2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共43页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）　
（ 满分：120分）
一、选一选（本题12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、没有选、选错均记0分．）
1. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O 外 D. 无法确定
2. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16
3. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　)

A. msin35° B. mcos35° C. D.
4. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都没有对
5. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径OC⊥AB交外圆于点C，测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（　　）

A. 10cm B. 30cm C. 60cm D. 50cm
6. 下列四个命题中，是真命题是
①度数相等的弧所对的圆周角相等；②长度相等的弧的度数都相等；③弦的垂直平分线圆心；④相等的圆心角所对的两条弦相等．
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①③④
7. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（　　）
A. 90° B. 60° C. 75° D. 105°
8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（　　）

A. B. C. D.
9. 如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（　　）

A. B. C. 2 D.
10. 如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是(　　)
 
A. 24 m B. 25 m C. 28 m D. 30 m
11. 如图，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似，相似比为2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　 ）

A. （2，-1）或（-2，1） B. （8，-4）或（-8，-4） C. （2．-1） D. （8，-4）
12. 如图，AB是半圆半径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连接CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE·AB．其中正确结论的序号是（　　）

A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③
二、填 空 题（本题共6小题，共18分，只要求填写结果，每小题填对得3分．）
13. 在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=3：4，△ABC的面积等于48，则△ADE的面积等于___________．

14. 计算=_____________．
15. 如图AB是⊙O直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．

16. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，求的值．

17. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为_____．
18. 如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD,一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的点P.如果MC=n,∠CMN=α,那么点P与点B的距离为_____. 

三、解 答 题（本题共6小题，共66分．）
19. 用适当的方法解方程
（1）（3x-1）2=4（2x-3）2；
（2）x2-3x-10=0；
（3）．
20. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长宽的比为3：1，在温室内，沿前后两侧的内墙各留2.5m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽的通道．中间区域再留1m宽的通道，通道与前后墙平行，剩余空地（阴影部分）为种植区，当种植区面积是300m2，求矩形温室的长与宽是多少？

21. 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长．

22. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．
（1）求证：△ABC∽△EAB．
（2）AC与BE交于点H，求HC的长．

23. 如图，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍船只停在C处海域，AB=60（+3）海里，在B处测得C在北偏东45°方向上，A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一等他D，测得AD=100海里．
（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘看，图中有无触礁的危险？请说明理由．

24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE长．

2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）　
（ 满分：120分）
一、选一选（本题12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、没有选、选错均记0分．）
1. 已知⊙O半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O 外 D. 无法确定
【正确答案】C

【详解】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：∵点P到圆心的距离为8cm，大于⊙O的半径5cm，
∴点P在⊙O外．故选C．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2. 用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A. （x﹣1）2=4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2=16 D. （x+1）2=16
【正确答案】A

【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
3. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　)

A. msin35° B. mcos35° C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A.
考点：锐角三角函数定义.
4. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都没有对
【正确答案】B

【详解】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=12．
考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系
5. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径OC⊥AB交外圆于点C，测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（　　）

A. 10cm B. 30cm C. 60cm D. 50cm
【正确答案】D

【详解】试题分析：连接OB，根据垂径定理可得：BD=30cm，△BOD为直角三角形，设OB=rcm，则OD=(r-10)cm，根据Rt△BOD的勾股定理可得：，解得：r=50cm，故选D．
6. 下列四个命题中，是真命题的是
①度数相等的弧所对的圆周角相等；②长度相等的弧的度数都相等；③弦的垂直平分线圆心；④相等的圆心角所对的两条弦相等．
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①③④
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据弧、弦、圆心角之间的关系可知：在同圆或等圆中，长度相等的弧的度数相等，故②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故④错误；则正确的是①和③，故选C．
7. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（　　）
A. 90° B. 60° C. 75° D. 105°
【正确答案】C

【详解】解：如图所示，

∵ED：AE＝1：，
∴∠A＝30°．
∵CF：BF＝1：1，
∴∠B＝45°．
∴∠A＋∠B＝30°＋45°＝75°．
故选C．
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是这一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边没有成比例，故两三角形没有相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似.
9. 如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（　　）

A. B. C. 2 D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵A为劣弧BC的中点，∴AB=AC，又∵∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=30°，根据同弧所对的圆心角相等可得：∠D=∠C=30°，根据直径所对的圆周角为90°可得：∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=AD=2，则AC=AB=2，故选A．
10. 如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是(　　)
 
A. 24 m B. 25 m C. 28 m D. 30 m
【正确答案】D

【详解】由题意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB,所以,因为EP=1.5,BD=9,所以,解得:AP=5,因为AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故选D.
点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些没有易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.

