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2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一卷二）含解析，共43页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=3 B. x≥3 C. x＜3 D. x＞3
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. =6 C. 3+=4 D. ×（﹣）=3
3. 一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个没有相等的实数根
4. 一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x﹣1）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15 B. 12 C. 15或12 D. 以上选项都没有正确
5. 已知x：y=1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：2 D. 2：3
6. 用配方法解一元二次方程，则方程可化（ ）
A. B. C. D.
7. 下列各式中，没有能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
9. 下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A B.
C D.
10. 关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
11. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
12. 如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（ ）
A. 8 B. 95 C. 10 D. 5
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知实数x，y满足+（y+1）2=0，则xy=_____．
14. 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是_____．
15. 若，则的取值范围是________．
16. 若方程的一个根为1，则=________，另一个根为________．
17. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
三、解 答 题
19. （1）计算：16×4﹣1+﹣（﹣5）0﹣|﹣2|．
（2）计算： +（﹣）﹣1+（207﹣π）0+|﹣2|．
（3）计算：（﹣）﹣（+）
20. （1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣1=0．
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．
（3）解方程：x2﹣4=3（x+2）．
21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
23. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣5）﹣m2=0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有相等实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
24. 如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当时，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值，若没有能，说明理由.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=3 B. x≥3 C. x＜3 D. x＞3
【正确答案】B
【分析】
【详解】由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. =6 C. 3+=4 D. ×（﹣）=3
【正确答案】C
【详解】A选项中，，故A错误；
B选项中，，故B错误；
C选项中，，故C正确；
D选项中，，故D错误；
∴选C.
3. 一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个没有相等的实数根
【正确答案】A
【详解】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
4. 一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x﹣1）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15 B. 12 C. 15或12 D. 以上选项都没有正确
【正确答案】A
【详解】∵（x-1）（x-4）=0，
∴x1=1，x2=4，
当x=1时，1+5=6（没有合题意，舍去），
∴x=4，
∴这个三角形的周长=5+6+4=15，故选A.
5. 已知x：y=1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：2 D. 2：3
【正确答案】A
【详解】利用比例的性质即可求解.
解：∵x：y=1：2，由合比性质得，（x+y）：y=3：2.
故选A.
6. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】x2+8x+7=0，
移项得：x2+8x=−7，
配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9.
故选A.
7. 下列各式中，没有能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据同类二次根式（被开方数相同）和最简二次根式，可先化简知：
，，=，=5，= ，故答案为D
故选D
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9. 下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
10. 关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
【正确答案】B
【详解】首先由题意求得方程ax2+bx+c=3与方程（x-1）（x-4）=0的解，然后将x=1代入方程ax2+bx+c=3，根据方程解的定义，即可求得答案．
解：∵方程（x-1）（x-4）=0的解解为：x1=1，x2=4，
∴关于x的方程ax2+bx+c=3的解为：x1=1，x2=4，
∴将x=1代入方程ax2+bx+c=3得：a+b+c=3．
故选B．
11. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A 9 B. 10 C. 12 D. 13
【正确答案】A
【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴．
∴9S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（ ）
A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 5
【正确答案】A
【分析】在□ABCD中，由已知条件可得△ADF是等腰三角形，；同理△ABE也是等腰三角形，可知，所以；在△ABG中，，，，由勾股定理可得，又因为△ABE是等腰三角形，，所以，所以△ABE的周长等于16，又由□ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，，，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴△ADF等腰三角形，同理△ABE也是等腰三角形， ，，
∴，
∴在△ABG中，，，，
可得：，
又∵，，
∴，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A
本题主要综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形思想的考查．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知实数x，y满足+（y+1）2=0，则xy=_____．
【正确答案】
【详解】由题意得：x-2=0，y+1=0，
解得：x=2，y=-1，
所以xy=2-1=，
故答案为.
14. 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是_____．
【正确答案】∠B=∠E
【详解】添加∠B＝∠E，可由“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△AED．添加（或），可由“三边成比例”判定△ABC∽△AED．
15. 若，则取值范围是________．
【正确答案】
【分析】根据二次根式的性质可得：，再值的性质，即可求解．
【详解】解：∵，根据题意得：
，
∴ ，
解得： ．
故．
本题主要考查了二次根式的性质和值的性质，理解并掌握 是解题的关键．
16. 若方程的一个根为1，则=________，另一个根为________．
【正确答案】 ①. 1 ②. 8
【详解】由于方程kx2-9x+8=0的一个根为1，所以将x=1代入原方程，得
k-9+8=0，
∴k=1.
