2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）　
一、选一选
1. 下列方程中，一元二次方程是（　　）
A. 2x2﹣3xy+4=0 B. 2x2﹣（x+1）2=2+x2
C. 3x2+x=20 D. ax2+bx+c=0
2. 在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（　　）
A. （0，﹣1） B. （0，1） C. （﹣1，5） D. （3，4）
3. 直线与抛物线的交点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 互相重合的两个
4. 已知反比例函数y=﹣，下列各点中，在其图象上的有（　　）
A. （﹣2，﹣3） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （1，6）
5. 如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（ ）
A. -2 B. C. 2，-6 D. 30，-34
6. 如图，函数y=与y=kx+2在同一坐标系中，图象只能是下图的（　　）
A. B. C. D.
7. 若为关于的一元二次方程的根，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
8. 如图，将三角尺ABC绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，若点A、B、C’在同一条直线上，那么旋转的角度可以是（ ）

A. B. C. D.
9. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
二、填 空 题
11. 若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
12. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值为_________.
13. 已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为______ ．
14. 已知直线y=2x﹣1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=_____，交点坐标为_____．
15. 已知y与x+2成反比例，当x=4时，y=2，当x=0时，y=_____．
16. 设有反比例函数y＝，（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上两点，当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则的k的取值范围是___．
17. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____.
18. 实数a，b是关于x方程2x2+3x+1=0的两根，则点P（a，b）关于原点对称的点Q的坐标为_____．
19. 若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m=______，另一根为________．
20. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
三、解 答 题（共90分）
21. 用适当的方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2=（x+1）2
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0
（4）（x2+x）2+（x2+x）=6．
22. 方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2．

23. 将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
24. 如图所示，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，
（1）求函数的解析式；
（2）求△AOB面积．
（3）直接写出kx+b+＞0的解集．

25. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
26. 已知是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．
27. 已知抛物线，如图所示，直线其对称轴，

确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
28. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时单价是20元．发现：单价是30元
时，月量是230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？

2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）　　
一、选一选
1. 下列方程中，一元二次方程是（　　）
A. 2x2﹣3xy+4=0 B. 2x2﹣（x+1）2=2+x2
C. 3x2+x=20 D. ax2+bx+c=0
【正确答案】C

【详解】A、该方程中含有2个未知数，没有是一元二次方程，故本选项错误；B、由原方程得到： 2x+3=0，没有含有二次项，没有是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、当a=0时，它没有是一元二次方程，故本选项错误，
故选C．
2. 在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（　　）
A. （0，﹣1） B. （0，1） C. （﹣1，5） D. （3，4）
【正确答案】B

【详解】当x=0时，y=1≠﹣1，所以点（0，﹣1）没有在抛物线上，点（0，1）在抛物线上；当x=﹣1时，y=6≠5，所以点（﹣1，5）没有在抛物线上；当x=3时，y=10≠4所以点（3，4）没有在抛物线上，
故选B．
3. 直线与抛物线的交点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 互相重合的两个
【正确答案】C

【分析】抛物线与直线交点函数值为同时满足两个解析式的点的函数值，即满足方程=，解出方程的根即可求交点个数.
【详解】解：抛物线与直线相交，
=，,即：，解得：，.
抛物线与直线交点个数是2个.
故答案为C.
抛物线与直线的交点问题实质是一元二次方程的性质问题，联立直线与抛物线方程，可以求一元二次方程的根，也可以通过判别式判断：
（1）当，抛物线与直线有两个交点；
（2）当，抛物线与直线有一个交点；
（3）当时抛物线与直线有无交点．
4. 已知反比例函数y=﹣，下列各点中，在其图象上的有（　　）
A. （﹣2，﹣3） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （1，6）
【正确答案】C

【详解】∵反比例函数y=﹣中，k=﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上，
四个选项中只有C选项符合，
故选C．
5. 如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（ ）
A. -2 B. C. 2，-6 D. 30，-34
【正确答案】C