11. 如图，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似，相似比为2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　 ）

A. （2，-1）或（-2，1） B. （8，-4）或（-8，-4） C. （2．-1） D. （8，-4）
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据位似图形的性质可得：E`的坐标为点E的坐标除以相似比的值，则点E`的坐标为(-2,1)或(2，-1)，故选A．
12. 如图，AB是半圆半径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连接CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE·AB．其中正确结论的序号是（　　）

A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③
【正确答案】C

【详解】试题分析：①∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD=∠DAO=∠CAB， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD，
∴∠DOB=∠，又∵∠=∠ADC（都对着半圆弧），∴∠DOB=∠ADC故①正确；
②由题意得，OD=R，AC=R， ∵OE：CE=OD：AC=1：，
∴OE≠CE，故②错误；
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，∴没有能证明△ODE和△ADO相似， ∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°， ∵AB是半圆直径，∴OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证）， ∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD， ∴， ∴=， ∴．
∴④正确．故选C．
点睛：本题主要考查的就是圆的基本性质以及三角形相似的判定与性质，属于中等难度的题目．圆和相似会经常放在一起考综合题，在圆里面一定要根据圆周角、圆心角与弧之间的关系得出相等的角，然后根据相似三角形的判定方法进行判定．在圆的题目里面我们还要注意一些隐含条件的存在，如：直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的存在性问题等等．
二、填 空 题（本题共6小题，共18分，只要求填写结果，每小题填对得3分．）
13. 在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=3：4，△ABC的面积等于48，则△ADE的面积等于___________．

【正确答案】27

【详解】试题分析：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则，则△ADE的面积等于27．
14. 计算=_____________．
【正确答案】

【详解】试题分析：根据角的三角函数值可得：sin45°=，tan60°=，tan30°=，sin30°=，原式=1+1-=．
15. 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．

【正确答案】62°

【详解】试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.
故62.
点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
16. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，求的值．

【正确答案】

【分析】根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形得出对应边成比，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴CE＝BC，∠BAC＝∠CAE，
∵矩形对边AD＝BC，
∴AD＝CE，
设AE、CD相交于点F，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴EF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACF，
又∵∠BAC＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAE，
∴AF＝CF，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△DEF，
∴，
设EF＝3k，CF＝5k，
由勾股定理得CE＝，
∴AD＝BC＝CE＝4k，
又∵CD＝DF＋CF＝3k＋5k＝8k，
∴AB＝CD＝8k，
∴AD：AB＝（4k）：（8k）＝．

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求出△ACF和△DEF相似是解题的关键，也是本题的难点．
17. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为_____．
【正确答案】3

【详解】试题解析：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，
∴x1+x2=-=2，x1•x2==-1．
x12-x1+x2=x12-2x1-1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
点睛：由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=-1”，将代数式x12-x1+x2变形为x12-2x1-1+x1+1+x2.
18. 如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的点P.如果MC=n,∠CMN=α,那么点P与点B的距离为_____. 

【正确答案】

【详解】试题解析：由题意知：∠NPB=∠NMC=α．

Rt△MNC中，MC=n，∠NMC=α，
∴NC=MC•tanα=n•tanα，
∴BN=BC-NC=m-n•tanα．
Rt△BPN中，∠BPN=α，
∵tanα=，
∴PB•tanα=BN，
∴PB=BN÷tanα=．
考点：1．解直角三角形的应用；2．轴对称的性质．
三、解 答 题（本题共6小题，共66分．）
19. 用适当的方法解方程
（1）（3x-1）2=4（2x-3）2；
（2）x2-3x-10=0；
（3）．
【正确答案】（1）x1=1，x2=5；（2）x1=-2，x2=5；（3）x1=，x2=．