当k=1时，原方程为x2-9x+8=0，
解这个关于x的一元二次方程：
将方程左侧进行因式分解，得 (x-1)(x-8)=0，
∴x-1=0或x-8=0，
∴x1=1，x2=8.
由题意可知，另一个根为8.
故本题应依次填写：1；8.
17. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
【正确答案】4.8或
【分析】根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可．
【详解】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以＝，
即＝，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以＝，
即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
三、解 答 题
19. （1）计算：16×4﹣1+﹣（﹣5）0﹣|﹣2|．
（2）计算： +（﹣）﹣1+（207﹣π）0+|﹣2|．
（3）计算：（﹣）﹣（+）
【正确答案】（1）4；（2）2﹣；（3） ．
【详解】试题分析：（1）先分别进行负指数幂计算、二次根式化简、0指数幂计算、值化简，然后再按顺序进行计算即可；
（2）先分别进行立方根的计算、负指数幂的计算、0次幂的计算、值的化简，然后再按顺序进行计算即可；
（3）先进行二次根式的化简，去括号后进行合并即可.
试题解析：（1）原式=16× 3-1-2=4+3-1-2=4；
（2）原式=2-3+1+2-=2-；
（3）原式=.
20. （1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣1=0．
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．
（3）解方程：x2﹣4=3（x+2）．
【正确答案】（1）x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=，x2=；（3）x1=﹣2，x2=5．
【详解】试题分析：（1）按要求利用配方法进行求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可；
（3）整体移项后利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：（1）x2-2x-1=0，
x2-2x=1，
x2-2x+1=1+1，
（x-1）2=2，
x-1=，
x1=1+，x2=1﹣；
（2）2x2+3x﹣1=0，
a=2，b=3，c=-1，
b2-4ac=9+8=17>0，
x=，
x1=，x2=；
（3）x2﹣4=3（x+2），
（x+2）(x-2)-3（x+2）=0，
（x+2）(x-2-3)=0，
x1=﹣2，x2=5．
21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
【正确答案】（1）画图见解析；（ 2）﹣2，﹣1；（3）﹣，﹣．
【详解】试题分析：（1）用△ABC各顶点横纵坐标除以－2，然后在第三象限找到对应点，连结即可；
（2）直接写出坐标；
（3）直接写出坐标．
试题解析：（1）如图：即为所求三角形；
（2）（-2，-1）；
（3）∵D（a，b），相似比=1：2，那么它的对应点的（ ）．
考点：1．作图—相似变换；2．网格型．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣5）﹣m2=0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是6．
【详解】试题分析：(1)、将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案；(2)、将x=1代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根.
试题解析：(1)、∵，∴x2﹣7x+10﹣m2=0，
∵△=（﹣7）2﹣4（10﹣m2）=9+4 m2，而m2≥0， ∴△＞0，∴方程总有两个没有等的实数根；
(2)、∵方程的一个根是1，∴m2=4，解得：m=±2， ∴原方程为：x2﹣7x+6=0，解得：x1=1，x2=6．
即m的值为±2，方程的另一个根是6．
考点：(1)、解方程；(2)、根的判别式
24. 如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当时，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值，若没有能，说明理由.
【正确答案】(1)；（2）；（3）或5．
【详解】试题分析：（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）当时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
试题解析：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
解得x=；
（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了秒，AP=cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为，
∴S△APQ：S△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=S△ABC，
又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ=S△ABC，
∴S△BPQ=S四边形PQCB-S△BCQ═S△ABC-S△ABC=S△ABC，
∴S△BPQ：S△ABC=2：9=
（3）假设两三角形可以相似．
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有，
解得x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
综上所述，时间x的值是或5．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
12 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
20. 已知：如图，在中，.求证.
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
25. 探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是
故选：A
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
【正确答案】B
【详解】∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1，0)，
∴BO=1，则AO=AB=2，
∴A(，)，
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似，相似比为1:2，
∴点C的坐标为：(1，1).
