可知；
③，同理可知；
∵，
∴，
∴，
∴．
故选．
点睛：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，等比性质等知识，把相似三角形的面积比等于相似比的平方转化为相似三角形面积的算术平方根的比等于相似比，是解决本题的关键．
二、仔细填一填（共6题，共24分）
11. 已知一个正多边形的一个外角的余弦值为，那么它是__________边形．
【正确答案】
【详解】∵外角余弦值为，
∴这个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴正多边形边数为．故答案为12.
12. 在的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________．
【正确答案】
【详解】方格中只能填“”或“”，共有种填法，
能成为完全平方式，前面必须为“”，共有个．
∴概率为．故答案为 .
13. 如图，直角三角形中，，，垂直于于，过、的圆交于，交于，若， ，则__________，__________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】依题意可知，点，，，都在圆上，为圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
在与中，
，
∴≌，
∴，
且为等腰直角三角形，为直角三角形，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴．故答案为 ， .
14. 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距个单位长度．已知线段交线段于点，则线段的长是__________．
【正确答案】
【详解】连接，过点作交于点，
∴，
∴，
有，，，
∴，
∴，
∵，
∴．故答案为.
15. 如图，内接于⊙，于点，，，，则⊙的直径是__________．
【正确答案】
【详解】作交⊙与点，
∵，
∴为直径，
∵，
且，
∴，
∴．故答案为7.5cm.
16. 设二次函数，当时，总有，当时，总有，则的取值范围是__________．
【正确答案】
【详解】∵时，，当时，，
∴时，，即有，
故，
依题意，时，，即，
将代入，可得，
解得．故答案.
点睛：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到项系数和常数项的关系．
三、全面答一答（共7题，17题6分，18、19每题8分，20、21每题10分，22、23每题12分）
17. 小明外出游玩时，带了件上衣和条长裤，上衣颜色有白色、蓝色，长裤有白色、黑色、蓝色，随意拿出一条裤子和一件上衣问题为：
（）小明随意拿出一条裤子和一件上衣配成一套，列出所有可能出现结果的“树状图”；
（）他任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的概率是多少？
（）小明正好拿出黑色长裤的概率是多少？
【正确答案】（）见解析；（）；（）．
【详解】分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由树状图可求得任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由树状图求得小明正好拿出黑色长裤的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题解析：
解：（）树状图如图所示：
（）由（）可知一共有种情况，任意拿出一件上衣和裤子，颜色相同共有种情况．
∴概率为．
（）由（）可知，小明正好拿出黑色长裤的情况共有种．
∴概率为．
18. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
【正确答案】（1）55；（2）没有符合要求．
【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=，
∴AB===55（cm）；
（2）延长FE交DG于点I．
则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°，
∴此时β没有是符合科学要求的100°．
考点：解直角三角形的应用
19. 如图，已知：中，，，，点、分别在边、上，，，求的长．
【正确答案】
【分析】由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性质，可得∠BAP=∠APD，继而可证得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
本题考查了相似三形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形的应用．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，点是抛物线上在象限内的一点，直线与轴相交于点．
（）当点是线段的中点时，求点的坐标．
（）在（）的条件，求的值．
【正确答案】（）；（）．
【详解】分析：（1）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（2）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
本题解析：（）把，代入得
，
解得．
∴抛物线解析式为．
过作轴于点．
∵为的中点，轴，
∴为的中点，
∴横坐标为，
代入得，
∴坐标．
（）∵，
∴，，，
∴，
∴，
．
21. 如图所示，已知是⊙的直径，、是⊙上的两点．
（）若，求的度数．
（）已知，连接、，其中与直径相交于点，求证：．
（）在（）的条件下，若，求的值．
【正确答案】（）；（）见解析；（）．
【详解】分析：（1）根据圆周角定理以及三角形内角和定理得出∠ADC的度数；
（2）利用时，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，进而得出2CD²=EC•BC；（3）根据（2）中条件得出∠AOB=90°，设CE=a,进而得出半径OC=，，即可得出的值．
本题解析：
解：（）∵，且，
∴，
∴．
（）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）∵，，
在（）中，，
∴，平分，
过点作，设，
由题意可知，，
∴，，
圆的半径为，可列式，
∴，
∴，
∴．
22. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把h=1，k=2代入得到：．由抛物线过原点，得到，从而得到结论；
（2）由抛物线点A（h，k），得到，从而有，由抛物线原点，得到，从而得到；
（3）由点A（h，k）在抛物线上，得到，故，由抛物线原点，得到，从而有；然后分两种情况讨论：①当-2≤h＜0时，②当0＜h＜1时．
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：（a≠0），
∵h=1，k=2，∴．
∵抛物线过原点，∴，∴，
∴，即；
（2）∵抛物线点A（h，k），∴，
∴，∵抛物线原点，
∴，∵h≠0，∴；
（3）∵点A（h，k）在抛物线上，∴，∴，∵抛物线原点，∴，∵h≠0，∴；
分两种情况讨论：
①当-2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：，∴；
②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：，∴；
综上所述，a的取值范围是或．
23. 平面内,如图,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，点P为AD边上任意点,连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
（1）当∠DPQ= 10°时，求∠APB的大小；
（2）当 时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；
（3）若点Q恰好落在口ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).