【详解】试题分析：
由原题可列方程x2+4x+4=16，
∴x2+4x-12=0，
∴（x-2）（x+6）=0，
∴x=2或x=-6，故本题选C.
考点：一元二次方程的解法
6. 如图，函数y=与y=kx+2在同一坐标系中，图象只能是下图的（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】A、由函数的图象可知k＞0，b＞0，由函数y=的图象可知k＞0，正确；B、由函数y=kx+2的图象可知k＞0，b＜0，由函数y=的图象可知k＞0，∵b=2＞0，∴矛盾，故错误；C、由函数y=kx+2的图象可知k＜0，b＜0，由函数y=的图象可知k＜0，∵b=2＞0，∴矛盾，故错误；D、由函数y=kx+2的图象可知k＜0，b＞0，由函数y=的图象可知k＞0，矛盾，故错误，
故选A．
本题考查了反比例函数的图象性质和函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.
7. 若为关于的一元二次方程的根，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
【正确答案】B

分析】把代入一元二次方程，再对式子变形求值即得答案.
【详解】把x=c代入方程，可得
c2+bc+c=0即c(b+c)+c=0，
c(b+c+1)=0，
又∵c≠0，
∴b+c+1=0，
∴c+b=-1.
故选B
考查一元二次方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.
8. 如图，将三角尺ABC绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，若点A、B、C’在同一条直线上，那么旋转的角度可以是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据三角形内角和定理求出，即，明确旋转角即为即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点A、B、C’在同一条直线上，
∴，
∴旋转的角度可以是，
故选：D．
本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理，明确旋转角即为是解题的关键．
9. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形后剩余矩形的宽是（x-2）cm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求得x的值，再求原正方形的面积即可.
【详解】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形的宽是（x-2）cm，
由题意可得：x（x-2）=80，
解得x=10或-8（没有合题意，舍去），
所以原来的正方形的面积是100cm2.
故选A.
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题利用已知矩形面积列出方程是解决本题的关键．
10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
【正确答案】C

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故选C．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用．
二、填 空 题
11. 若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
【正确答案】2

【详解】解：由题意得，，解得，
12. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值为_________.
【正确答案】4

【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）=0，
解得a=4，
故答案为4.
13. 已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为______ ．
【正确答案】4或##或4

【分析】解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．
【详解】解：方程的两个根是3和4．
也就是的两条边的长是3和4．
当3和4都是直角边时，第三边．
当4为斜边时，第三边．
故第三边长是5或．
故5或．
本题考查了知道直角三角形的两边，求第三边的问题，勾股定理、一元二次方程，解题的关键是要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论．
14. 已知直线y=2x﹣1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=_____，交点坐标为_____．
【正确答案】 ①. ﹣17 ②. （2，3）

【详解】将x=2代入直线y=2x﹣1得，y=2×2﹣1=3，
则交点坐标为（2，3），
将（2，3）代入y=5x2+k得，
3=5×22+k，
解得k=﹣17，
故答案为﹣17，（2，3）．
15. 已知y与x+2成反比例，当x=4时，y=2，当x=0时，y=_____．
【正确答案】6

【详解】∵y与x+2成反比例，
∴设y= （k≠0），
∵x=4时，y=2，
∴=2，
解得k=12，
∴y= ，
∴当x=0时，y==6，
故答案为6．
16. 设有反比例函数y＝，（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上两点，当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则的k的取值范围是___．
【正确答案】k＜2

【详解】试题分析：根据题意可得，反比例函数二、四象限，则k－2＜0，则k＜2.
考点：反比例函数的性质.
17. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____.
【正确答案】-3

【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴b=﹣1，a=﹣2，
∴a+b=﹣3，
故答案为﹣3．
18. 实数a，b是关于x的方程2x2+3x+1=0的两根，则点P（a，b）关于原点对称的点Q的坐标为_____．
【正确答案】（1，）或（，1）

【详解】2x2+3x+1=0，
（2x+1）（x+1）=0，
∴，
∴a=，b=-1或a=-1，b=，
∴点P的坐标为（﹣1，）或（，﹣1），
∵点P（a，b）关于原点对称的点Q，
∴点Q的坐标为（1， ）或（ ，1），
故答案为（1，）或（，1）．
本题考查了解一元二次方程、关于原点对称的点的坐标的特征，解题的关键是要先求出方程的解，再讨论确定点的坐标.
19. 若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m=______，另一根为________．
【正确答案】 ①. 1 ②.