故选B.
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
【正确答案】D
【详解】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【正确答案】B
【详解】因为反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
【正确答案】C
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算可得：，即可解EC=2，
故选B．
考点：平行线分线段成比例
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是
，
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．
解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；
②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；
③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＞b，错误；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，
故选B．
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
【正确答案】A
【详解】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,αβ==-3,所求式子化为（α＋β）÷（αβ）=3÷（-3）=-1.故本题选A.
考点：一元二次方程根与系数关系.
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
【正确答案】D
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的没有等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数没有为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△＝4﹣4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得a≤2，且a≠1，
则a的整数值是2．
故选D．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
【正确答案】．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
【详解】解：设这个反比例函数解析式y＝，
∵反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），
∴＝﹣3，
解得k＝6，
∴这个反比例函数的解析式是y＝．
故y＝．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是一名和一名护士的结果数为8，所以恰好是一名和一名护士的概率==．故答案为．
点睛：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
【正确答案】96
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96．
故96．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
【正确答案】5
【详解】方程，
即，
解得：，，
则矩形ABCD的对角线长是：=5．
故答案为5．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
【正确答案】22.5
【详解】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴，
∴，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
【正确答案】-6
【详解】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴
故答案为
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
【正确答案】（1）x1=3＋，x2=3－；（2）x1=，x2=.
详解】试题分析：
（1）用“配方法”解此方程即可；
（2）用“公式法”解此方程即可.
试题解析：
(1)x2－6x－6＝0，
配方得：x2－6x＋9＝ 15，
∴ (x－3)2＝ 15，
x－3＝ ± ，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)原方程可化为：，
∴△=，
∴，
∴.
20. 已知：如图，在中，.求证.
【正确答案】详见解析
【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．
【详解】证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【详解】试题分析：根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
试题解析：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【正确答案】要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【详解】试题分析：设每件商品应降价元，先表示出每件的利润．再乘以每月的数量，列方程求解即可.
解：要使商场每月这种商品的利润达到 元，且更有利于减少库存，则设每件商品应降价元，由题意，得
解得：
∵有利于减少库存，
答：每件商品应降元.
点睛：这个题目主要考查一元二次方程的应用.属于营销问题.
每件利润量=总利润.
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x取值范围为 ；
（3）求△OAB面积．
【正确答案】（1）函数的解析式是：y1=x﹣；反比例函数的解析式是：y2=
（2）x＜﹣2或0＜x＜3
（3）
【分析】（1）根据图形得出A、B的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出其解析式；把A、B的坐标代入函数的解析式，即可求出函数的解析式；
（2）根据图象和A、B的横坐标，即可得出答案．
（3）求得直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【小问1详解】
解：由图可知：A（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y2=的图象过点A（﹣2，﹣2），
∴m=4，
∴反比例函数的解析式是：y2=，
把x=3代入得，y=，
∴B（3，），
∵y=kx+b过A、B两点，
∴
解得：k=，b=﹣，
∴函数的解析式是：y1=x﹣；
【小问2详解】
根据图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜3时，y1＜y2．
故x＜﹣2或0＜x＜3．
【小问3详解】
由函数y1=x﹣可知直线与y轴的交点为（0，﹣），
∴△OAB的面积=××2+××3=．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
（2）只需运用（1）中的结论,就可得到,就可解决问题,
（3）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中的结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
【详解】解: （1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
（2）如图2,
∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由（1）中的结论可得,,
∴
故答案为:,
（2）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴▱ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
（舍去）,或,
∴AR=5+x=8,
∴.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=3 B. x≥3 C. x＜3 D. x＞3
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. =6 C. 3+=4 D. ×（﹣）=3
3. 一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个没有相等的实数根
4. 一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x﹣1）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15 B. 12 C. 15或12 D. 以上选项都没有正确
5. 已知x：y=1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：2 D. 2：3
6. 用配方法解一元二次方程，则方程可化（ ）
A. B. C. D.
7. 下列各式中，没有能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
9. 下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A B.
C D.