【正确答案】（1）当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°；（2）；（3）PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.
【分析】（1）根据题意画出图形分情况讨论：①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，题意分别求得答案.
（2） 连接BQ，作PE⊥AB于E，由已知题意即可求得tan∠ABP=2，在Rt△APE中，根据正切函数定义可设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，根据正切函数定义可得EB=2k，
由AB=AE+EB即可求得k值，从而可得PE=8，EB=4，在Rt△PBE中，根据勾股定理可求得PB长，由等腰直角三角形性质可求得BQ长 .
（3）分三种情形分别求解即可； ①如图，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F；在Rt△AEB中，根据正切tanA的值可求得BE=8，AE=6，从而可得PF=BE=8，根据等腰直角三角形的性质可得PF=BF=FQ=8，根据勾股定理可得PB=PQ=，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；
②如图，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F；设PE=x，由全等三角形判定可得△PBE≌△QPF，再由正切函数定义列方程可求PE=4，在Rt△PEB中，根据勾股定理求得PB=4，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；
③如图，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积.
【详解】（1）解：如图1中，
①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°−∠Q′P′B−∠Q′P′D=180°−90°−10°=80°
②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°−(∠QPB−∠QPD)=180°−(90°−10°)=100°
综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E.
∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=，
∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中,tanA=，
设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中,tan∠ABP==2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
∴PE=8，EB=4，
∴PB=，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BQ=PB= .
（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F. 则四边形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中,∵tanA=，
∵AB=10，∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F. 设PE=x.
易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PF−AD=x−1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA=，
∴，
∴x=4，∴PE=4,
在Rt△PEB中,PB= ，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.
③如图5中，
当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3解是( )
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
4. 二次函数 y=ax²+bx+2（a≠0）的图像点（-1,1）则代数 1-a+b 的值为（ ）
A -3 B. -1 C. 2 D. 5
5. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A. B. C. D.
9. 已知拋物线，当时，y的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. x|m|+3mx﹣4=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
12. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．
13. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0实数根，则k的取值范围是_____．
14. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____.
15. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为_________________.
16. 抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是___________.
17. 二次函数y＝﹣x2+bx+c部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
18. 二次函数y=的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2在y轴的正半轴上，点B1，B2在二次函数y=位于象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2都为等边三角形，则△A1B2A2的边长_____．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19. 解下列方程：
（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣6x﹣3．
20. 某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元.
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入多少万元？
21. 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
22. 已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
23. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
24. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD=AD．
（1）求过点B、C、D的抛物线的解析式；
（2）求出（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标．
25. 某商场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元.为了扩大，增加赢利，商场决定采取适当降价措施.经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若该商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能得到，每件衬衫应降价多少元?
(2)求该商场平均每天赢利的值．
26. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S值能为2吗？若能，求出此时k的值．若没有能，请说明理由．
27. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若没有存在，请说明理由．
28. 函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( )
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0
【正确答案】D
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】∵（x-3）（x+1）=x-3
∴（x-3）（x+1）-（x-3）=0
∴（x-3）（x+1-1）=0
∴x1=0，x2=3．
故选D．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】
故选D．
3. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
4. 二次函数 y=ax²+bx+2（a≠0）的图像点（-1,1）则代数 1-a+b 的值为（ ）
A. -3 B. -1 C. 2 D. 5
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵二次函数的图象点(-1,1)，
∴a-b+2=1，
∴a-b=-1，
∴1−a+b=1−(a-b)=1+1=2
故选C.
5. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A.
7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线解析式，
令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4），
令，得到
，
∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）．
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
故选A．
本题考查抛物线与轴的交点，解一元、二次方程．
8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，即可得出答案．
【详解】解方程得
∵是一元二次方程较大的根，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选B
此题考查估算无理数的大小、解一元二次方程-公式法，解题关键在于对无理数得估算.
9. 已知拋物线，当时，y的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴，从而可根据函数的增减性求解．
【详解】解：∵拋物线y=-x2+2的二次项系数a=-＜0，
∴该抛物线图象的开口向下；
而对称轴就是y轴，
∴当1≤x≤5时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤5时，y值=-+2=．
故选C．
10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. x|m|+3mx﹣4=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
【正确答案】±2
【详解】试题解析：由题意，得
|m|=2，
解得m=±2，
故答案为±2．
12. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．
【正确答案】y=x2﹣4x+3
【详解】试题解析：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
将B（1，0）代入y=a（x-2）2-1得，
a=1，
函数解析式为y=（x-2）2-1，
展开得y=x2-4x+3．
故答案为y=x2-4x+3．
13. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k≥﹣．
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2-2=0实数根，
∴△=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9≥0，
解得：k≥-．
故答案为k≥-．
14. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____.
