2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共10小题，计30分）
1. sin60°的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示几何体的俯视图是（ ）．

A. B. C. D.
3. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6 B. －6 C. 12 D. －12
【正确答案】A
解：，
得．
4. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（　　）
A. B. C. D.
5. 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若设两次降价的平均降价率为，则下列所列方程，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，，，，则的长（ ）．


A. B. C. D.
7. 函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ 　）
A. （3，4） B. （﹣2，4） C. （2，4） D. （2，﹣4）
8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，与轴交于、两点，的顶点记为，则的面积为（ ）．

A. B. C. D.
9. 如图，矩形中，，．点、点分别在边、上，点、在对角线 上．若四边形是菱形，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
10. 二次函数的与的部分对应值如表所示，则下列说确的是（ ）．















A. B.
C. 对于抛物线上的两点和，则 D. 方程一定有一个解满足
二、填 空 题（每小题3分，共4小题，计12分）
11. 若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0有一个根为x＝1，则另一个根为_____．
12. 在正方形内，以为边作等边，连接、，则的大小为__________．

13. 如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_____．

14. 如图，在平行四边形中，，，，为边上的一个动点（没有与、重合），过作直线的垂线，垂足为，则面积的值为__________．

三、解 答 题（共11小题，计78分）
15. （分）计算：
．
16. （分）先化简，后求值：
，其中．
17. 如图，在中，，．请用尺规作一条直线，使其将面积分为两部分．（保留作图痕迹，没有写作法）

18. （分）如图，函数的图象与反比例函数图象交于，两点，点的坐标为．

（）求函数和反比例函数的表达式．
（）求的面积．
19. （分）如图，点、、、在同一直线上，点、分别在直线的两侧，且，，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（）要使四边形为矩形，需要添加一个条件．你可以添加下列条件中的__________．（无需证明）
①
②
③连接，
④连接，
20. （本题满分分）小明、小华在一栋高楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码层！”小华却没有以为然：“层？我看没有！”小明说：“有本事，就让我们一测量吧！”
如图，矩形表示楼体，小明、小华在楼体两侧各选、两点，使得、、、四点在同一直线上，利用皮尺和侧倾器测得如下数据，米，米，，．

（）请你帮助他们算一算楼高．（结果保留根号）
（）若每层楼按米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．
21. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的情况进行统计，发现每天量y（千克）与价x（元/千克）存在函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定价，使该品种苹果每天利润？利润是多少？
22. （分）周末，小英与她父亲、母亲计划从西安外出旅游，初步选择了位于西安东线的景点：兵马俑，：华山，以及位于西线的景点：太白山，：法门寺，：杨凌现代农业示范园．由于时间仓促，他们只能去其中的两个景点，并且希望两个景点能位于一条线路上．到底去哪两个景点，三人意见没有统一．在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸卡片游戏来决定．规则如下：在五个背面完全相同的卡片上写上五个景点的代号，然后洗匀，背面朝上放在桌面上，让小英随机摸出一张，没有放回，然后让小英母亲再随机摸出一张．照上面的规则，请你解答下列问题：
（）已知小英的理想旅游景点是兵马俑，求小英摸出写有的卡片的概率．
（）求小英和母亲摸出的景点位于一条线上（东线或西线）的概率．
23. （分）如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接、，交于点．

（）求证：．
（）若，，求的值．
24. （分）如图，抛物线的顶点为．
（）求抛物线函数表达式．
（）若抛物线形与关于轴对称，求抛物线的函数表达式．
（）在（）的基础上，设上的点、始终与上的点、分别关于轴对称，是否存在点、（、分别位于抛物线对称轴两侧，且在的左侧），使四边形为正方形？
若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由．

25. （分）在菱形中，，，点是线段上一个动点．
（）如图①，求的最小值．
（）如图②，若也是边上的一个动点，且，求的最小值．
（）如图③，若，则在菱形内部存在一点，使得点分别到点、点、边的距离之和最小．请你画出这样的点，并求出这个最小值．


























2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共10小题，计30分）
1. sin60°值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据角的三角函数值进行回答即可．
【详解】解：sin60°=，
故选：B．
本题考查的是角的三角函数值，熟练掌握角的三角函数值是解决本题的关键．
2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：由直观图可知，该几何体的俯视图应该是一个长方形，并且中间有两条看没有到的线，该直线应该为虚线.
故选C.
3. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6 B. －6 C. 12 D. －12
【正确答案】A

