2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（A卷）
（满分150 分，考试时间 120分钟）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
2. 将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为( )
A (x+4)2＝7 B. (x+4)2＝25
C. (x+4)2＝﹣9 D. (x+8)2＝7
3. 二次函数y=x 2 －2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A （1，2） B. （1，6） C. （－1，6） D. （－1，2）
4. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则co的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
6. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32º，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）

A. 25º B. 29º C. 30º D. 32°
7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
2
3
2
…
在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
A. y1≥y2 B. y1＞y2 C. y1≤y2 D. y1＜y2
8. 如图1，在 中，，.点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D的路径长为，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若cosA，则锐角A的度数为_______．
10. 若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．
11. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为___________.
12. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是________．
13. 已知在中，AB= AC＝5，BC＝6，则ta值为_____．
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE度数是________°．

15. 如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为__________．

16. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．

17. 古算题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竿，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，没有多没有少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”若设竿长为 x 尺，则可列方程为_____（方程无需化简）.
18. 关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）； （2）．
20. 解方程：
（1）； （2）．
21. 化简并求值：，其中是方程 的一个根．
22. 如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．

23. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆时，栏杆AEF至多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略没有计），其中AB⊥BC， EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）

24. 如图⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC， P是⊙O上一点，
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线(用虚线画出图形印可，没有需要写作法)
(2)图②，简要说明你这样画的理由．

25. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少量的办法增加利润，如果这种商品每件的价每提高1元其量就减少20件．
（1）当售价定为12元时，每天可售出 件；
（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？
（3）当每件售价定为多少元时，每天获得利润？并求出利润．
26. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC,
（1）求证：PA是⊙O 的切线；
（2）若 AB＝4+，BC＝2，求⊙O 的半径．

27. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=，可设BC=x，则AB=3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=，求sin2β的值．

28. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．
（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是 ．
（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．
（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．









2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（A卷）
（满分150 分，考试时间 120分钟）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2. 将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为( )
A. (x+4)2＝7 B. (x+4)2＝25
C. (x+4)2＝﹣9 D. (x+8)2＝7
【正确答案】A

【详解】解：，，，．故选A．
3. 二次函数y=x 2 －2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A. （1，2） B. （1，6） C. （－1，6） D. （－1，2）
【正确答案】A

【详解】试题解析：∵y=x2-2x+3
=x2-2x+1-1+3
=（x-1）2+2，
∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故选A．
4. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则co的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据三角函数的定义即可求得结果.
【详解】.
本题主要考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
5. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【正确答案】D

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP没有垂直直线l两种情况讨论．
【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；

当OP没有垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
6. 如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32º，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）

A. 25º B. 29º C. 30º D. 32°
【正确答案】B

【分析】连接BC，根据AB是半圆O的直径可得∠ACB=90°，进而可求得∠ABC=58°，根据圆内接四边形对角互补可得∠D=122°，因为D是弧AC的中点，可得∠DAC=∠DCA，即可求解．
【详解】连接BC，

∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=32º
∴∠ABC=58°
∵∠D+∠ABC=180°
∴∠D=122°
∵D是弧AC的中点
∴
∴∠DAC=∠DCA=29°
故选：B
本题主要考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键在于求出∠ADC的度数，熟练运用相关的性质定理．
7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
2
3
2
…
在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
A. y1≥y2 B. y1＞y2 C. y1≤y2 D. y1＜y2
【正确答案】D

【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=2，∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴点A（x1，y1）到直线x=2的距离比点B（x2，y2）到直线x=2的距离要大，而抛物线的开口向下，∴y1＜y2．故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
8. 如图1，在 中，，.点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D的路径长为，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】当点D在AB上，则线段BD表示为y=x，线段AD表示为y=AB−x为函数，没有符合图象；
同理当点D在AC上，也为为函数，没有符合图象；
如图，

作OE⊥AB，
∵点O是BC中点，设AB=AC=a，∠BAC=120∘.
∴AO=，BO=，OE=，BE=，
设BD=x，OD=y，AB=AC=a，
∴DE=−x，
在Rt△ODE中，
DE2+OE2=OD2，
∴y2=(−x)2+()2
整理得：y2=x2−x+a2，
当0 由此得出这条线段可能是图1中的OD.
故选C
点睛：本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形列出函数表达式是解决问题的关键.
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若cosA，则锐角A的度数为_______．
【正确答案】45°．