【正确答案】2017
【详解】试题解析：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，
∴m+n=-2，m2+2m-2019=0，
∴m2+2m=2019，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017.
故2017
15. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为_________________.
【正确答案】y =
【分析】先将抛物线整理成顶点形式并求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】抛物线y=x2-2x+3=（x-1）2+2，则它的顶点坐标为（1，2），
点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为（0，-1），
所以所得抛物线的解析式为y=x2-1．
二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状没有变，故a没有变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16. 抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是___________.
【正确答案】y = -2
【分析】根据旋转的性质，可得a的值没有变，根据对称，可得答案．
【详解】将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3．
17. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
【正确答案】x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以没有等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
18. 二次函数y=图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2在y轴的正半轴上，点B1，B2在二次函数y=位于象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2都为等边三角形，则△A1B2A2的边长_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：设△A0B1A1的边长为a，△A1B2A2的边长为b，则点B1的坐标为（a， a），点B2的坐标为（b，a+b）．
∵点B1、B2在二次函数y=x2的图象上，
∴，
解得：，（没有合题意，舍去），
∴△A1B2A2的边长为2．
故答案为2．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19. 解下列方程：
（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣6x﹣3．
【正确答案】(1) x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=﹣，x2=﹣2．
【详解】试题分析：（1）先移项，然后利用完全平方公式进行配方，再由直接开平方法解方程；
（2）先整理方程，把方程右边的项移到方程左边，再按因式分解法求解．
试题解析：（1）x2-2x-1=0
x2-2x=1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
x-1=±，
x1=1+，x2=1-；
（2）（2x+1）2=-6x-3
整理得（2x+1）2+3（2x+1）=0
即：（2x+1）（x+2）=0
x1=-，x2=-2．
20. 某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元.
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入多少万元？
【正确答案】（1）20%；（2）4320万元.
【分析】（1）设平均增长率为x，可列出方程2500(1+x)2=3600，解出方程并检验，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的增长率，又由2017年收入3600万元可列式子3600(1+20%)，计算即可得出结果.
【详解】(1)设2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为x.
由题意，得2500(1+x)2=3600，解得x1=0.2，x2=﹣2.2(舍).
答：2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为20%；
(2)3600(1+20%)=4320(万元).
答：根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入4320万元.
本题考查一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设变化前的量是a，变化后的量是b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系是，要熟记这个等量关系.
21. 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【正确答案】△ABC的周长是13或14．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到关于b的方程，可求得b的值，再分a为底和a为腰两种情况分别求其周长即可．
【详解】解：∵方程x2+（b-2）x+b-3=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（b-2）2-4（b-3）=0，解得b1=b2=4，
①当a为底，b为腰时，能构成三角形，周长为4+4+5=13，
②当b为底，a为腰时，也能构成三角形，周长为=4+5+5=14，
∴△ABC的周长是13或14．
本题主要考查根的判别式及等腰三角形的性质，利用根的情况求得b的值是解题的关键．
22. 已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【正确答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
试题解析：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-5
0
3
4
3
0
-5
…
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
23. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
【正确答案】（1），顶点坐标为（2，1）．
（2）详见解析
【分析】（1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案没有．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
∴可设抛物线解析式为．
把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1．
∴抛物线解析式为，即．
∵，∴顶点坐标为（2，1）．
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上．
24. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD=AD．
（1）求过点B、C、D的抛物线的解析式；
（2）求出（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标．
【正确答案】（1）过点B、C、D的抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣4；（2）点E坐标是（5，0）．
【详解】试题分析：（1）根据勾股定理求出OD，得出C、B、D的坐标，代入函数解析式，即可求出答案；
（2）把y=0代入函数解析式，求出x即可．
试题解析：（1）在Rt△DOC中，由勾股定理得：OD2+OC2=CD2，
即OD2+42=（8-OD）2，
解得：OD=3，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由题意得：B（8，-4），C（0，-4），D（3，0），
代入解析式得：，
解得：a=-，b=，c=-4，
即过点B、C、D的抛物线的解析式是y=-x2+x-4；
（2）把y=0代入y=--x2+x-4得：--x2+x-4=0，
解得：x=3和5，
即（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标是（5，0）．
25. 某商场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元.为了扩大，增加赢利，商场决定采取适当降价措施.经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若该商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能得到，每件衬衫应降价多少元?
(2)求该商场平均每天赢利的值．
【正确答案】（1）每件衬衫应降价20元. （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利至多，1250元.