【详解】试题分析：(1)、首先利用平方差公式进行因式分解，然后进行求解得出方程的解；(2)、利用十字相乘法进行因式分解，然后求出方程的解；(3)、将方程进行化简，然后利用公式法求出方程的解．
试题解析：(1)、，
[(3x-1)+2(2x-3)][3x-1-2(2x-3)]=0， (7x-7)(-x+5)=0，解得：；
(2)、十字相乘法可得：(x-5)(x+2)=0，解得：；
(3)、化简可得：，x=，
解得：．
20. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长宽的比为3：1，在温室内，沿前后两侧的内墙各留2.5m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽的通道．中间区域再留1m宽的通道，通道与前后墙平行，剩余空地（阴影部分）为种植区，当种植区面积是300m2，求矩形温室的长与宽是多少？

【正确答案】长为36m、宽为12m．

【详解】试题分析：首先设长为3xm，则宽为xm，然后根据题意列出关于x的一元二次方程，从而求出x的值，从而得出长和宽．
试题解析：解：设长为3xm，则宽为xm，根据题意列方程得：
（3x-6）（x-2）=300．
解之得：
x1=-8（舍去），x2=12m∴3x=36m
答：矩形温室的长为36m、宽为12m，种植区面积为300m2
21. 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长．

【正确答案】．

【详解】试题分析：延长AD、BC交于点F，根据题意得出△ABE和△CDE都是直角三角形，然后根据三角函数分别求出BE和CE长度，然后根据BC=BE-CE得出答案．
试题解析：解：延长AD、BC交于点F．

∵∠B=90°，∠A=60°， ∴∠ADC=90°，∠E=30°， ∴△ABE与△CDE都是直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=2，∴BE=AB·tanA=2tan60°=2，
在Rt△CDE中，CD=1，∴CE=， ∴BC=BE-CE=2-2
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．
（1）求证：△ABC∽△EAB．
（2）AC与BE交于点H，求HC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）HC=．

【分析】(1)、根据矩形的性质得出AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，根据ED=3AE得出AE=，ED=，从而得到，然后公共角得出三角形相似；(2)、根据三角形相似得出∠BHC=90°，根据Rt△ABC的面积相等得出BH的长度，然后根据Rt△BHC的勾股定理求出CH的长度．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，
∵ED=3AE，
∴AE=，ED=
∵，
∴，
∵∠ABC=∠BAE=90°，
∴△ABC∽△EAB
(2)、∵△ABC∽△EAB，
∴∠ACB=∠ABE，
∵∠ABE+∠CBH=90°，
∴∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠BHC=90°
∴BH⊥AC
在Rt△ACB中，
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC=，
∵
∴BH=，
∴CH=.
23. 如图，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍船只停在C处海域，AB=60（+3）海里，在B处测得C在北偏东45°方向上，A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一等他D，测得AD=100海里．
（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘看，图中有无触礁危险？请说明理由．

【正确答案】A与C的距离为120海里，B与C的距离为180海里；（2）无触礁危险．

【详解】试题分析：(1)、过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，根据Rt△CAE的三角函数得出AE=，根据AB=BE+AE求出x的值，根据直角三角形的三角函数求出答案；(2)、过点D作DF⊥AC于点F，根据Rt△ADF的三角函数求出DF的长度，然后与80进行比较大小，从而得出答案．
试题解析：(1)、如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
设CE=x，在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，，即AE=CE·tan30°，∴AE=
∵AB=60（+3）海里，∴AB=BE+AE=x+=60（），即x=180海里，
则AC=海里， BC=x=180海里；
答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为180海里；
(2)、无触礁危险．
如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，∵AD=100，∠CAD=60°，∴DF=ADsin60°=50≈86.6＞80，故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁危险．

点睛：本题主要考查的就是解直角三角形的实际应用问题，属于中等难度的题目．在解决实际应用的时候，很多时候都没有在直角三角形中，我们一定要通过作辅助线将所求的线段放在直角三角形中，然后再进行求解．在出现方位角的时候，我们一定要将方位角在图中标注出来，然后进行求解．
24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

【正确答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75．

【分析】（1）连接OD，通过线段垂直平分线性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题；
【详解】（1）连接OD，

∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠EDB＋∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∠AHO=∠C=90°，
∵∠CAB=HAO，
∴△AOH∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH＝，AD＝，
设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，
∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，
∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2，
解得：x＝4.75，
∴DE＝4.75．
本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
















2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）　
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并填到表格内）
1. 已知函数：①y=ax2；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．其中，二次函数的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ）

A. B. C. D.
3. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 全等的两个图形是对称图形 B. 轴对称图形都是对称图形
C. 对称图形都是轴对称图形 D. 关于对称的两个图形全等
4. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：

…
-1
0
1
3
…

…
-3
1
3
1
…
则下列判断中正确是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴的交点在轴负半轴上
C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间
6. 4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）

A. 张、第二张
B. 第二张、第三张
C. 第三张、第四张
D. 第四张、张
7. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D. (1，0)
8. 关于x一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ）
A. k≤ B. k< C. k≥ D. k>
9. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）


A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______．
12. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度．

13. 右图是“靠右侧通道行驶”的交通标志，若将图案绕其顺时针旋转90°，则得到的图案是“___________________”的交通标志（没有画图案，只填含义）．

14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
15. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“梦之星”抛物线，直线为抛物线的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为________．
三、解 答 题（共75分）
16. 解一元二次方程
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）（2x﹣3）2=（x+2）2．
17. 实践与操作：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角，请根据上述规定解答下列问题：
（1）请写出一个有一个旋转角90°旋转对称图形，这个图形可以是_____；
（2）尺规作图：在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，没有写做法）．

18. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）.

(1)对称的坐标；
(2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标.
19. 某花圃用花盆培育某种花苗，实验发现每盆盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
20. 某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设没有锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需没有锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）计算所需没有锈钢管的总长度．

21. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其单价每棵没有得超过80元，也没有得低于30元．经发现：日均量y（棵）与单价x（元/棵）满足函数关系，并且每棵售价60元时，日均90棵；每棵售价30元时，日均120棵．
（1）求日均量y与单价x的函数关系式；
（2）在过程中，每天还要支出其他费用200元，求利润w（元）与单价x之间的函数关系式；并求当单价为何值时，可获得的利润？利润是多少？
22. 操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
（1）三角板ABC绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并图②加以证明．
（2）三角板ABC绕点P旋转，△PBE是否能为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若没有能，请说明理由．（图④没有用）

23. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有AB为斜边的等腰直角三角形ABC，其中点A（0，2），点C（﹣1，0），抛物线y＝ax2+ax﹣2B点．
（1）求B点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点N（点B除外），使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点N的坐标；若没有存在，请说明理由．


2022-2023学年山西省吕梁市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）　
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并填到表格内）
1. 已知函数：①y=ax2；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．其中，二次函数的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】试题解析：根据定义②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2二次函数
故选B．
2. 一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ）

A. B.
B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选B．
考点：利用旋转设计图案．
3. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 全等的两个图形是对称图形 B. 轴对称图形都是对称图形
C. 对称图形都是轴对称图形 D. 关于对称的两个图形全等
【正确答案】D

【分析】根据对称及轴对称的性质解答即可．
【详解】选项A，成对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形没有一定是对称图形，选项A错误；
选项 B.，∵正五边形是轴对称图形，但没有是对称图形，∴轴对称图形都是对称图形错误；
选项C，∵平行四边形是对称图形，但没有是轴对称图形，∴对称图形都是轴对称图形错误；
选项D.，关于对称的两个图形全等，正确.
故选D.
本题考查了对称及轴对称的性质，熟知对称及轴对称的性质是解决问题的关键.
4. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【详解】解：对于抛物线，
因为，所有抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线x=－1，顶点坐标为（－1，3），
x＞－1时，y随x的增大而减小．
因此，正确结论有①③④三个．
故选C．
5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：

…
-1
0
1
3
…

…
-3
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴的交点在轴负半轴上
C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间
【正确答案】D

【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图表可得，
该函数的对称轴是直线x=，有值，
∴抛物线开口向下，故选项A错误，
抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误，
x=-1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=-3＜0，故选项C错误，
x=3时，y=1，x=4时，y=-3，方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确，
故选：D．
本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
6. 4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）

