2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分。请将每道题的正确答案填在后面的括号内）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. =0 D.
2. 根据下面表格中对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
A. 3.22＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）

A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC
4. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　)

A. B. C. D.
5. 一元二次方程配方后可变形（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）

A. 8 B. 4 C. 8 D. 6
7. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°
8. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)

A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0
C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0
9. 如图，将边长正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A. B. C. D.
10. 已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为　(　　)
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1
二、填 空 题(每空3分，共30分)
11. 将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．
12. 关于x的方程x2＋mx－6＝0有一根为2，则另一根是___，m＝____．
13. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_________．
14. 假期，小丽家和小芳家都计划到九龙山、关山牧场、法门寺、汤峪温泉四个地方游玩，她们俩家刚好都到关山牧场去的概率为________.
15. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是_________________
16. 要组织排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______．
17. 如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号)

18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=__．

19. 如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2016C2017B的面积为__________．

三、解 答 题:（共6题， 共60分）
20. 选择适当方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4) －x2－3x＋6＝0；
21. 如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．
求证：四边形DBEF矩形．

22. 四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上．

(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;
(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．
23. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元，一个月能售出500千克；单价每涨价1元，月量就减少10千克．针对这种水产品的情况，请解答以下问题．
（1）当单价定为每千克55元，计算月量和月利润；
（2）商场计划在月成本没有超过10000元情况下，使得月利润达到8000元，单价应定为多少？
24. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．已知∠ACB=30°，AB=1，

（1）求证：△A1AD1≌△CC1B；
（2）当CC1=1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．
25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若没有存在，请说明理由．




2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分。请将每道题的正确答案填在后面的括号内）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. =0 D.
【正确答案】A

【分析】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，
B、分母中有未知数，没有是整式方程，B没有满足条件，没有选B
C、判断二次项系数为a是否为0即可，没有选C
D、看二次项系数是0，没有是一元二次方程，没有选D
【详解】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确，
B、分母中有未知数，没有是整式方程，没有选B，
C、二次项系数为a是否为0，没有确定，没有选C，
D、没有二次项，没有是一元二次方程，没有选D．
故选择：A．
本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
2. 根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（　　）
A. 3.22＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
【正确答案】C

【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）

A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC
【正确答案】B

【详解】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
故选B．
点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
4. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：画树状图得：

所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．
故选：C．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】先移项，再方程两边同加上16，即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
故选C．
本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）

A. 8 B. 4 C. 8 D. 6
【正确答案】C

【分析】首先由正方形ABCD的对角线长为2 ，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD的对角线长为2，

即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2× =2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为：
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′
=AM+BM+BC+CN+DN+AD
=AB+BC+CD+AD
=2+2+2+2
=8．
故选C．
此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形思想与整体思想的应用．
7. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°
【正确答案】C

【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵ ，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
8. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)

A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0
C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0
【正确答案】C

【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
9. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据平移的性质，阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设AC交A′B′于H，

∵AC是正方形的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x•(2-x)=1，即，
解得：，
即AA′=1cm．
故选：B．
本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
10. 已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则常数k的值为　(　　)
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1
【正确答案】C

【详解】解：当k=1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元方程，解为x=1；
k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元二次方程，把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1（舍去）；
故选C．
点睛：该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．
二、填 空 题(每空3分，共30分)
11. 将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．
【正确答案】

【详解】解：首先把上面的四个式子化成最简二次根式分别是，，，，随机抽取其中一个根式，则每个根式被抽到的机会相等，共有4种结果，而抽到能与的被开方数相同的结果有3个，则P（抽到能与的被开方数相同）=．
点睛：正确对根式进行化简，以及正确理解列举法求概率的条件是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 关于x的方程x2＋mx－6＝0有一根为2，则另一根是___，m＝____．
【正确答案】 ①. -3 ②. 1

【详解】把x=2代入方程x2＋mx－6＝0得，4+2m-6=0，解得m=1，
∴原方程为：x2+x-6=0，解得：x1=2，x2=-3.
∴原方程的另一根为：x=-3，m=1.

13. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是_________．
【正确答案】且

【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴ 且 ，
即且 ，
∴且．
故且
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个没有相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．
14. 假期，小丽家和小芳家都计划到九龙山、关山牧场、法门寺、汤峪温泉四个地方游玩，她们俩家刚好都到关山牧场去的概率为________.
【正确答案】

【详解】解：画树状图为：

故P（小丽家和小芳家都到关山牧场）=．故答案为．
15. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是_________________
【正确答案】289（1-x）2=256

【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：　289（1﹣x）2=256．故答案为289（1﹣x）2=256．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
16. 要组织排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______．
【正确答案】x（x﹣1）=4×7

【详解】每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x(x−1)=4×7.故答案为x(x−1)=4×7.
17. 如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm，当锐角∠CAD＝60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE之间的距离是_______cm.(结果保留根号)

【正确答案】

【详解】如图，连接CD、EF分别交AB于点M、N，
∵四边形ACOD是菱形，∠CAD=60°，
∴∠AMC=90°，∠CAM=30°，
∴CM=AC=8，
∴AM=，
∴AO=16，AB=48，
同理可得：BN=，
∴CE=MN=.

18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=__．

【正确答案】或2.4

【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠DCF，又∵AE=BF，∴BE=CF=4﹣1=3，DF===5，则在直角△BEC和直角△CFD中，∵BE=CF，∠B=∠DCF，BC=CD，∴△BEC≌△CFD，∴∠BEC=∠CFD，又∵直角△BCE中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠CFD+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，即OC⊥DF，∴S△CDF=CD•CF=OC•DF，∴OC===．故答案为．

点睛：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△CFD是解题的关键．
19. 如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2016C2017B的面积为__________．

【正确答案】

【详解】解：根据题意得：平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=，平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=，…，平行四边形AOn﹣1C的面积=，∴平行四边形AO2016C2017B的面积为 ；故答案为．
点睛：本题考查了矩形的性质、平行四边形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，根据题意得出规律是解决问题的关键．
三、解 答 题:（共6题， 共60分）
20. 选择适当方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4) －x2－3x＋6＝0；
【正确答案】（1）x1=5，x2=1（2）（3）x1=-3，x2=-1（4）

【详解】试题分析：（1）先分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可．
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
（3）整理后分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可．．
（4）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
试题解析：解：(1)x2﹣6x+5=0
∴（x﹣5）（x﹣1）=0
∴x﹣5=0或x﹣1=0
∴x1=5，x2=1．
或x2﹣6x=-5
x2﹣6x+9=-5+9
（x-3）2=4
x-3=2或x-3=-2
即x1=5，x2=1．
（或其他解法均可）
（2）∵



（3）（x+3）2-2（x+3）=0
（x+3）（x+3-2）=0
x+3=0或 x+3-2=0
x1=-3，x2=-1．
（4）



21. 如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．
求证：四边形DBEF矩形．

【正确答案】证明见解析

【详解】试题分析：根据菱形的性质得出CE=CD，CF=CB，再根据矩形的判定证明即可．
试题解析：（1）证明：∵CE=CD，CF=CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB．
∴CE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形DBEF是矩形．
考点：菱形的性质，矩形的判定
22. 四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上．

(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;
(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．
【正确答案】（1）P（抽到数字2）=;（2）游戏没有公平,图表见解析．

【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可求解;
（2）利用列表法,求得小贝胜与小晶胜的概率,比较即可游戏是否公平．
试题解析：（1）P（抽到数字2）=;
（2）公平．
列表：


2

2

3

6

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

3

（3,2）

（3,2）

（3,3）

（3,6）

6

（6,2）

（6,2）

（63）

（6,6）


由上表可以看出,可能出现的结果共有16种,它们出现的可能性相同,所有的结果中,满足两位数没有超过32的结果有10种．
所以P（小贝胜）=,P（小晶胜）=．所以游戏没有公平．
考点：游戏公平性．
23. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元，一个月能售出500千克；单价每涨价1元，月量就减少10千克．针对这种水产品的情况，请解答以下问题．
（1）当单价定为每千克55元，计算月量和月利润；
（2）商场计划在月成本没有超过10000元的情况下，使得月利润达到8000元，单价应定为多少？
【正确答案】（1）月量450千克，月利润6750元；（2）单价应定为80元/千克

【分析】（1）单价每涨价1元，月量就减少10千克．那么涨价5元，月量就减少50千克．根据月利润＝每件利润×数量，即可求解；
（2）等量关系为：利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．
【详解】（1）月量为：500﹣5×10＝450（千克），
月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．
（2）设单价应定为x元，
得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
当x＝60时，月成本为16000元，没有合题意舍去．
∴x＝80．
答：单价应定为80元/千克．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
24. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．已知∠ACB=30°，AB=1，