【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反函数的性质是解题的关键．
【正确答案】A
解：，
得．
4. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题解析：在Rt△ABC中,∵∠C=90∘，AC=3，BC=4，


故选A
5. 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若设两次降价的平均降价率为，则下列所列方程，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：次降价后的价格为200(1−x)，两次连续降价后售价在次降价后的价格的基础上降低x，
为200(1−x)×(1−x),则列出的方程是
故选D.
6. 如图，在平行四边形中，，，，则的长（ ）．


A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵DE:EA=2:3，
∴DE:DA=2:5，
又∵EFAB，
∴△DEF∽△DAB，
即
解得AB=10，
由平行四边形的性质，得CD=AB=10.
故选：C.
7. 函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ 　）
A. （3，4） B. （﹣2，4） C. （2，4） D. （2，﹣4）
【正确答案】C

【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，与轴交于、两点，的顶点记为，则的面积为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】根据题意可得，抛物线的解析式为：

解得：
即


故选：A.
二次函数的平移规律：左加右减，上加下减.
9. 如图，矩形中，，．点、点分别在边、上，点、在对角线 上．若四边形是菱形，则长为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
ABCD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中,

∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，



∴△AOE∽△ABC，


∴AE=5.
故选D.
点睛：两组角对应相等的两个三角形相似.
10. 二次函数的与的部分对应值如表所示，则下列说确的是（ ）．















A. B.
C. 对于抛物线上的两点和，则 D. 方程一定有一个解满足
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵由图表可以得出当x=0或1时, ,可以求出此函数的对称轴是整理得：故A错误.
由二次函数的对称性可知：当x=-1或2时,即故B错误.
由图表可以得出抛物线开口向下，距离对称轴越远,函数值越小，C正确.
方程没有解满足,D错误.
故选C.
二、填 空 题（每小题3分，共4小题，计12分）
11. 若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0有一个根为x＝1，则另一个根为_____．
【正确答案】-6

【详解】试题解析: 设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则
解得t=−6.
故答案为
点睛：一元二次方程两根分别是

12. 在正方形内，以为边作等边，连接、，则的大小为__________．

【正确答案】150°

【详解】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∵△BCE为正三角形，




同理可得

故答案为
13. 如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_____．

【正确答案】

【分析】作出辅助线,根据中位线的性质得到CD=BE,表示出A.B的坐标,利用△ADO的面积为1求出k的值即可.
【详解】
解：过点B作BE⊥x轴于点E,
∵D为OB的中点,
∴CD是△OBE的中位线,即CD=BE.
设A(x, ),则B(2x, ),CD=,AD=−,
∵△ADO的面积为1,
∴AD⋅OC=1， (−)⋅x=1，解得k=.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,属于简单题,表示出△ADO的面积是解题关键.
14. 如图，在平行四边形中，，，，为边上的一个动点（没有与、重合），过作直线的垂线，垂足为，则面积的值为__________．

【正确答案】

【详解】试题解析：延长与的延长线交于点
设 则


，
面积的值为

故答案为
三、解 答 题（共11小题，计78分）
15. （分）计算：
．
【正确答案】1

【详解】试题分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
试题解析：原式 ．
16. （分）先化简，后求值：
，其中．
【正确答案】 ；

【详解】试题分析：根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后对进行求解，即可解答本题．
试题解析：原式，
当，
解得，，
当时，原式无意义；
当时，原式．
17. 如图，在中，，．请用尺规作一条直线，使其将面积分为两部分．（保留作图痕迹，没有写作法）

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：作的角平分线即可.
试题解析：如图，作的角平分线交于，直线即为所求．

点睛：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.高相等，底边之比就是面积比.
18. （分）如图，函数的图象与反比例函数图象交于，两点，点的坐标为．

（）求函数和反比例函数的表达式．
（）求的面积．
【正确答案】（1）y=x-1； ；（2）

【详解】试题分析：把点的坐标代入函数求得的值，把点的坐标代入反比例函数求得的值，函数和反比例函数的表达式即可求得.
把函数和反比例函数的解析式联立，即可求得点的坐标，求出函数与轴的交点坐标，即可求得的面积．
试题解析：
（）∵过，
∴，，
∴函数的表达式为，
∵过，
∴，，
∴反比例函数的表达式为．
（）当时，
解得，，
∴点、的横坐标为、，且直线与轴的交点坐标为．
∴．
19. （分）如图，点、、、在同一直线上，点、分别在直线的两侧，且，，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（）要使四边形为矩形，需要添加一个条件．你可以添加下列条件中__________．（无需证明）
①
②
③连接，
④连接，
【正确答案】（1）见解析；（2）④