10. 关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
11. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
12. 如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（ ）
A. 8 B. 95 C. 10 D. 5
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知实数x，y满足+（y+1）2=0，则xy=_____．
14. 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是_____．
15. 若，则的取值范围是________．
16. 若方程的一个根为1，则=________，另一个根为________．
17. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
三、解 答 题
19. （1）计算：16×4﹣1+﹣（﹣5）0﹣|﹣2|．
（2）计算： +（﹣）﹣1+（207﹣π）0+|﹣2|．
（3）计算：（﹣）﹣（+）
20. （1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣1=0．
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．
（3）解方程：x2﹣4=3（x+2）．
21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
23. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣5）﹣m2=0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有相等实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
24. 如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当时，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值，若没有能，说明理由.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=3 B. x≥3 C. x＜3 D. x＞3
【正确答案】B
【分析】
【详解】由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. =6 C. 3+=4 D. ×（﹣）=3
【正确答案】C
【详解】A选项中，，故A错误；
B选项中，，故B错误；
C选项中，，故C正确；
D选项中，，故D错误；
∴选C.
3. 一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个没有相等的实数根
【正确答案】A
【详解】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
4. 一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x﹣1）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15 B. 12 C. 15或12 D. 以上选项都没有正确
【正确答案】A
【详解】∵（x-1）（x-4）=0，
∴x1=1，x2=4，
当x=1时，1+5=6（没有合题意，舍去），
∴x=4，
∴这个三角形的周长=5+6+4=15，故选A.
5. 已知x：y=1：2，那么（x+y）：y等于（ ）
A. 3：2 B. 3：1 C. 2：2 D. 2：3
【正确答案】A
【详解】利用比例的性质即可求解.
解：∵x：y=1：2，由合比性质得，（x+y）：y=3：2.
故选A.
6. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】x2+8x+7=0，
移项得：x2+8x=−7，
配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9.
故选A.
7. 下列各式中，没有能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据同类二次根式（被开方数相同）和最简二次根式，可先化简知：
，，=，=5，= ，故答案为D
故选D
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9. 下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
10. 关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
【正确答案】B
【详解】首先由题意求得方程ax2+bx+c=3与方程（x-1）（x-4）=0的解，然后将x=1代入方程ax2+bx+c=3，根据方程解的定义，即可求得答案．
解：∵方程（x-1）（x-4）=0的解解为：x1=1，x2=4，
∴关于x的方程ax2+bx+c=3的解为：x1=1，x2=4，
∴将x=1代入方程ax2+bx+c=3得：a+b+c=3．
故选B．
11. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A 9 B. 10 C. 12 D. 13
【正确答案】A
【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴．
∴9S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为（ ）
A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 5
【正确答案】A
【分析】在□ABCD中，由已知条件可得△ADF是等腰三角形，；同理△ABE也是等腰三角形，可知，所以；在△ABG中，，，，由勾股定理可得，又因为△ABE是等腰三角形，，所以，所以△ABE的周长等于16，又由□ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，，，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴△ADF等腰三角形，同理△ABE也是等腰三角形， ，，
∴，
∴在△ABG中，，，，
可得：，
又∵，，
∴，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A
本题主要综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形思想的考查．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
13. 已知实数x，y满足+（y+1）2=0，则xy=_____．
【正确答案】
【详解】由题意得：x-2=0，y+1=0，
解得：x=2，y=-1，
所以xy=2-1=，
故答案为.
14. 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是_____．
【正确答案】∠B=∠E
【详解】添加∠B＝∠E，可由“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△AED．添加（或），可由“三边成比例”判定△ABC∽△AED．
15. 若，则取值范围是________．
【正确答案】
【分析】根据二次根式的性质可得：，再值的性质，即可求解．
【详解】解：∵，根据题意得：
，
∴ ，
解得： ．
故．
本题主要考查了二次根式的性质和值的性质，理解并掌握 是解题的关键．
16. 若方程的一个根为1，则=________，另一个根为________．
【正确答案】 ①. 1 ②. 8
【详解】由于方程kx2-9x+8=0的一个根为1，所以将x=1代入原方程，得
k-9+8=0，
∴k=1.
当k=1时，原方程为x2-9x+8=0，
解这个关于x的一元二次方程：
将方程左侧进行因式分解，得 (x-1)(x-8)=0，
∴x-1=0或x-8=0，
∴x1=1，x2=8.
由题意可知，另一个根为8.