【分析】根据角的三角函数值可得答案．
详解】∵cosA，
∴∠A=45°．
故45°．
本题主要考查了角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．
10. 若关于x一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．
【正确答案】m≤1

【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的没有等式，求出没有等式的解集即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故m≤1．
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．
11. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为___________.
【正确答案】20%

【分析】设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据“2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2”列出方程，解方程即可．
【详解】设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2012年的产量为100（1+x）吨，2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2吨，根据题意，得
100（1+x）2=144，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）．
所以年平均增长率为20%．
故20%．
考查了一元二次方程应用，解题关键得到关系式：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2．
12. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是________．
【正确答案】

【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案．
【详解】将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=2（x-1）2+2，
故y=2（x-1）2+2．
13. 已知在中，AB= AC＝5，BC＝6，则ta的值为_____．
【正确答案】 .

【详解】如图，

等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
过A作AD⊥BC于D，则BD=3，
在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，则AD=4，
故ta==.
故答案为.
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．

【正确答案】105

【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
15. 如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为__________．

【正确答案】

【详解】试题分析：：设AD=x，∵四边形ABEF为正方形，∴AF=AB=EF=1，∴FD=x﹣1，∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，整理得x2﹣x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去），∴AD的长为．

考点：相似多边形性质；矩形的性质；正方形的性质．
16. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．

【正确答案】

【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，然后通过解直角三角形求得线段、的长度，将相关线段的长度代入．
【详解】解：如图，假设线段、交于点，

是的直径，弦，
，
又，
，，
，，


．
故．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
17. 古算题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竿，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，没有多没有少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”若设竿长为 x 尺，则可列方程为_____（方程无需化简）.
【正确答案】（x−2）2＋（x−4）2＝x2

【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，屋门的宽为x−4，高为x−2，对角线长为x，然后根据勾股定理列出方程．
【详解】解：设竿长为x尺，
由题意得：（x−2）2＋（x−4）2＝x2．
故答案为（x−2）2＋（x−4）2＝x2．
本题考查了利用勾股定理解决实际问题，解答本题的关键是根据题意表示出屋门的宽，高．
18. 关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【正确答案】x=-4,x=-1

【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）； （2）．
【正确答案】（1）1；（2）．

【详解】试题分析：（1）直接利用角的三角函数值代入化简求出答案；
（2）直接利用角的三角函数值代入化简求出答案．
试题解析：（1）原式==；
（2）原式=.
20. 解方程：
（1）； （2）．
【正确答案】（1），；（2），．

【详解】试题分析：（1）先把方程变形得到x（x-3）+4（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到（x+2）2=900，然后根据直接开平方法求解．
试题解析：（1）x(x−3)+4(x−3)=0，
(x−3)(x+4)=0，
x−3=0或x+4=0，
所以x1=3，x2=−4；
(2)x2+4x=896，
x2+4x+4=900，
(x+2)2=900，
x+2=±30，
所以x1=28，x2=−32.
21. 化简并求值：，其中是方程 的一个根．
【正确答案】，2．

【详解】试题分析：求出m2+m=1，算乘法，再合并同类项，代入求出即可．
试题解析：∵是方程的一个根，
∴，
∴．
22. 如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后，剩下的部分做成一个容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．

【正确答案】矩形铁皮的面积是117平方米.