【详解】试题分析：（1）由证得≌，即可得且BC∥EF，即可判定四边形是平行四边形；
根据矩形的判定方法判断即可.
试题解析：(1)证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BCEF，
∴四边形是平行四边形；
根据矩形的判定方法，④可以判定四边形是矩形，依据是对角线相等的平行四边形是矩形.
点睛：矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
对角线相等的平行四边形是矩形，
有三个角是直角的四边形是矩形.
20. （本题满分分）小明、小华在一栋高楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码层！”小华却没有以为然：“层？我看没有！”小明说：“有本事，就让我们一测量吧！”
如图，矩形表示楼体，小明、小华在楼体两侧各选、两点，使得、、、四点在同一直线上，利用皮尺和侧倾器测得如下数据，米，米，，．

（）请你帮助他们算一算楼高．（结果保留根号）
（）若每层楼按米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．
【正确答案】（）楼高米．（）CF=51.24米<3×20米，支持小华．

【详解】试题分析：（1）设楼高为，则，在和中分别用表示的值，然后根据求出的值即可；
（2）根据（1）求出的楼高，然后求出20层楼的高度，比较和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．
试题解析: (1)设楼高为x米，则CF=DE=x米，

米，BD=x米，

解得 (米)，
∴楼高米.
(2) 米<3×20米
∴我支持小华的观点，这楼没有到20层.
21. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的情况进行统计，发现每天量y（千克）与价x（元/千克）存在函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（没有要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定价，使该品种苹果的每天利润？利润是多少？
【正确答案】（1）；（2）当单价为20元/千克时，每天可获得利润200元．

【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】解：（1）设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有值，
当x=﹣=20时，=200．
即当单价为20元/千克时，每天可获得利润200元．
本题考查二次函数的应用．

22. （分）周末，小英与她的父亲、母亲计划从西安外出旅游，初步选择了位于西安东线的景点：兵马俑，：华山，以及位于西线的景点：太白山，：法门寺，：杨凌现代农业示范园．由于时间仓促，他们只能去其中的两个景点，并且希望两个景点能位于一条线路上．到底去哪两个景点，三人意见没有统一．在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸卡片游戏来决定．规则如下：在五个背面完全相同的卡片上写上五个景点的代号，然后洗匀，背面朝上放在桌面上，让小英随机摸出一张，没有放回，然后让小英母亲再随机摸出一张．照上面的规则，请你解答下列问题：
（）已知小英的理想旅游景点是兵马俑，求小英摸出写有的卡片的概率．
（）求小英和母亲摸出的景点位于一条线上（东线或西线）的概率．
【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：直接写出概率即可.
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小英和母亲随机各摸，找出小英和母亲摸出的景点位于一条线上的情况，再利用概率公式即可求得答案；
试题解析：
（）P．
（）

共有种等可能的结果，其中在一条线路上的有种．
∴P．
23. （分）如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接、，交于点．

（）求证：．
（）若，，求值．
【正确答案】（1）见解析；（2）

【详解】试题分析：由平分，，可证得然后由相似三角形的对应边成比例，证得．
（2）证得然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
试题解析：
（）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（）．
，，


证得
．
24. （分）如图，抛物线的顶点为．
（）求抛物线的函数表达式．
（）若抛物线形与关于轴对称，求抛物线的函数表达式．
（）在（）的基础上，设上的点、始终与上的点、分别关于轴对称，是否存在点、（、分别位于抛物线对称轴两侧，且在的左侧），使四边形为正方形？
若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由．

【正确答案】（1）y=-x2+6x-7;(2)y=x2-6x+7;(3)存在，（2,1）或（1，-2）

【详解】试题分析：根据顶点坐标，求出的值，求抛物线的函数表达式．
抛物线与关于轴对称，求出抛物线的顶点坐标和二次项系数，即可求得函数表达式.
根据正方形边长相等,．列出方程，求解即可.
试题解析：
（）抛物线的顶点为．