【详解】试题分析：（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能感到”即可列方程求解；
（2）先配方为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，让顾客得到，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元；
（2）商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．
当x=15元时，商场盈利至多，为1250元
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利至多，为1250元．
考点：一元二次方程的应用
点评：一元二次方程的应用是初中数学的，是中考中比较常见的知识点，一般难度没有大，需熟练掌握.
26. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能没有为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两没有等根
综合①②得没有论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
27. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）见解析；（3）存在，P点坐标为（1，﹣1）或P（1，）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）时，△PBC是等腰三角形．理由：见解析
【详解】试题分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），则-3a=-3，然后求出a得到抛物线解析式；
（2）先把抛物线解析式配成顶点式得到E（1，-4），再利用函数解析式确定D（0，1），则利用两点间的距离公式可计算出BC=3，BE=2，CE=，BD=，从而得到，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCE∽△BDO；
（3）设P（1，m），则利用两点间的距离公式可得BC2=18，PB2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，然后讨论：当PB=PC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=（m+3）2+1；当PB=BC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=18；当PC=BC时，△PBC是等腰三角形，则（m+3）2+1=18，接着分别解关于m的方程求出m，从而得到满足条件的P点坐标．
试题解析：（1）解：抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
即y=ax2-2ax-3a，
∴-3a=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；
（2）证明：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E（1，-4），
当x=0时，y=-x+1=1，则D（0，1），
∵B（3，0），A（-1，0），C（0，-3），
∴BC=，BE=，CE=，BD=，
∵，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO；
（3）存在，
理由：抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），则BC2=18，PB2=（1-3）2+m2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，
当PB=PC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=（m+3）2+1，解得m=-1，此时P（1，-1），
当PB=BC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=18，解得m=±，此时P（1，）或（1，-）
当PC=BC时，△PBC是等腰三角形，则（m+3）2+1=18，解得m=-3±，此时P（1，-3+）或（-3-），
综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或P（1，）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）时，△PBC是等腰三角形．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰三角形的判定、相似三角形的判定和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
28. 函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
【正确答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x； ②y＝x2－x－3或y＝－x2＋2x＋．
【详解】（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．
∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．
当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，）；
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（2，－），
∴CD＝3，
设A（m，m） （m<2），
由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，
∴A（0，0）.
由A（0，0）、 D（2，－）得，解得a＝，c＝0，
∴y＝x2－x；
②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝＝（2－m），
∵CD＝AC，
∴CD＝（2－m）.
由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），
∴m＝－2．
∴A（－2，－），CD＝5，
若a＞0，则点D在点C下方，
∴D（2，－），
由A（－2，－）、D（2，－）得，解得，
∴y＝x2－x－3，
若a＜0，则点D在点C上方，
∴D（2，），
由A（－2，－）、D（2，）得，解得
∴y＝－x2＋2x＋.
考点：二次函数与函数的综合题.
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、认真选一选（共10题，共30分）
1. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是（ ）
A. B. x＞3 C. －1＜x＜3 D. 或x＞3
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
4. 现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么他们各掷所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知等边的边长为，以为直径的⊙与边，分别交于，两点，则劣弧的长为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
7. 小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
10. 如图，已知的三边长为，，，且，若平行于三角形一边的直线将的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为、、，则、、的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
二、仔细填一填（共6题，共24分）
11. 已知一个正多边形的一个外角的余弦值为，那么它是__________边形．
12. 在的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________．
13. 如图，直角三角形中，，，垂直于于，过、圆交于，交于，若， ，则__________，__________．
14. 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距个单位长度．已知线段交线段于点，则线段的长是__________．
15. 如图，内接于⊙，于点，，，，则⊙的直径是__________．
16. 设二次函数，当时，总有，当时，总有，则的取值范围是__________．
三、全面答一答（共7题，17题6分，18、19每题8分，20、21每题10分，22、23每题12分）
17. 小明外出游玩时，带了件上衣和条长裤，上衣颜色有白色、蓝色，长裤有白色、黑色、蓝色，随意拿出一条裤子和一件上衣问题为：
（）小明随意拿出一条裤子和一件上衣配成一套，列出所有可能出现结果的“树状图”；
（）他任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的概率是多少？
（）小明正好拿出黑色长裤的概率是多少？
18. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
19. 如图，已知：中，，，，点、分别在边、上，，，求的长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，点是抛物线上在象限内的一点，直线与轴相交于点．
（）当点是线段的中点时，求点的坐标．
（）在（）的条件，求的值．
21. 如图所示，已知是⊙的直径，、是⊙上的两点．
（）若，求的度数．
（）已知，连接、，其中与直径相交于点，求证：．
（）在（）的条件下，若，求的值．
22. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
23. 平面内,如图,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，点P为AD边上任意点,连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
（1）当∠DPQ= 10°时，求∠APB的大小；
（2）当 时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；
（3）若点Q恰好落在口ABCD边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、认真选一选（共10题，共30分）
1. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】由图可知，，，
∴，
∴．
故选．
2. 二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是（ ）
A. B. x＞3 C. －1＜x＜3 D. 或x＞3
【正确答案】C
【分析】根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可.