A. 张、第二张
B 第二张、第三张
C. 第三张、第四张
D. 第四张、张
【正确答案】A

【详解】试题解析：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成对称的张和第二张．
故选A．
考点：对称图形．
7. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D. (1，0)
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵y=﹣x2﹣x=﹣（x+1）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，），
故选B
8. 关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ）
A. k≤ B. k< C. k≥ D. k>
【正确答案】B

【详解】由题意可知，方程有两个没有相等的实数根，所以，解得
9. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）


A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【正确答案】A

【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．
故选A．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3c，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）没有正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）没有正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______．
【正确答案】12．

【详解】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=12.
故答案为12.
考点：1一元二次方程；2三角形.
12. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度．

【正确答案】70

【分析】根据图中的角的等量关系即可求出答案．
【详解】解：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠AOC=∠CEA，∠BED=∠BOD，
∵∠CEA=∠BED，
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOD=110°，
∴∠AOC+∠COD=110°，
∴∠AOC=20°，
∴∠BOC=90°-∠AOC=70°,
故答案：70°．
本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质，本题属于基础题型．
13. 右图是“靠右侧通道行驶”的交通标志，若将图案绕其顺时针旋转90°，则得到的图案是“___________________”的交通标志（没有画图案，只填含义）．

【正确答案】靠左侧通道行驶.

【详解】根据旋转的定义，可得旋转后的图形，根据题意中所给的含义，易得答案．
解答：解：根据旋转的意义，可得旋转后的图形是，

题意中所给图形的含义，
可得答案为靠左侧通道行驶．
14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【正确答案】-1或2或1

【分析】分该函数是函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数函数时，a-1=0，解得：a=1.
故-1或2或1
15. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“梦之星”抛物线，直线为抛物线的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为________．
【正确答案】

【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（-1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，-4），则可设顶点式y=a（x-1）2-4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．
【详解】∵y=x2+2x+1=(x+1)2，
∴A点坐标为(−1，0)，
解方程组得或，
∴点C′的坐标为(1，4)，
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C(1，−4)，
设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，
把A(−1，0)代入得4a−4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x2−2x−3．
故答案为y=x2−2x−3．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算．

三、解 答 题（共75分）
16. 解一元二次方程
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）（2x﹣3）2=（x+2）2．
【正确答案】（1）x1=1﹣，x2=1+；（2）x1=，x2=5．

【详解】试题分析：（1）根据公式法可求方程的解；
（2）先移项，然后通过平方差公式对等式的左边进行因式分解，化为两个一元方程求解即可．
试题解析：（1）x2﹣2x﹣1=0，
△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，
∴，
即x1=1﹣，x2=1+
（2）（2x﹣3）2=（x+2）2，
（2x﹣3）2﹣（x+2）2=0，
（2x﹣3+x+2）（2x﹣3﹣x﹣2）=0，
（3x﹣1）（x﹣5）=0，
解得x1=，x2=5．
17. 实践与操作：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角，请根据上述规定解答下列问题：
（1）请写出一个有一个旋转角是90°旋转对称图形，这个图形可以是_____；
（2）尺规作图：在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，没有写做法）．

【正确答案】正方形（或正八边形或圆等）

【详解】试题分析：（1）根据一个图形绕着一个定点旋转90°后，能够与原来的图形重合，进行判断即可；
（2）先作出正三角形的旋转，再根据图形既是一个旋转对称图形，又是一个轴对称图形进行作图即可．
试题解析：（1）有一个旋转角是90°旋转对称图形，这个图形可以是正方形或正八边形或圆等（答案没有），
（2）如图所示，（答案没有）

点睛：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
18. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）.