解得：
．
（）若抛物线的顶点坐标为．
若抛物线与关于轴对称，
抛物线的顶点坐标为：
抛物线的函数表达式为：
．

（）存在．
如图，要使四边形是正方形，

∵轴，则要轴，
且．
设，，
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴由抛物线的对称性可知，
∴．
当，
解得：，（舍去），此时，
当时，，
解得：，（舍去），此时，
综上，存在这样的点或．
25. （分）在菱形中，，，点是线段上的一个动点．
（）如图①，求的最小值．
（）如图②，若也是边上的一个动点，且，求的最小值．
（）如图③，若，则在菱形内部存在一点，使得点分别到点、点、边的距离之和最小．请你画出这样的点，并求出这个最小值．

【正确答案】（1） ；（2）；（3）

【详解】试题分析：（1）根据正弦的定义求出AE的最小值；
（2）连接、、，在菱形中，可证为等边三角形，
的最小值即为的最小值．
（3）以为边在菱形外作等边，作于，即为点分别到点、点、边的距离之和最小，当于时，点即为所求．
试题解析：（）根据垂线段最短，当时，最小，最小为菱形的高．

（）连接、、，
在菱形中，可证为等边三角形，
的最小值即为的最小值．

（）如图，以为边在菱形外作等边，
作于，即为点分别到点、点、边的距离之和最小，
当于时，点即为所求．理由如下：
当绕点逆时针旋转得到，点在上，
此时，，，
要使点分别到点、点、边的距离之和最小，
则要即可．
作，
由题意可得：为的中点．
在中，，，
∴，，
∴．





2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共24分)
1. 要使代数式有意义，则x（　　）
A. 值是 B. 最小值是 C. 值是 D. 最小值是
2. 若＋＝，则y的值为（ ）
A. 8 B. 15 C. 3 D. 2
3. 如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　）

A. B. C. 6 D. 10

4. 方程x-2=x(x-2)的解为( )
A. x=0 B. x1=0，x2=2 C. x＝2 D. x1=1，x2=2
5. 参加商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为 ( )
A. x(x+1)=45 B. x(x-1)=45
C. x(x+1)=45 D. x(x-1)=45
6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）

A. m=5 B. m= C. m= D. m=10

7. 若方程x2＋x－1＝0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（ ）
A. α＋β＝1 B. αβ＝1 C. α2＋β2＝2 D. ＋＝1
8. 如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）


A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m

二、填 空 题(每小题3分，共30分)
9. 方程的解是_______．
10. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠A＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，则DE＝_______.

11. 在平面直角坐标系中，顶点坐标为，若以原点O为位似，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为____．
12. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则a的取值范围是__________________．
13. 已知为实数，且，则______.
14. 如果|a|+a＝0，则＝_____．
15. 若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_______
16. 如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（ ）

A. B. C. D.
17. 一个 群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，则这个 群里有_____个好友．
18. 如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB＝CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB＝，∠CBO＝45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是________．

三、解 答 题(共66分)
19 计算：
(1)；
(2)
20. 解下列方程：
(1)(x＋3)(x－1)＝4x－4；
(2)2x2－20x＋25＝0.
21. 先化简；再求值：；其中a=+1，b=-1．
22. 已知关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
23. 服装柜在中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
24. 如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（到0.lm)

25. 已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.
(1)求证：；
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.

26. 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．

（2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件没有变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边点（即点、重合），其余条件没有变，若，，求的值．












2022-2023学年天津市河东区九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共24分)
1. 要使代数式有意义，则x的（　　）
A. 值是 B. 最小值是 C. 值是 D. 最小值是
【正确答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】代数式有意义,

解得
故选A．
本题考查的知识是二次根式有意义的条件，解题关键是熟知二次根式具有非负性．
2. 若＋＝，则y的值为（ ）
A. 8 B. 15 C. 3 D. 2
【正确答案】C

【详解】分析: 先把各二次根式化为最简二次根式，然后解方程即可.
详解: ∵＋＝
∴=-
即=-
∴=
∴y=3.
故选C.
点睛: 本题考查了二次根式运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算，即合并同类二次根式．
3. 如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　）

A. B. C. 6 D. 10
【正确答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：EF＝6．
故选：C．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．