【详解】把代入方程得：，
解得：或-3
∵，
∴
当时，原方程为：，
解得：，，
方程的另一根为．
故m的值是1，方程的另一根是．
故1，．
20. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
【正确答案】这个两位数是36或25.

【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
三、解 答 题（共90分）
21. 用适当的方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2=（x+1）2
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0
（4）（x2+x）2+（x2+x）=6．
【正确答案】（1）x1=1，x2=0；（2）x1=2，x2=3；（3）x1=x2=3；（4）x1=﹣2，x2=1．

【详解】试题分析：（1）两边开方得到3x﹣1=±（x+1），然后解两个一元方程即可；
（2）先移项得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（3）把方程看作关于（x+2）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程；
（4）先移项得到（x2+x）2+（x2+x）﹣6=0，把方程看作关于（x2+x）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程．
试题解析：（1）3x﹣1=±（x+1），
所以x1=1，x2=0；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）（x+2﹣5）2=0，
所以x1=x2=3；
（4）（x2+x）2+（x2+x）﹣6=0，
（x2+x+3）（x2+x﹣2）=0，
（x2+x+3）（x+2）（x﹣1）=0，
x2+x+3=0或x+2=0或x﹣1=0，
方程x2+x+3=0没有实数解，
所以x1=﹣2，x2=1．
22. 方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出A、B、C 的对应点，然后顺次连接即可得答案；
（2）利用旋转的性质得出A、B、C 的对应点位置，进而得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

23. 将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【正确答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．

【分析】设每件商品涨价元，能赚得8000元的利润；单价为元，量为件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=量×每个利润，可列方程求解
【详解】解：设每件商品涨价元，则单价为元，量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检验，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解

24. 如图所示，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，
（1）求函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
（3）直接写出kx+b+＞0的解集．

【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2）6；（3）由函数图象可得当x＜﹣2或0＜x＜4时，kx+b+＞0．

【详解】试题分析：（1）先求出A，B两点坐标，将其代入函数关系式即可；
（2）根据函数与y轴的交点为（0，2），则△AOC和△BOC的底边长为2，两三角形的高分别为|x1|和|x2|，从而可求得其面积；
（3）由函数图象得出直线在双曲线上方时x的取值范围．
试题解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=﹣2，y2=﹣2，
把x1=y2=﹣2分别代入y=﹣得y1=x2=4，
∴A（﹣2，4），B（4，﹣2）．
把A（﹣2，4）和B（4，﹣2）分别代入y=kx+b，
得，
解得，
∴函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）如图，

∵y=﹣x+2与y轴交点为C（0，2），
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×OC×|x1|+×OC×|x2|=×2×2+×2×4=6；
（3）由函数图象可得当x＜﹣2或0＜x＜4时，kx+b+＞0．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题，解答（2）小题的关键是要把△AOB分割为两个小三角形，进而再求解，同时解答本题还需要运用数形思想.
25. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
【正确答案】（1）2；（2）．

【详解】试题分析：（1）根据题意有△=0，由此列出关于m的方程并解答；
（2）利用直接开平方法解方程．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=，且m≠0，解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：，即，解得．
考点：根的判别式．
26. 已知是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．
【正确答案】m=-1， 开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.

【分析】利用二次函数的定义：x的项的次数为2，二次项系数没有为0求得m的值，再利用配方法求出二次函数的顶点坐标及对称轴即可.
【详解】由题意得，解得 m=-1，
∴
开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.
27. 已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，

确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
【正确答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．

【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图象可知，
当时，；当或时，．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
28. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．发现：单价是30元
时，月量是230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？
【正确答案】（1）（且为正整数）；（2）所以每件玩具的售价定为32元时，月利润恰为2520元；（3）所以每件玩具的售价为36或37元时，可使月利润，的月利润为元