（1）求证：△A1AD1≌△CC1B；
（2）当CC1=1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．
【正确答案】证明见解析

【详解】试题分析：（1）由矩形的性质及平移的性质易得∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，即可得到结论；
（2）由所给条件可证明△AC1B是等边三角形，即可得到ABC1D1是菱形．
试题解析：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠AA1 D1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，
∴∠AA1 D1=∠ACB， BC= A1D1
在△A1AD1与△CC1B中，
，
∴△A1AD1≌△CC1B；

（2）证明∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°．
∵AB=1，∴AC=2．
∵CC1=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等边三角形，．
∵AB=CD，CD=C1D1，∴AB= C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形．
又AB=BC1，∴四边形ABC1D1是菱形．
点睛：本题考查了矩形的性质、平移变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度中等．清楚矩形、菱形等基本几何图形的性质以及平移变换的特征是解决本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若没有存在，请说明理由．


【正确答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）见解析；（3）存在，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．

【分析】（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
（2）连接AC，如图：


∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵B（-3，0），
∴C（3，0），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠，
∴射线AO是∠BAC的平分线；
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线交直线AB于点F，


设直线AB的解析式为y=kx+4，把B（-3，0）代入得：
0=-3k+4，解得：k=，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
设点F的坐标为（x，x+4），
依题意有：FA=FC，即FA2=FC2，
∴，
解得：x=-，-，
∴F（-，-）；
④AF是对角线时，过C作AB垂线，垂足为N，


∵A（0，4），B（-3，0），C（3，0），
∴OA=4，OB=3，OC=3，
∴AB=AC=，
三角形ABC的面积=B=ABCN，
∴CN=，
由勾股定理得，AN=，
作A关于N的对称点即为F，AF=，
过F作y轴垂线，垂足为G，
∵FG∥BO，
∴，
∴FG=，AG=，则OG==，
∴F（-，）；
综上所述，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．


2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. (0，－1) B. (0，1) C. (－1，0) D. (1，0)
2. 如果是方程的解，那么常数k的值为　　
A. 2 B. 1 C. D.
3. 已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，﹣4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
4. 小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（ ）
A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形是　　
A B. C. D.
6. 若抛物线y＝﹣2x2+2x两点A（﹣1，y1）和B（3，y2），则下列关系式正确的是（　　）
A. 0＜y2＜y1 B. y1＜y2＜0 C. y2＜0＜y1 D. y2＜y1＜0
7. 如图，AB是的直径，点C，D在上，若，则的度数为　　

A. B. C. D.
8. 若关于x的方程4kx2﹣12x﹣9=0有实数根，则实数k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A. B. C. D.
10. 如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，，则PQ的长为（　　）

A. 2cm B. cm C. 3cm D. cm
二、填 空 题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点A（0,1）关于原点对称点的坐标是_______.
12. 方程的解______.
13. 如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠A=67.5°，弦AB=4cm，则CD=_____cm．

14. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
y
6
3
2
3
则当x=﹣2时，y的值为_____．
15. 如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x2（x＞0）上，则点A的坐标是_____．

三、解 答 题（本大题共8个小题，共75分）
16. 1）解方程：x（x+5）=5x+25
（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣x2+（k+1）x﹣k上，求此抛物线对称轴．
17. 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．

18. 如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．
（1）请你写出旋转的坐标是　 　．
（2）以（1）中的旋转为，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．

19. 已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个没有相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．
（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．
20. 我市某童装专卖店在中发现，一款童装每件进价为40元，若价为60元，每天可售出20件，为迎接“”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大量，经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：
①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？
②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？
③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．
（1）求证：OD为△ABC的中位线；
（2）若AC＝6cm，求点O到DE的距离．

22. 综合与探究
问题情境：
(1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
合作探究：
(2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件没有变，那么(1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若没有成立，请说明理由．
(3）如图3，若将图1中△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么(1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若没有成立，请说明理由．

23. 综合与实践：
如图，二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．
（1）求证：AO2=BO•CO；
（2）若点N在线段BC上运动（没有与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，求当△AMN的面积取得值时，直线AN的表达式．
（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．






















2022-2023学年陕西省宝鸡市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. (0，－1) B. (0，1) C. (－1，0) D. (1，0)
【正确答案】A

【分析】根据二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为：（0，）；
故选：A．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质，正确求出顶点坐标是解题的关键．
2. 如果是方程解，那么常数k的值为　　
A. 2 B. 1 C. D.
【正确答案】D