【详解】由图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴下方，y＜0，
故选C.
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°
【正确答案】B
【详解】试题分析：先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．
∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故选B．
考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.
4. 现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么他们各掷所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．
【详解】解：列表法：
∴点P坐标共有36种可能，其中能落在抛物线上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为：．
故选：B．
本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个的概率=．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
5. 如图，已知等边的边长为，以为直径的⊙与边，分别交于，两点，则劣弧的长为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，连接，，由题意可知，，，均半径，
又知，
∴与均为等边三角形，
∴，
∴劣弧长为．
故选．
点睛：本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【正确答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
7. 小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】D
【详解】延长交的延长线于点，作于点，
有，，
∵测得米杆影长为米，
∴，
∴．
∴电线杆的长度为（米）．
故选．
点睛：此题主要是运用所学的解直角三形的知识解决实际生活中的问题．注意：在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．
8. 已知抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：当y=0，则，（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），
=，∴M点坐标为：（2，﹣1）．
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为： =．
故选A．
9. 如图，正方形ABCD中，M为DC中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【正确答案】A
【详解】设，有，正方形边长为，
在中，
，
∴，
在中，
，
∴．
在中，，
∴为直角三角形，
∴．
故选．
10. 如图，已知的三边长为，，，且，若平行于三角形一边的直线将的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为、、，则、、的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】设的面积为，周长为，
①中有，与，交于点与点，
∴，
∴；
②，同理可知；
③，同理可知；
∵，
∴，
∴，
∴．
故选．
点睛：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，等比性质等知识，把相似三角形的面积比等于相似比的平方转化为相似三角形面积的算术平方根的比等于相似比，是解决本题的关键．
二、仔细填一填（共6题，共24分）
11. 已知一个正多边形的一个外角的余弦值为，那么它是__________边形．
【正确答案】
【详解】∵外角余弦值为，
∴这个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴正多边形边数为．故答案为12.
12. 在的空格□中，任意填上“＋”或“－”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________．
【正确答案】
【详解】方格中只能填“”或“”，共有种填法，
能成为完全平方式，前面必须为“”，共有个．
∴概率为．故答案为 .
13. 如图，直角三角形中，，，垂直于于，过、的圆交于，交于，若， ，则__________，__________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】依题意可知，点，，，都在圆上，为圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
在与中，
，
∴≌，
∴，
且为等腰直角三角形，为直角三角形，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴．故答案为 ， .
14. 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距个单位长度．已知线段交线段于点，则线段的长是__________．
【正确答案】
【详解】连接，过点作交于点，
∴，
∴，
有，，，
∴，
∴，
∵，
∴．故答案为.
15. 如图，内接于⊙，于点，，，，则⊙的直径是__________．
【正确答案】
【详解】作交⊙与点，
∵，
∴为直径，
∵，
且，
∴，
∴．故答案为7.5cm.
16. 设二次函数，当时，总有，当时，总有，则的取值范围是__________．
【正确答案】
【详解】∵时，，当时，，
∴时，，即有，
故，
依题意，时，，即，
将代入，可得，
解得．故答案.
点睛：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到项系数和常数项的关系．
三、全面答一答（共7题，17题6分，18、19每题8分，20、21每题10分，22、23每题12分）
17. 小明外出游玩时，带了件上衣和条长裤，上衣颜色有白色、蓝色，长裤有白色、黑色、蓝色，随意拿出一条裤子和一件上衣问题为：
（）小明随意拿出一条裤子和一件上衣配成一套，列出所有可能出现结果的“树状图”；
（）他任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的概率是多少？
（）小明正好拿出黑色长裤的概率是多少？
【正确答案】（）见解析；（）；（）．
【详解】分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由树状图可求得任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由树状图求得小明正好拿出黑色长裤的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题解析：
解：（）树状图如图所示：
（）由（）可知一共有种情况，任意拿出一件上衣和裤子，颜色相同共有种情况．
∴概率为．
（）由（）可知，小明正好拿出黑色长裤的情况共有种．
∴概率为．
18. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．
（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；
（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？
（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果到个位）
【正确答案】（1）55；（2）没有符合要求．
【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；
（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=，
∴AB===55（cm）；
（2）延长FE交DG于点I．
则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）．
在Rt△DEI中，sin∠DEI=，
∴∠DEI=69°，
∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°，
∴此时β没有是符合科学要求的100°．
考点：解直角三角形的应用
19. 如图，已知：中，，，，点、分别在边、上，，，求的长．
【正确答案】
【分析】由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性质，可得∠BAP=∠APD，继而可证得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
本题考查了相似三形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形的应用．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，点是抛物线上在象限内的一点，直线与轴相交于点．
（）当点是线段的中点时，求点的坐标．
（）在（）的条件，求的值．
【正确答案】（）；（）．
【详解】分析：（1）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（2）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
本题解析：（）把，代入得
，
解得．
∴抛物线解析式为．
过作轴于点．
∵为的中点，轴，
∴为的中点，
∴横坐标为，
代入得，
∴坐标．
（）∵，
∴，，，
∴，
∴，
．
21. 如图所示，已知是⊙的直径，、是⊙上的两点．
（）若，求的度数．
（）已知，连接、，其中与直径相交于点，求证：．
（）在（）的条件下，若，求的值．
【正确答案】（）；（）见解析；（）．
【详解】分析：（1）根据圆周角定理以及三角形内角和定理得出∠ADC的度数；
（2）利用时，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，进而得出2CD²=EC•BC；（3）根据（2）中条件得出∠AOB=90°，设CE=a,进而得出半径OC=，，即可得出的值．