(1)对称的坐标；
(2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标.
【正确答案】（0，）；B（－2,4）C（－2，2）（2,1）（2,3）．

【详解】试题分析：（1）根据对称的性质，可得对称的坐标是D1D的中点，据此解答即可．
（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．
试题解析：（1）根据对称的性质，可得
对称的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
考点：1、对称；2、坐标与图形性质

19. 某花圃用花盆培育某种花苗，实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【正确答案】4株或者5株．

【详解】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3-0.5x）元，由题意得（x+3）（3-0.5x）=10求出即可．
20. 某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设没有锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需没有锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）计算所需没有锈钢管的总长度．

【正确答案】（1）y=﹣0.5x2+0.5；（2）所需没有锈钢管的总长度为80米．

【详解】试题分析：（1）根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；
（2）根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
试题解析：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
代入得a=﹣0.5，c=0.5，
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5；
（2）如图1所示：

∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米
∴所需没有锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．
21. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其单价每棵没有得超过80元，也没有得低于30元．经发现：日均量y（棵）与单价x（元/棵）满足函数关系，并且每棵售价60元时，日均90棵；每棵售价30元时，日均120棵．
（1）求日均量y与单价x的函数关系式；
（2）在过程中，每天还要支出其他费用200元，求利润w（元）与单价x之间的函数关系式；并求当单价为何值时，可获得的利润？利润是多少？
【正确答案】（1）y=﹣x+150，（30≤x≤80）;(2) 当x=80时取得值，为W值=﹣（80﹣85）2+4025=4000元．

【详解】试题分析：（1）设函数解析式为y=kx+b，把（60，90），（30，120）分别代入上式得到函数解析式；
（2）根据题意得到W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200，配方后求值．
试题解析：（1）设函数解析式为设函数解析式为y=kx+b，
把（60，90），（30，120）分别代入上式得，，
解得．
故y=﹣x+150，（30≤x≤80）．
（2）根据题意得W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200
=﹣x2+170x﹣3200
=﹣（x2﹣170x+852﹣852）﹣3200
=﹣（x﹣85）2+852﹣3200
=﹣（x﹣85）2+852﹣3200
=﹣（x﹣85）2+4025．
当x=80时取得值，为W值=﹣（80﹣85）2+4025=4000元．
22. 操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
（1）三角板ABC绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并图②加以证明．
（2）三角板ABC绕点P旋转，△PBE是否能为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若没有能，请说明理由．（图④没有用）

【正确答案】（1）PD=PE；（2）CE=0或1．

【详解】试题分析：连接PC，根据题意得出CP=PB，∠ACP=∠B=45°，∠DPC=∠BPE，从而得出△PCD和△PBE全等，从得出答案；第二题分PE=PB，PB=BE和PE=BE三种情况分别进行讨论．
试题解析：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．
理由如下：连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当PB=BE时，1）E在线段BC上， ，2）E在CB的延长线上，
③当PE=BE时，CE=1．
考点：三角形全等；等腰三角形的性质
23. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有AB为斜边的等腰直角三角形ABC，其中点A（0，2），点C（﹣1，0），抛物线y＝ax2+ax﹣2B点．
（1）求B点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点N（点B除外），使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点N的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）（﹣3，1） （2）y＝x2+x﹣2 （3）见解析

【分析】（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
【详解】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠＝90°，
∴∠BCD＝∠，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
∴△BCD≌△，
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（﹣3，1）；
（2）抛物线y＝ax2+ax﹣2点B（﹣3，1），
则得到1＝9a﹣3a﹣2，
解得a＝，
所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（3）假设存在点N，使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点N1，使得N1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACN1，
过点N1作N1M⊥x轴，
∵CN1＝BC，∠MCN1＝∠BCD，∠N1MC＝∠BDC＝90°，
∴△MN1C≌△DBC．
∴CM＝CD＝2，N1M＝BD＝1，可求得点N1（1，﹣1）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AN2⊥CA，且使得AN2＝AC，得到等腰直角三角形△ACN2，
过点N2作N2P⊥y轴，同理可证△AN2P≌△，
∴NP2＝OA＝2，AP＝OC＝1，可求得点N2（2，1），
③以A为直角顶点的等腰Rt△ACN的顶点N有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AN＝AC时，点N可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点N2；
点N也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点N3．因此，然后过N3作N3G⊥y轴于G，同理：△AGN3≌△，
∴GN3＝OA＝2，AG＝OC＝1，
∴N3（﹣2，3）；
经检验，点N1（1，﹣1）与点N2（2，1）都在抛物线y＝x2+x﹣2上，点N3（﹣2，3）没有在抛物线上．

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质.