故本题应依次填写：1；8.
17. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
【正确答案】4.8或
【分析】根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可．
【详解】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以＝，
即＝，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以＝，
即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
三、解 答 题
19. （1）计算：16×4﹣1+﹣（﹣5）0﹣|﹣2|．
（2）计算： +（﹣）﹣1+（207﹣π）0+|﹣2|．
（3）计算：（﹣）﹣（+）
【正确答案】（1）4；（2）2﹣；（3） ．
【详解】试题分析：（1）先分别进行负指数幂计算、二次根式化简、0指数幂计算、值化简，然后再按顺序进行计算即可；
（2）先分别进行立方根的计算、负指数幂的计算、0次幂的计算、值的化简，然后再按顺序进行计算即可；
（3）先进行二次根式的化简，去括号后进行合并即可.
试题解析：（1）原式=16× 3-1-2=4+3-1-2=4；
（2）原式=2-3+1+2-=2-；
（3）原式=.
20. （1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣1=0．
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．
（3）解方程：x2﹣4=3（x+2）．
【正确答案】（1）x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=，x2=；（3）x1=﹣2，x2=5．
【详解】试题分析：（1）按要求利用配方法进行求解即可；
（2）利用公式法进行求解即可；
（3）整体移项后利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：（1）x2-2x-1=0，
x2-2x=1，
x2-2x+1=1+1，
（x-1）2=2，
x-1=，
x1=1+，x2=1﹣；
（2）2x2+3x﹣1=0，
a=2，b=3，c=-1，
b2-4ac=9+8=17>0，
x=，
x1=，x2=；
（3）x2﹣4=3（x+2），
（x+2）(x-2)-3（x+2）=0，
（x+2）(x-2-3)=0，
x1=﹣2，x2=5．
21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
【正确答案】（1）画图见解析；（ 2）﹣2，﹣1；（3）﹣，﹣．
【详解】试题分析：（1）用△ABC各顶点横纵坐标除以－2，然后在第三象限找到对应点，连结即可；
（2）直接写出坐标；
（3）直接写出坐标．
试题解析：（1）如图：即为所求三角形；
（2）（-2，-1）；
（3）∵D（a，b），相似比=1：2，那么它的对应点的（ ）．
考点：1．作图—相似变换；2．网格型．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣5）﹣m2=0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是6．
【详解】试题分析：(1)、将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案；(2)、将x=1代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根.
试题解析：(1)、∵，∴x2﹣7x+10﹣m2=0，
∵△=（﹣7）2﹣4（10﹣m2）=9+4 m2，而m2≥0， ∴△＞0，∴方程总有两个没有等的实数根；
(2)、∵方程的一个根是1，∴m2=4，解得：m=±2， ∴原方程为：x2﹣7x+6=0，解得：x1=1，x2=6．
即m的值为±2，方程的另一个根是6．
考点：(1)、解方程；(2)、根的判别式
24. 如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当时，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值，若没有能，说明理由.
【正确答案】(1)；（2）；（3）或5．
【详解】试题分析：（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）当时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
试题解析：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
解得x=；
（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴时间用了秒，AP=cm，
∵由（1）知，此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比为，
∴S△APQ：S△ABC=4：9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=S△ABC，
又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ=S△ABC，
∴S△BPQ=S四边形PQCB-S△BCQ═S△ABC-S△ABC=S△ABC，
∴S△BPQ：S△ABC=2：9=
（3）假设两三角形可以相似．
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有，
解得x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
综上所述，时间x的值是或5．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
12 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
20. 已知：如图，在中，.求证.
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x的取值范围为 ；
（3）求△OAB的面积．
25. 探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求值．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是
故选：A
2. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （1，1） C. D. （2，1）
【正确答案】B
【详解】∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1，0)，
∴BO=1，则AO=AB=2，
∴A(，)，
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似，相似比为1:2，
∴点C的坐标为：(1，1).
故选B.
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.
3. 如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. 1: D. 1:
【正确答案】D
【详解】解：如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
故选D．
4. 反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在这个反比例函数y=的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【正确答案】B
【详解】因为反比例函数y=的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=的图象分布在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1 D.
【正确答案】C
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质.