本题解析：
解：（）∵，且，
∴，
∴．
（）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）∵，，
在（）中，，
∴，平分，
过点作，设，
由题意可知，，
∴，，
圆的半径为，可列式，
∴，
∴，
∴．
22. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把h=1，k=2代入得到：．由抛物线过原点，得到，从而得到结论；
（2）由抛物线点A（h，k），得到，从而有，由抛物线原点，得到，从而得到；
（3）由点A（h，k）在抛物线上，得到，故，由抛物线原点，得到，从而有；然后分两种情况讨论：①当-2≤h＜0时，②当0＜h＜1时．
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：（a≠0），
∵h=1，k=2，∴．
∵抛物线过原点，∴，∴，
∴，即；
（2）∵抛物线点A（h，k），∴，
∴，∵抛物线原点，
∴，∵h≠0，∴；
（3）∵点A（h，k）在抛物线上，∴，∴，∵抛物线原点，∴，∵h≠0，∴；
分两种情况讨论：
①当-2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：，∴；
②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：，∴；
综上所述，a的取值范围是或．
23. 平面内,如图,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，点P为AD边上任意点,连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
（1）当∠DPQ= 10°时，求∠APB的大小；
（2）当 时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；
（3）若点Q恰好落在口ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).
【正确答案】（1）当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°；（2）；（3）PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.
【分析】（1）根据题意画出图形分情况讨论：①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，题意分别求得答案.
（2） 连接BQ，作PE⊥AB于E，由已知题意即可求得tan∠ABP=2，在Rt△APE中，根据正切函数定义可设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，根据正切函数定义可得EB=2k，
由AB=AE+EB即可求得k值，从而可得PE=8，EB=4，在Rt△PBE中，根据勾股定理可求得PB长，由等腰直角三角形性质可求得BQ长 .
（3）分三种情形分别求解即可； ①如图，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F；在Rt△AEB中，根据正切tanA的值可求得BE=8，AE=6，从而可得PF=BE=8，根据等腰直角三角形的性质可得PF=BF=FQ=8，根据勾股定理可得PB=PQ=，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；
②如图，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F；设PE=x，由全等三角形判定可得△PBE≌△QPF，再由正切函数定义列方程可求PE=4，在Rt△PEB中，根据勾股定理求得PB=4，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；
③如图，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积.
【详解】（1）解：如图1中，
①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°−∠Q′P′B−∠Q′P′D=180°−90°−10°=80°
②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°−(∠QPB−∠QPD)=180°−(90°−10°)=100°
综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E.
∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=，
∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中,tanA=，
设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中,tan∠ABP==2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
∴PE=8，EB=4，
∴PB=，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BQ=PB= .
（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F. 则四边形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中,∵tanA=，
∵AB=10，∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F. 设PE=x.
易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PF−AD=x−1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA=，
∴，
∴x=4，∴PE=4,
在Rt△PEB中,PB= ，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.
③如图5中，
当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积=，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3解是( )
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
4. 二次函数 y=ax²+bx+2（a≠0）的图像点（-1,1）则代数 1-a+b 的值为（ ）
A -3 B. -1 C. 2 D. 5
5. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A. B. C. D.
9. 已知拋物线，当时，y的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. x|m|+3mx﹣4=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
12. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．
13. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0实数根，则k的取值范围是_____．
14. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____.
15. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为_________________.
16. 抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是___________.
17. 二次函数y＝﹣x2+bx+c部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
18. 二次函数y=的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2在y轴的正半轴上，点B1，B2在二次函数y=位于象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2都为等边三角形，则△A1B2A2的边长_____．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19. 解下列方程：
（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣6x﹣3．
20. 某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元.
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入多少万元？
21. 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
22. 已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
23. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
24. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD=AD．
（1）求过点B、C、D的抛物线的解析式；
（2）求出（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标．
25. 某商场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元.为了扩大，增加赢利，商场决定采取适当降价措施.经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若该商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能得到，每件衬衫应降价多少元?