【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月量为（230-10x），然后根据月利润=一件玩具的利润×月量即可求出函数关系式；
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，解方程求出x的值即可；
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
函数关系式为y=-10x2+130x+2300(0＜x≤10且x为正整数)；
（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，
整理得，即，
解得x1=2，x2=11（没有合题意，舍去），
当x=2时，30+x=32（元），
答：每件玩具的售价定为32元时，月利润恰为2520元；
（3）根据题意得：
y=-10x2+130x+2300
=-10（x-6.5）2+2722.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=6.5时，y有值2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得利润，的月利润是2720元．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．














2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）　
一、选一选
1. 下列函数中是二次函数的是　　
A. B. C. D.
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为(　 　)

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）
A. B. C. D.
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
7. 已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A. B. C. 3 D. 2
8. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　）

A. 75° B. 65° C. 60° D. 50°
9. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）

A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
10. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）

A. 110° B. 120° C. 150° D. 160°
11. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD周长是（　　）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 22
12. 如图，点A在双曲线y=的象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）

A. 16 B. C. D. 9
二、填 空 题
13. 如果抛物线y＝（m﹣1）x2有点，那么m的取值范围为_____．
14. 如图，已知反比例函数y= (k为常数，k≠0)图象点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
15. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.

16. 已知三角形边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
17. 在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是_____．
18. 如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（没有与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=_____．

19. 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.

20. 已知抛物线A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的值为_____．
三、解 答 题
21. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

23. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
24. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

25. 已知，在△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′，BF′．
①若BF′=6，求CE′长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？













2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）　
一、选一选
1. 下列函数中是二次函数的是　　
A B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的定义逐个分析即可.
【详解】A. 是函数；
B. ，是三次函数；
C. =2x+1，是函数；
D. ，是二次函数.

故选D
本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数的定义.
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为(　 　)

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【正确答案】B

【详解】∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC=6.
故选B.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】∵二次函数的解析式为，
∴其顶点坐标为：(4,5).
故选A.
考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为
5. 从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵在 这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选C．
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
【正确答案】D

【分析】根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1-m＞0．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
7. 已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【正确答案】A

【详解】如图OA=2，求AB长，
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，

∵OA=OB，
∴AB=2AC,∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A.
8. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　）

A. 75° B. 65° C. 60° D. 50°
【正确答案】B

【详解】因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B=∠C，所以∠C的度数可求出．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=25°，
∴∠B=65°，
∴∠C=∠B=65°（同弧所对的圆周角相等）．
故选B．

9. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（　　）

A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【正确答案】D

【详解】∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′,∠CAC′=40°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∵CC′∥AB，
∴∠BAC=∠ACC′=70°，
故选D.
10. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）

A. 110° B. 120° C. 150° D. 160°
【正确答案】A

【详解】设C′D′与BC交于点E,如图所示：

∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=11°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选A.
11. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 22
【正确答案】C

【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．
12. 如图，点A在双曲线y=的象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）

A. 16 B. C. D. 9
【正确答案】B

【详解】试题解析：连DC，如图，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，
而点D为OB的中点，
∴BD=OD=b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，
∴ab=，
把A（a，b）代入双曲线y=，
∴k=ab=．
故选B．
考点：反比例函数综合题.
二、填 空 题
13. 如果抛物线y＝（m﹣1）x2有点，那么m的取值范围为_____．
【正确答案】m＞1

【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有点，
∴m－1＞0，
解得：m＞1．
故答案为m＞1．
本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，已知反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
【正确答案】-2

【详解】解：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，
∴=2，
∴=2，
∴k=±2，
由函数图象位于第二、四象限知k<0，
∴k=-2．
故-2．
15. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.

【正确答案】8.5

【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
故8.5.
16. 已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．
【正确答案】5

【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
【详解】∵三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，
∴此三角形是以10为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为5．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
17. 在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是_____．
【正确答案】

【详解】树状图如下：

对于A选手，进入下一轮比赛的概率是=.
故答案为.
18. 如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（没有与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=_____．

【正确答案】

【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°,从折叠知,∠DFE=∠A=60°，
在△BDF中,∠BDF+∠BFD=180°−∠B=120°,∠DFB+∠EFC=180°−∠DFE=120°，
∴∠BDF=∠EFC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△DBF∽△FCE.
∴,即，
解得CE=.
故答案为
19. 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是______.