【详解】解：把代入方程得

解得∶
故选D．
本题考查了一元二次方程的解，一元方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元方程．
3. 已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，﹣4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
【正确答案】B

【分析】先由勾股定理求出OP，再跟r进行比较从而得出答案．
【详解】由勾股定理得
即点P到圆心的距离等于半径,
点P在上，
故选B．
本题考查了点与圆的位置关系，熟记若dr，则点在圆外．
4. 小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（ ）
A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
【正确答案】B

【分析】根据配方法解方程的步骤即可得.
【详解】先把常数项移到等号的右边，方程的左右两边都加上项系数一半的平方，左边即可变成完全平方，右边是常数项，再开方，这种解方程的方法称为配方法.
故选B.
本题考查一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键.
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
6. 若抛物线y＝﹣2x2+2x两点A（﹣1，y1）和B（3，y2），则下列关系式正确的是（　　）
A. 0＜y2＜y1 B. y1＜y2＜0 C. y2＜0＜y1 D. y2＜y1＜0
【正确答案】D

【分析】分别求出y1、y2的值即可判断．
【详解】x＝﹣1时，y1＝﹣2﹣2＝﹣4，
x＝3时，y2＝﹣18+6＝﹣12，
∴y2＜y1＜0，
故选D．
考查的是二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. 如图，AB是的直径，点C，D在上，若，则的度数为　　

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：连接AC，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴
∴
故选B．
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
8. 若关于x的方程4kx2﹣12x﹣9=0有实数根，则实数k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题解析：当k=0时，方程为解得，有实数根；
当k≠0时， 解得
∴实数k的取值范围为
在数轴上可表示为：

故选A．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的图象可知，，再根据对称轴的位置即可判断a和b的大小，从而得出答案．
【详解】解：由函数图象已知，，
，
，
，
，
故选：．
本题考查的知识点是二次函数的图象，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
10. 如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，，则PQ的长为（　　）

A. 2cm B. cm C. 3cm D. cm
【正确答案】A

【详解】试题解析：∵绕点B顺时针旋转60°得
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴≌
∴
∴是等边三角形，
∴
故选A．
二、填 空 题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点A（0,1）关于原点对称的点的坐标是_______.
【正确答案】(0,-1)

【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.
【详解】∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
∴点A关于原点对称的点的坐标是(0,-1)
故填：(0,-1).
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
12. 方程的解______.
【正确答案】,

【详解】依题意得：x=0或x﹣1=0，∴x=0或x=1．故答案是x=0或x=1．
13. 如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠A=67.5°，弦AB=4cm，则CD=_____cm．

【正确答案】4

【详解】试题解析：连接OA，如图，

∵

∵
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴

故答案为:.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
14. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
y
6
3
2
3
则当x=﹣2时，y值为_____．
【正确答案】11

【详解】试题解析：由表可知，该抛物线的顶点坐标为
设函数解析式为
将代入得，
解得
所以，抛物线解析式为
当时，
故答案为11．
15. 如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x2（x＞0）上，则点A的坐标是_____．

【正确答案】（3，）

【分析】设AE＝t，利用含30度的直角三角形三边的关系别说出OE得到A（t，t），再利用旋转的性质得到B（﹣t， t），接着利用关于y轴对称点的坐标特征得到D（t， t），然后把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，解方程求出t即可得到点A的坐标．
【详解】设AE＝t，
在Rt△AOE中，∵∠AOE＝30°，
∴OE＝AE＝t，
∴A（t，t），
∵△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，
∴BC＝AE＝t，OC＝OE＝t，
∴B（﹣t， t），
∵△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合
∴D（t， t），
把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴点A的坐标为（3，）．
故答案是：（3，）．
考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了旋转的性质和对称的性质．
三、解 答 题（本大题共8个小题，共75分）
16. 1）解方程：x（x+5）=5x+25
（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣x2+（k+1）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．
【正确答案】（1）x=﹣5或x=5；（2）3．

【详解】试题分析：用因式分解法解方程即可.
把点代入抛物线，求得的值，根据对称轴公式可直接求得对称轴方程.
试题解析：（1）
∴
∴
则或
解得：或
（2）将点代入抛物线，得：
解得：
∴抛物线解析式为
则抛物线的对称轴为
17. 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．

【正确答案】y=﹣x2．

【详解】试题分析：由函数图象可设该抛物线的解析式是 再图象，只需把代入求出的值即可．
试题解析：设抛物线解析式为
把点代入解析式得：
解得：
∴抛物线的解析式为
18. 如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．
（1）请你写出旋转的坐标是　 　．
（2）以（1）中的旋转为，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．

【正确答案】(1) （0，0）；(2)见解析.