(2)求该商场平均每天赢利的值．
26. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S值能为2吗？若能，求出此时k的值．若没有能，请说明理由．
27. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若没有存在，请说明理由．
28. 函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( )
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0
【正确答案】D
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】∵（x-3）（x+1）=x-3
∴（x-3）（x+1）-（x-3）=0
∴（x-3）（x+1-1）=0
∴x1=0，x2=3．
故选D．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】
故选D．
3. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是(1，2) D. 与x轴有两个交点
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
4. 二次函数 y=ax²+bx+2（a≠0）的图像点（-1,1）则代数 1-a+b 的值为（ ）
A. -3 B. -1 C. 2 D. 5
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵二次函数的图象点(-1,1)，
∴a-b+2=1，
∴a-b=-1，
∴1−a+b=1−(a-b)=1+1=2
故选C.
5. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A.
7. 抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线解析式，
令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4），
令，得到
，
∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）．
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
故选A．
本题考查抛物线与轴的交点，解一元、二次方程．
8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，即可得出答案．
【详解】解方程得
∵是一元二次方程较大的根，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选B
此题考查估算无理数的大小、解一元二次方程-公式法，解题关键在于对无理数得估算.
9. 已知拋物线，当时，y的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴，从而可根据函数的增减性求解．
【详解】解：∵拋物线y=-x2+2的二次项系数a=-＜0，
∴该抛物线图象的开口向下；
而对称轴就是y轴，
∴当1≤x≤5时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤5时，y值=-+2=．
故选C．
10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. x|m|+3mx﹣4=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
【正确答案】±2
【详解】试题解析：由题意，得
|m|=2，
解得m=±2，
故答案为±2．
12. 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．
【正确答案】y=x2﹣4x+3
【详解】试题解析：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
将B（1，0）代入y=a（x-2）2-1得，
a=1，
函数解析式为y=（x-2）2-1，
展开得y=x2-4x+3．
故答案为y=x2-4x+3．
13. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k≥﹣．
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2-2=0实数根，
∴△=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9≥0，
解得：k≥-．
故答案为k≥-．
14. 设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n=____.
【正确答案】2017
【详解】试题解析：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，
∴m+n=-2，m2+2m-2019=0，
∴m2+2m=2019，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017.
故2017
15. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为_________________.
【正确答案】y =
【分析】先将抛物线整理成顶点形式并求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】抛物线y=x2-2x+3=（x-1）2+2，则它的顶点坐标为（1，2），
点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为（0，-1），
所以所得抛物线的解析式为y=x2-1．
二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状没有变，故a没有变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16. 抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是___________.
【正确答案】y = -2
【分析】根据旋转的性质，可得a的值没有变，根据对称，可得答案．
【详解】将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3．
17. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，没有等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
【正确答案】x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以没有等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
18. 二次函数y=图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2在y轴的正半轴上，点B1，B2在二次函数y=位于象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2都为等边三角形，则△A1B2A2的边长_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：设△A0B1A1的边长为a，△A1B2A2的边长为b，则点B1的坐标为（a， a），点B2的坐标为（b，a+b）．
∵点B1、B2在二次函数y=x2的图象上，
∴，
解得：，（没有合题意，舍去），
∴△A1B2A2的边长为2．
故答案为2．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19. 解下列方程：
（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0
（2）解方程：（2x+1）2=﹣6x﹣3．
【正确答案】(1) x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=﹣，x2=﹣2．
【详解】试题分析：（1）先移项，然后利用完全平方公式进行配方，再由直接开平方法解方程；
（2）先整理方程，把方程右边的项移到方程左边，再按因式分解法求解．
试题解析：（1）x2-2x-1=0
x2-2x=1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
x-1=±，
x1=1+，x2=1-；
（2）（2x+1）2=-6x-3
整理得（2x+1）2+3（2x+1）=0
即：（2x+1）（x+2）=0
x1=-，x2=-2．
20. 某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元.
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入多少万元？
【正确答案】（1）20%；（2）4320万元.
【分析】（1）设平均增长率为x，可列出方程2500(1+x)2=3600，解出方程并检验，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的增长率，又由2017年收入3600万元可列式子3600(1+20%)，计算即可得出结果.
【详解】(1)设2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为x.
由题意，得2500(1+x)2=3600，解得x1=0.2，x2=﹣2.2(舍).
答：2015年至2017年该企业收入的年平均增长率为20%；
(2)3600(1+20%)=4320(万元).
答：根据(1)所得的平均增长率，预计2018年该企业收入4320万元.
本题考查一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设变化前的量是a，变化后的量是b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系是，要熟记这个等量关系.