【详解】试题分析：设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x﹣4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x﹣4）米，底面宽为（x﹣4﹣4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．
试题解析：设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x﹣4）米，由题意，得
（x﹣4）（x﹣8）×2=90，
解得：x1=13，x2=﹣12（舍去），
所以矩形铁皮的宽为：13﹣4=9米，
矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．
答：矩形铁皮的面积是117平方米．
考点：一元二次方程的应用．
23. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆时，栏杆AEF至多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略没有计），其中AB⊥BC， EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）

【正确答案】适合该地下车库的车辆限高标志牌为2.1米

【详解】试题分析：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H，则∠AHE=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
试题解析：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．
∵EF∥BC，
∴∠GEF=∠BGE=90°
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=53°．
∴∠EAH=37°．
在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，
∴sin∠EAH="sin" 37°
∴
∴EH=1.2×0.6=0.72．
∵AB⊥BC，
∴四边形ABGH为矩形．
∵GH=AB=1.2，
∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9．
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．

考点：解直角三角形的应用．
24. 如图⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC， P是⊙O上一点，
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线(用虚线画出图形印可，没有需要写作法)
(2)图②，简要说明你这样画的理由．

【正确答案】（1）画图见解析；（2）理由见解析.

【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可；
（2）利用圆周角定理得出，再利用AB=AC，得出，进而得出答案．
【详解】（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；

如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．

（2）∵AD是直径，
∴，
又∵AB=AC，
∴，
∴，
所以PD平分∠BPC．
此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键．
25. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少量的办法增加利润，如果这种商品每件的价每提高1元其量就减少20件．
（1）当售价定为12元时，每天可售出 件；
（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？
（3）当每件售价定为多少元时，每天获得利润？并求出利润．
【正确答案】(1) 160；(2) 当每件售价定为14元时，每天获得利润为720元．

【详解】试题分析：（1）由原来的销量﹣减少的销量就可以得出现在的销量而得出结论；（2）由利润=每件利润×数量建立方程求出其解即可；（3）设每天获得的利润为W元，由利润=每件利润×数量建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）由题意，得
200﹣20×（12﹣10）=160．
（2）设每件售价定为x元，由题意，得
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=640，
解得x1=16，x2=12．
答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元；
（3）设售价为x元，每天的利润为W元，由题意，得
W=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
W=﹣20x2+560x﹣3200，
W=﹣20（x﹣14）2+720．
∵a=﹣20＜0，
∴x=14时，W=720．
答：当每件售价定为14元时，每天获得利润为720元．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
26. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC,
（1）求证：PA是⊙O 的切线；
（2）若 AB＝4+，BC＝2，求⊙O 的半径．

【正确答案】(1)详见解析；（2）⊙O的半径为．

【详解】试题分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，于是得到BE=BC=，CE=3，根据勾股定理得到AC= =5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到结论．
试题解析：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，
∴BE=BC=，CE=3，
∵AB=4+，
∴AE=AB﹣BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC==5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA=，
∴⊙O的半径为．

考点：切线的判定．
27. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=，可设BC=x，则AB=3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=，求sin2β的值．

【正确答案】（1）sin2α=；（2）sin2β=sin∠MON=．

【详解】试题分析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD，在Rt△COD中，根据sin2α=，计算即可．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．首先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，可得MQ==4k，由•MN•MQ=•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=，计算即可．
试题解析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=，可设BC=x，则AB=3x．

∴AC== =2x，
∵•AC•BC=•AB•CD，
∴CD= x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α==．
（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ=，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，
∴MQ==4k，
∵，
∴3k•4k=5k•MR
∴MR=，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=．
考点：圆的综合题．
28. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．
（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是 ．
（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．
（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．

【正确答案】（1）M（1，4）；（2）点P的坐标为：（1，）或（1，）；（3）E的运动的路径长为：．

【详解】试题分析：（1）将解析式配成顶点式即可．（2）当点E与O重合时，设PN=m，过点C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．（3）找到左右两个极端位置即可．P在M点时，E在右边最运处，这个时候求出EN为对称轴右边的路径长度；E点在左侧时，设EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y关于x的二次函数，配方求出值，再加上右边路径长度即为总路径长度．
试题解析：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）；
（2）当点E与O重合时，EN=1，设PN=m，
过点C作CF⊥MN，垂足为F，如图1，

∵∠EPC=90°，
∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，
∴∠CPF=∠PEN，
∴△ENP∽△PFC
∴，即：，
解得：m=
∴点P的坐标为：（1，）或（1，）
（3）①当点P与M重合时，如图2，

由△ENM∽△MFC可知，，
∴EN=4，
即当点P从M运动到F时，点E运动的路径长EN为4；
②当点P从F运动到N时，点E从点N向左运动到某最远点后，回到点N结束．如图3，

设EN=y，PN=x，
由△ENP∽△PFC可知，，即：，
∴y=，
当x=时，y有值，为；
∴E的运动的路径长为：．
考点：二次函数综合题．






























2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）

A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等的实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
6. 估计的值在（　　）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（　　）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）

A. B. C. D. 3
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）

A. 2 B. C. D.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2的结果等于_____．
14. =_____．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.