6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算可得：，即可解EC=2，
故选B．
考点：平行线分线段成比例
7. 如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图是一个三棱柱笔筒，则该物体的主视图是
，
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
8. 已知函数y=的图象如图所示，以下结论，其中正确的有（ ）
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】试题分析：利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．
解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；
②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；
③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＞b，错误；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，
故选B．
9. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2
【正确答案】A
【详解】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,αβ==-3,所求式子化为（α＋β）÷（αβ）=3÷（-3）=-1.故本题选A.
考点：一元二次方程根与系数关系.
10. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 2
【正确答案】D
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的没有等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数没有为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△＝4﹣4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得a≤2，且a≠1，
则a的整数值是2．
故选D．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．
12. 一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是_____．
【正确答案】．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出k值，即可得到解析式．
【详解】解：设这个反比例函数解析式y＝，
∵反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），
∴＝﹣3，
解得k＝6，
∴这个反比例函数的解析式是y＝．
故y＝．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
13. 从甲、乙2名和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加队，那么抽取的2人恰好是一名和一名护士的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是一名和一名护士的结果数为8，所以恰好是一名和一名护士的概率==．故答案为．
点睛：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________.
【正确答案】96
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96．
故96．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
15. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为_____．
【正确答案】5
【详解】方程，
即，
解得：，，
则矩形ABCD的对角线长是：=5．
故答案为5．
16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
【正确答案】22.5
【详解】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴，
∴，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
【正确答案】-6
【详解】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴
故答案为
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
三、解 答 题(共66分)
19. 解下列方程：
(1)x2－6x－6=0；(2)(x＋2)(x＋3)=1.
【正确答案】（1）x1=3＋，x2=3－；（2）x1=，x2=.
详解】试题分析：
（1）用“配方法”解此方程即可；
（2）用“公式法”解此方程即可.
试题解析：
(1)x2－6x－6＝0，
配方得：x2－6x＋9＝ 15，
∴ (x－3)2＝ 15，
x－3＝ ± ，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)原方程可化为：，
∴△=，
∴，
∴.
20. 已知：如图，在中，.求证.
【正确答案】详见解析
【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．
【详解】证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
21.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【详解】试题分析：根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
试题解析：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
22. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大，商场决定采取适当降价的方式促销，经发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【正确答案】要使商场每月这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【详解】试题分析：设每件商品应降价元，先表示出每件的利润．再乘以每月的数量，列方程求解即可.
解：要使商场每月这种商品的利润达到 元，且更有利于减少库存，则设每件商品应降价元，由题意，得
解得：
∵有利于减少库存，
答：每件商品应降元.
点睛：这个题目主要考查一元二次方程的应用.属于营销问题.
每件利润量=总利润.
23. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．
24. 如图，函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
（1）求函数y1=kx+b和反比例函数y2=的解析式；
（2）观察图象写出y1＜y2时，x取值范围为 ；
（3）求△OAB面积．
【正确答案】（1）函数的解析式是：y1=x﹣；反比例函数的解析式是：y2=
（2）x＜﹣2或0＜x＜3
（3）
【分析】（1）根据图形得出A、B的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出其解析式；把A、B的坐标代入函数的解析式，即可求出函数的解析式；
（2）根据图象和A、B的横坐标，即可得出答案．
（3）求得直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【小问1详解】
解：由图可知：A（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y2=的图象过点A（﹣2，﹣2），
∴m=4，
∴反比例函数的解析式是：y2=，
把x=3代入得，y=，
∴B（3，），
∵y=kx+b过A、B两点，
∴
解得：k=，b=﹣，
∴函数的解析式是：y1=x﹣；
【小问2详解】
根据图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜3时，y1＜y2．
故x＜﹣2或0＜x＜3．
【小问3详解】
由函数y1=x﹣可知直线与y轴的交点为（0，﹣），
∴△OAB的面积=××2+××3=．
本题考查反比例函数与函数的交点问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25. 【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；
【结论应用】
(2)如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ；
【联系拓展】
(3)如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
（2）只需运用（1）中的结论,就可得到,就可解决问题,
（3）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中的结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
【详解】解: （1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
（2）如图2,
∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由（1）中的结论可得,,
∴
故答案为:,
（2）过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴▱ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
（舍去）,或,
∴AR=5+x=8,
∴.
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