21. 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【正确答案】△ABC的周长是13或14．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到关于b的方程，可求得b的值，再分a为底和a为腰两种情况分别求其周长即可．
【详解】解：∵方程x2+（b-2）x+b-3=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（b-2）2-4（b-3）=0，解得b1=b2=4，
①当a为底，b为腰时，能构成三角形，周长为4+4+5=13，
②当b为底，a为腰时，也能构成三角形，周长为=4+5+5=14，
∴△ABC的周长是13或14．
本题主要考查根的判别式及等腰三角形的性质，利用根的情况求得b的值是解题的关键．
22. 已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【正确答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
试题解析：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-5
0
3
4
3
0
-5
…
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
23. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
【正确答案】（1），顶点坐标为（2，1）．
（2）详见解析
【分析】（1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案没有．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
∴可设抛物线解析式为．
把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1．
∴抛物线解析式为，即．
∵，∴顶点坐标为（2，1）．
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上．
24. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD=AD．
（1）求过点B、C、D的抛物线的解析式；
（2）求出（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标．
【正确答案】（1）过点B、C、D的抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣4；（2）点E坐标是（5，0）．
【详解】试题分析：（1）根据勾股定理求出OD，得出C、B、D的坐标，代入函数解析式，即可求出答案；
（2）把y=0代入函数解析式，求出x即可．
试题解析：（1）在Rt△DOC中，由勾股定理得：OD2+OC2=CD2，
即OD2+42=（8-OD）2，
解得：OD=3，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由题意得：B（8，-4），C（0，-4），D（3，0），
代入解析式得：，
解得：a=-，b=，c=-4，
即过点B、C、D的抛物线的解析式是y=-x2+x-4；
（2）把y=0代入y=--x2+x-4得：--x2+x-4=0，
解得：x=3和5，
即（1）中抛物线与x轴的另一个交点E坐标是（5，0）．
25. 某商场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元.为了扩大，增加赢利，商场决定采取适当降价措施.经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若该商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能得到，每件衬衫应降价多少元?
(2)求该商场平均每天赢利的值．
【正确答案】（1）每件衬衫应降价20元. （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利至多，1250元.
【详解】试题分析：（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能感到”即可列方程求解；
（2）先配方为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，让顾客得到，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元；
（2）商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．
当x=15元时，商场盈利至多，为1250元
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利至多，为1250元．
考点：一元二次方程的应用
点评：一元二次方程的应用是初中数学的，是中考中比较常见的知识点，一般难度没有大，需熟练掌握.
26. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能没有为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两没有等根
综合①②得没有论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
27. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）见解析；（3）存在，P点坐标为（1，﹣1）或P（1，）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）时，△PBC是等腰三角形．理由：见解析
【详解】试题分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），则-3a=-3，然后求出a得到抛物线解析式；
（2）先把抛物线解析式配成顶点式得到E（1，-4），再利用函数解析式确定D（0，1），则利用两点间的距离公式可计算出BC=3，BE=2，CE=，BD=，从而得到，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCE∽△BDO；
（3）设P（1，m），则利用两点间的距离公式可得BC2=18，PB2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，然后讨论：当PB=PC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=（m+3）2+1；当PB=BC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=18；当PC=BC时，△PBC是等腰三角形，则（m+3）2+1=18，接着分别解关于m的方程求出m，从而得到满足条件的P点坐标．
试题解析：（1）解：抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
即y=ax2-2ax-3a，
∴-3a=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；
（2）证明：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E（1，-4），
当x=0时，y=-x+1=1，则D（0，1），
∵B（3，0），A（-1，0），C（0，-3），
∴BC=，BE=，CE=，BD=，
∵，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO；
（3）存在，
理由：抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），则BC2=18，PB2=（1-3）2+m2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，
当PB=PC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=（m+3）2+1，解得m=-1，此时P（1，-1），
当PB=BC时，△PBC是等腰三角形，则m2+4=18，解得m=±，此时P（1，）或（1，-）
当PC=BC时，△PBC是等腰三角形，则（m+3）2+1=18，解得m=-3±，此时P（1，-3+）或（-3-），
综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或P（1，）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）时，△PBC是等腰三角形．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰三角形的判定、相似三角形的判定和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
28. 函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
【正确答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x； ②y＝x2－x－3或y＝－x2＋2x＋．
【详解】（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．
∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．
当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，）；
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（2，－），
∴CD＝3，
设A（m，m） （m<2），
由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，
∴A（0，0）.
由A（0，0）、 D（2，－）得，解得a＝，c＝0，
∴y＝x2－x；
②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝＝（2－m），
∵CD＝AC，
∴CD＝（2－m）.
由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），
∴m＝－2．
∴A（－2，－），CD＝5，
若a＞0，则点D在点C下方，
∴D（2，－），
由A（－2，－）、D（2，－）得，解得，
∴y＝x2－x－3，
若a＜0，则点D在点C上方，
∴D（2，），
由A（－2，－）、D（2，）得，解得
∴y＝－x2＋2x＋.
考点：二次函数与函数的综合题.
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