17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．

18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．

三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得　 　；
（Ⅱ）解没有等式②，得　 　；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原没有等式组的解集为　 　．
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
21. 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．

甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

（1）如图1，当点D线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．















2022-2023学年四川省凉山州市九年级上册数学期末专项提升模拟（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1. 计算(-3)×(-5)的结果是（ ）
A. 15 B. -15 C. 8 D. -8
【正确答案】A

【详解】解：
故选A
2. 如图，圆心角∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）

A. 120° B. 60° C. 30° D. 20°
【正确答案】C

详解】试题解析：

故选C．
点睛：本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3. 随着我国经济发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】选项A没有是轴对称图形，是对称图形；
选项B是轴对称图形，没有是对称图形；
选项C轴对称图形，也是对称图形；
选项D没有是轴对称图形，是对称图形．
故答案选C．
4. 岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A. 44×105 B. 0.44×105 C. 4.4×106 D. 4.4×105
【正确答案】C

【详解】试题分析：科学记数法是把一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤a﹤10，n表示整数，为整数
位数减1，此题a为4.4，即4.4×106．
选C
考点：科学记数法
点评：此题考查用科学记数法表示一个数的方法，要求学生掌握科学记数法的表示方法．
5. 一元二次方程2x2+3x +5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数
B. 有两个相等的实数
C. 没有实数根
D. 无法判断
【正确答案】C

【详解】试题分析：一元二次方程根的判别式所以方程没有实数根．故选C．
考点：一元二次方程根的判别式．
6. 估计的值在（　　）
A. 2到3之间 B. 3到4之间
C. 2到3之间或﹣3到﹣2之间 D. 3到4之间或﹣4到﹣3之间
【正确答案】B

【详解】试题解析：

故选B．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题解析：原式=
=．
故选A．
考点：分式的运算.
8. 某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（　　）
A. 30% B. 25% C. 20% D. 15%
【正确答案】B

【详解】试题解析：设平均每月增长的百分率是x，
依题意得：

或x=﹣2.25（负值舍去）．
即平均每月增长的百分率是25%．
故选B．
9. 用长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】D

【分析】首先根据正六边形的特点可把正六边形分成6个全等的等边三角形，再根据题意算出一个等边三角形的面积，进而可算出正六边形面积．
【详解】由题意得：AB＝48÷6＝8m，
过O作OC⊥AB，
∵AB＝BO＝AO＝8m，
∴CO＝＝4m，
∴正六边形面积为：4×8××6＝96m2，
故选D．
本题考查了正多边形和圆，关键是掌握正六边形可分成6个全等的等边三角形是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）

A. B. C. D. 3
【正确答案】B

【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；由勾股定理可以求得答案．
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B．
此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理．解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程．
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）

A. 2 B. C. D.
【正确答案】D

【分析】先根据菱形的性质得到BO=3，AO=4，AO⊥BO，并用勾股定理求出AB，再利用面积法计算OH即可．.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，
∴AB=．
∵OH⊥AB，
∴AO•BO=AB•OH，
∴OH=.
故选D．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握利用菱形的性质计算线段的长度是解题关键．
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：，图象和轴有两个没有同的交点，
∴，
∴，.
由图可知，当时，，
∴，即.
∴上述结论中正确的是②③④，共3个.
故选C.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
13. 计算x8÷x2的结果等于_____．
【正确答案】x6

【分析】根据同底数幂相除，底数没有变,指数相减的运算律求解．
【详解】原式
故答案为
错因分析 容易题.失分的原因是没有理解同底数幂的除法法则.
14. =_____．
【正确答案】1

【详解】试题解析：原式
故1．
15. ）在一个没有透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色没有同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
【正确答案】

【详解】试题解析：从中随机摸出一个球，摸到白球的概率
故
16. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.