4. 方程x-2=x(x-2)的解为( )
A. x=0 B. x1=0，x2=2 C. x＝2 D. x1=1，x2=2
【正确答案】D

【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】x-2=x(x-2)，
（x-2）- x(x-2)=0，
（x-2）（1-x）=0，
x-2=0或1-x=0，
∴，.
故选D.
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知因式分解法解方程的方法是解题的关键.
5. 参加商品交易会每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为 ( )
A. x(x+1)=45 B. x(x-1)=45
C. x(x+1)=45 D. x(x-1)=45
【正确答案】B

【详解】分析∶ 每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x-1)份合同，签订合同共有x(x-1)份．
详解∶ 设有x家公司参加，依题意，得
x(x-1)=45．
故选：B．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于没有重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）

A. m=5 B. m= C. m= D. m=10
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB=AB=CD，∴，即，解得m=．故选B．
考点：1．相似三角形判定与性质；2．平行四边形的性质．

7. 若方程x2＋x－1＝0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（ ）
A. α＋β＝1 B. αβ＝1 C. α2＋β2＝2 D. ＋＝1
【正确答案】D

【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=-1，αβ=-1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2-2αβ，利用通分变形 得到 ，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．
【详解】根据题意得α+β=-1，αβ=-1．

所以α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-1）2-2×（-1）=3；
＋==1．
故选D
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2= ．
8. 如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）


A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
【正确答案】D

【分析】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，


∵身高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
，
∴AB=8m．
故选：D．
此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．

二、填 空 题(每小题3分，共30分)
9. 方程的解是_______．
【正确答案】

【分析】用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方：
【详解】由，移项得：，配方得：，
两边直接开平方得：，则．
故填：
10. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠A＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，则DE＝_______.

【正确答案】6.5

【详解】分析: 在Rt△ABC中根据勾股定理得出BC，由于D、E分别为AB、AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求DE.
详解: 在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝5，∠A＝90°，
根据勾股定理得：BC== =13，
∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=6.5，
故答案为6.5.
点睛: 本题主要考查了勾股定理和三角形中位线定理，难度适中.
11. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为____．
【正确答案】（4，6）或（-4，-6）

【分析】位似是的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是或（， ）．
【详解】∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是或（， ）
∴A'的坐标为（4，6）或（-4，-6）．
12. 若关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则a的取值范围是__________________．
【正确答案】且．

【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，∴且△=，解得：且．故答案为且．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．

13. 已知为实数，且，则______.
【正确答案】或

【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x、y的值，代入即可得出结论．
【详解】∵且，
∴，
∴，
∴或．
故答案为或．
本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
14. 如果|a|+a＝0，则＝_____．
【正确答案】1﹣2a．

【分析】先确定a的取值，再开方求解即可．
【详解】解：∵|a|+a＝0，
∴a＝﹣a，
∴a为非正数，
∴＝1﹣a﹣a＝1﹣2a，
故1﹣2a．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是确定a的取值．
15. 若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_______
【正确答案】4

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，
∴由根与系数的关系得，
解得，．
∴ab=1×4=4．
故答案是：4．
16. 如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据相似三角形的判定定理，图中已知条件进行判断.
【详解】当，，
所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④没有能判断和相似，没有符合题意；
①②③能判定相似，
故选：D．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
17. 一个 群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，则这个 群里有_____个好友．
【正确答案】30

【详解】分析∶ 每个好友都有发给群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发消息；设有x个好友，每人发x-1条消息，则发消息共有x(x-1)条．
详解∶ 设有x个好友，依题意，
x(x-1)=870，
整理，得x2-x-870=0，(x-30)(x+29)=0
解得：x1=30，x2=-29(舍去)
故30．
本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．
18. 如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB＝CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB＝，∠CBO＝45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是________．

【正确答案】(1，－1)或(－，)

【详解】∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°，∴AB=AC=，OD=CD，在Rt△BAC中，BC==2，
∴OB=2，
∴OA=OB﹣AB=，
在Rt△OAC中，OC==，
在Rt△OAD中，，，
解得AD=，
∴OD=CD=，
在Rt△BAD中，BD==，
①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，
，即，
解得BM=，
∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴，
即，
解得BF=1，MF=，
∴OF=OB﹣BF=1，
∴点M的坐标是（1，）；
②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

，
即，
解得BM=，
∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴，
即，
解得BF=，MF=，
∴OF=BF﹣OB=，
∴点M的坐标是．
综上所述，点M的坐标是（1，）或．
故答案为（1，）或．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．函数图象上点的坐标特征；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．
三、解 答 题(共66分)
19. 计算：
(1)；
(2).
【正确答案】(1) 80－10；(2) ＋1.