【正确答案】3

【详解】试题分析：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=3，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=3．

考点：旋转的性质；等边三角形的性质．
20. 已知抛物线A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的值为_____．
【正确答案】4

【详解】设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，
将B(0,−4)代入得：−4=−8a,即a=，
则抛物线解析式为y=(x+4)(x−2)=x2+x−4；
过M作MN⊥x轴,

设M的横坐标为m,则M(m,m2+m−4)，
∴MN=|m2+m−4|=−m2−m+4，ON=−m，
∵A(−40),B(0,−4)，∴OA=OB=4，
∴S△AMB =S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB
=×(4+m)×(−m2−m+4)+×(−m)×(−m2−m+4+4)−×4×4
=2(−m2−m+4)−2m−8
=−m2−4m
=−(m+2)2+4，
当m=−2时，S取得值，值为4.
故答案为4.
此题考查了二次函数综合题.涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，坐标与图形的性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键.
三、解 答 题
21. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
【正确答案】（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；（2）没有公平．

【分析】（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.
【详解】（1）树状图，如图所示：

(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿) 共9种情况；
（2）


所以游戏没有公平．
此题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.
22. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到时，求点P的坐标．

【正确答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣；（2）D（﹣2，）；﹣2＜x＜0或x＞3；（3）P（4，0）．

【详解】试题分析：（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数中，即可求得k的值；
（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；
（3）把A（1，a）是反比例函数的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵B（3，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴-1=，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为；
（2），
∴=，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=，
∴D（－2，）；
y1＞y2时x的取值范围是-2；
（3）∵A（1，a）是反比例函数的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
23. 已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB．
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE.
∴．
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴．
∴．
24. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE长．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）4．

【分析】（1）证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F，求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得出x的值即可．
【详解】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，∵OB=OE，CB=CE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于F；
如图所示：设CE=x，
∵CE，CB为⊙O切线
∴CB=CE=x
∵DE，DA为⊙O切线
∴DE=DA=1
∴DC=x+1
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形
∴DF=AB=4， BF=AD=1
∴FC=x﹣1
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
解得：x=4，∴CE=4．

考点：切线的判定与性质．
25. 已知，在△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′，BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

【正确答案】（1）证明见解析（2）①6②旋转角α为36°或72°

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等∠B=∠C，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；
（2）①求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
②把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF
(2)①由旋转的性质得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，
∴CE′=BF′=6；
②由(1)可知AE=BC，
所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,点E的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以,∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°−72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述,当旋转角α为36°或72°.
26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

【正确答案】（1）；（2）；（3），有5个．

【分析】（1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）设E（t，t2-2t-3），讨论：当03时，2（t-1）=t2-2t-3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；
（3）设P（x，x2-2x-3），讨论：当-1 【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,−3)代入得−3a=−3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，
即y=x2−2x−3；
(2)抛物线的对称轴为直线x=1，

设E(t,t2−2t−3)，
当0 ∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(1−t)=−(t2−2t−3)，
整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2− (舍去)；
当1 ∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(t−1)=−(t2−2t−3)，
整理得t2−5=0,解得t1=,t2=− (舍去)，
此时正方形EFGH的边长为2−2；
当t>3时,EF=2(t−1),EH=t2−2t−3,
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH,即2(t−1)=t2−2t−3，
整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+,t2=2− (舍去)，
此时正方形EFGH的边长为2+2，
综上所述,正方形EFGH的边长为2−2或2+2；
(3)设P(x,x2−2x−3)，
当−1 ∵S△ABC=×4×3=6，
∴0 当0
易得直线AC的解析式为y=x−3,则M(x,x−3)，
∴PM=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x，
∴S△APC=×3(−x2+3x)=−x2+x=−(x−)2+，
当x=时,S△APC的面积的值为,即0 综上所述,0 ∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个.
本题考查了二次函数的综合题.熟练掌握正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会解一元二次方程；会运用分类讨论的思想解决数学问题.