【详解】试题分析：（1）由图形可知，对应点的连线的垂直平分线过点O，根据旋转变换的性质，点即为旋转.
（2）利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；
试题解析：（1）旋转的坐标是
故答案为:
（2）如图，和即为所求.

19. 已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个没有相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．
（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．
【正确答案】(1) （1，0），（﹣2，0）；(2)a=-

【详解】试题分析：一元二次方程两个实数根就是函数与轴交点的横坐标.
二次函数与轴有一个交点，则即可求得的值.
试题解析：（1）∵一元二次方程有两个没有相等的实数根，即
∴二次函数与轴的交点坐标为
（2）∵二次函数与轴有一个交点，
令， 有两个相等的实数根，


20. 我市某童装专卖店在中发现，一款童装每件进价为40元，若价为60元，每天可售出20件，为迎接“”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大量，经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：
①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？
②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？
③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．
【正确答案】（1）y=﹣2x2+20x+400；
（2）①450元；②降价10元时；③见解析．

【分析】（1）根据：量=原量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，总利润=每件利润×数量，列函数关系式即可；
（2）①把代入中的函数关系式即可求出平均每天的盈利.
②令，解方程即可.
③令，判断方程有无实数根即可得．
【小问1详解】
（1）根据题意得，
与的函数关系式为
【小问2详解】
①当时，
故平均每天盈利450元；
②当时，
解得:（没有合题意舍去）．
故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；
③该专卖店没有可能平均每天盈利600元．
当时，
整理得
∵
∴方程没有实数根，即该专卖店没有可能平均每天盈利600元．
21. 如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．
（1）求证：OD为△ABC的中位线；
（2）若AC＝6cm，求点O到DE的距离．

【正确答案】(1)详见解析;(2) 点O到直线DE的距离为3 cm.

【详解】试题分析：（1）连接CD，由BC是圆的直径，可知又因为由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则为的中位线．DO∥AC，已知可证即可知的长即为点到直线的距离．
试题解析：（1）连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴为的中位线．
（2）连接OD，
∵
∴为的中位线．
∴DO∥AC，
又∵
∴
∴点O到直线的距离为3．

22. 综合与探究
问题情境：
(1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
合作探究：
(2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件没有变，那么(1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若没有成立，请说明理由．
(3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么(1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若没有成立，请说明理由．

【正确答案】(1）FG=FH，FG⊥FH；(2）(1）中结论成立，证明见解析；
(3）(1）中的结论成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．理由见解析．

【详解】试题分析：(1）证BE=AD，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， 即可推出答案；
(2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
(3）连接AD，BE，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．
试题解析：(1)∵CE=CD，AC=BC，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故FG=FH，FG⊥FH；．
(2)答：成立，
证明：∵CE=CD， AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
由(1)知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，FH⊥FG，
∴(1)中的猜想还成立．

(3)答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同(1)可证
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，
∴∠ACD=∠BCE，
△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵ ∠CXA=∠DXB，
∴
∴ 即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
23. 综合与实践：
如图，二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．
（1）求证：AO2=BO•CO；
（2）若点N在线段BC上运动（没有与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，求当△AMN的面积取得值时，直线AN的表达式．
（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．

【正确答案】（1）证明见解析； （2）y=﹣x+4；（3）OM2=AN．

【详解】试题分析：（1）由分别令求得坐标，即可证明.
（2）设点则由NM∥AC，可求得 可用表示出的面积，则可用表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积时的值，即可求得N点的坐标；进而用待定系数法求得直线AN的表达式.
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得
在和中，可分别求得AB和的长，可求得的长度，从而可得到OM和的数量关系．
试题解析：（1）当时，整理得： 解得：
∴
令得：
∴
∴
∴
（2）设点 则
∵MN∥AC，

∵



∴当时，即的面积．
设直线AN的表达式为
将点A和N的坐标代入得： 解得．
∴直线AN的表达式为
（3）



∴N为线段的中点．
∵MN∥AC，
∴M为AB的中点，
∴
∵
∴
∵
即OM与AN的数量关系是