【正确答案】2

【详解】试题解析：连接OC，
由题意，得



故答案为:

17. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．

【正确答案】

【详解】试题解析：延长CA至点D，使
∵四边形ABEF是正方形，




在与中，

∴≌,


是等腰直角三角形．


故答案为

18. 如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是____；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（至多两条），并简述拼接方法____________________．

【正确答案】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3

【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：底×高计算即可；（2）根据剪拼前后的图形的面积相等进行剪拼即可．
试题解析：（1）平行四边形ABCD的面积是：4×6=24；
（2）如图①→1，②→2，③→3，
则矩形EFGC即为所求．
【详解】（1）24
（2）图见详解；①→1，②→2，③→3


本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
三、解 答 题：本大题共7小题，共66分.
19. 解没有等式组请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解没有等式①，得　 　；
（Ⅱ）解没有等式②，得　 　；
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原没有等式组的解集为　 　．
【正确答案】（Ⅰ） x＞2；（Ⅱ） x＞3；（Ⅲ）见解析; （Ⅳ）x＞3．

【详解】试题分析：分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
试题解析：
（Ⅰ）没有等式①，得
（Ⅱ）没有等式②，得
（Ⅲ）把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来

（Ⅳ）原没有等式组的解集为
20. 州为了解我州八年级学生参加社会实践情况，随机抽查了某县部分八年级学生学期参加社会实践的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅没有完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有多少人？
【正确答案】（1）10，36°．补全条形图见解析；（2）5天，6天；（3）800．

【分析】（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，求出8天的人数，补全条形统计图即可．
（2）众数是在一组数据中，出现次数至多的数据．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
（3）用总人数乘以“时间没有少于7天”的百分比，计算即可得解．
【详解】（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%．
用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：360°×10%=36°．
240÷40=600，
8天的人数，600×10%=60，
故答案为10，36°．
补全条形图如下：

（2）∵参加社会实践5天的至多，∴众数是5天．
∵600人中，按照参加社会实践的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，
∴中位数是6天．
（3）∵2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800．
∴估计“时间没有少于7天”的学生人数大约有800人．
21. 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
【正确答案】（1）；（2）证明见试题解析．

【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理求得∠ADB的度数，然后解直角三角形即可求得BD，BC；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=；
（2）连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切线．

考点：1．切线的判定；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．

22. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
（2）当x取何值时，函数值？
（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．
【正确答案】(1)、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2)、x=1；(3)、﹣1＜x＜3．

【详解】试题分析：(1)、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)、(3)、利用二次函数图象性质作答．
试题解析：(1)、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4），
当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
(2)、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值；(3)、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3．
考点：(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数的最值．
23. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．

甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
280
200
（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，至多可结余多少元？
【正确答案】（1） y＝80x＋1200（0≤x≤6并且x为正整数）；（2） 至多可结余130元．

【分析】（1）根据题意可列出y与x的等式关系．
（2）由题意可列出一元没有等式方程组．由此推出y随x的增大而增大．
【详解】（1）（并且x为正整数）．
（2）可以有结余，由题意知
解没有等式组得
∴预支的租车费用可以有结余，
∵x取整数，
∴x取4或5，

∴y随x的增大而增大
∴当时，的值最小．
其最小值元，
∴至多可结余1650﹣1520＝130元．
答：至多可结余130元．
24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D没有与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②.
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件没有变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件没有变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，
②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.

【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析（3）①见解析；②见解析.

【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD-BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=DF，
∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+cA，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的值；
（3）试探究当ME取值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，试说明理由．

【正确答案】（1），B(3, 0)；（2）；（3）没有存在，理由见解析

【详解】.解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1, 0)
当x＝0时， ∴ C(0,－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3, 0)
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的值＝
（3）答：没有存在.
由（2）知 ME 取值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=.
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1没有在抛物线上.
当P2时，由（1）知
∴P2没有在抛物线上.
综上所述：抛物线x轴下方没有存在点P，使以P、M、F、B为顶点四边形是平行四边形.