【详解】分析: （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）首先利用二次根式的化简以及零指数幂进行计算，然后按照实数的运算顺序计算即可求解.
详解:
（1）原式=(4-+ 12)
=(16-)
=80－10
(2)
=3--+1
= ＋1
点睛: 此题主要考查了实数的运算，解决此题关键是掌握二次根式的化简以及零指数幂的运算.
20. 解下列方程：
(1)(x＋3)(x－1)＝4x－4；
(2)2x2－20x＋25＝0.
【正确答案】(1)x1＝x2＝1；(2)x1＝，x2＝.

【详解】分析: （1）先移项,因式分解法求解可得；
（2）根据配方法的步骤先两边都除以2，再移项，再配方，开方即可得出答案.
详解: (1)(x＋3)(x－1)＝4x－4
(x＋3)(x－1)-(4x－4)=0
(x＋3)(x－1)-4(x－1)=0
(x＋3-4) (x－1)=0
(x-1) (x－1)=0
∴x－1=0
解得x1＝x2＝1
（2）2x2-20x+25=0．
x2-10x=-．
x2-10x+25=-+25．
（x+5）2=
x+5=±，
则x1=-5+，x2=-5-.
点睛: 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 配方法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方.
21. 先化简；再求值：；其中a=+1，b=-1．
【正确答案】，2

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再将a和b值代入计算即可．
【详解】解：
=
=，
将a=+1，b=-1代入，
原式=（+1）（-1）÷2=2．
本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
22. 已知关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)设方程的两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
【正确答案】（1）m>0；（2）m＝8．

【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0有两个实数根，得出m≠0且（-2m）2-4m（m-2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1•x2的值，再根据|x1-x2|=1，得出（x1+x2）2-4x1x2=1，再把x1+x2和x1•x2的值代入计算即可．
【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0有两个实数根，
∴m≠0且Δ≥0，即(－2m)2－4m(m－2)≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m>0.
(2)∵方程的两实根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝
∵|x1－x2|＝1，
∴(x1－x2)2＝1，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝1，
即22－4×＝1，
解得m＝8，
经检验m＝8符合题意，
∴m的值为8
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
23. 服装柜在中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【正确答案】20

【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【详解】如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；
设每件童装应降价x元，
依题意得(40−x)(20+2x)=1200，
整理得，
解之得，
因要减少库存，故x=20.
答：每件童装应降价20元.
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于实际列出相应的一元二次方程.
24. 如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（到0.lm)

【正确答案】路灯高度约为6.0m

【分析】根据AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，则有和，而CD=FG，即可得=，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出AB．
【详解】由题意，得，，，
∴.∴.
∴.①
同理，，
∴.②
又∵，
∴由①，②可得，
即，
解得.
将代入①，得.
故路灯的高度约为6.0m.
本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
25. 已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.
(1)求证：；
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】分析: （1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；
（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝，即可证得＝，则所证结论即可得到.
详解:
(1)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴＝，＝.
又∵DE＝EF，
∴＝，
∴＝；
(2)∵CF2＝FG·FB，
∴＝.
又∠BFC＝∠CFG，
∴△BCF∽△CGF，
∴＝，∠FCE＝∠CBF.
又∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBF，
∴∠FCE＝∠EFG.
∵∠FEG＝∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴＝.
又∵EF＝DE，＝，
∴＝，即CG·CE＝BC·DE.
点睛: 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，证明∠FEG=∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键.
26. 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．

（2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件没有变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边点（即点、重合），其余条件没有变，若，，求的值．
【正确答案】（1）见解析 （2）= （3）

【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，作EQ⊥BC于点Q，由（1）同理证出△EPG≌△EQF得出结论；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
又，，
∴≌（ASA）．
∴．
（2）EF=EG，理由如下：
如图，

过点作于点，作于点，
则，，
∴．
又，
∴≌．
∴．
（3）如图，过点作于点，作于点，

则，，，
∴．
∴．
又，，
∴．
∴∽．
∴．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和应用，相似三角形的判定和应用，解题的关键是能从第（1）问的解答中获得解决后两问的．