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2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 在中，，，，且，则的度数为( )
A. 53.48° B. 53.13° C. 53.13' D. 53.48'
2. 关于x一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
3. 下列说确的是( )
①试验条件没有会影响某出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较的估计值，但各人所得的值没有一定相同；
③如果一枚骰子质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
4. 如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 15米
5. 设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A. （1，0） B. （3，0） C. （﹣3，0） D. （0，﹣4）
6. 如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（ ）
A. 40m B. 120m C. 60m D. 180m
7. 一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个没有相等的实数根
8. 反比例函数（k≠0）图象双曲线是（ ）
A. 是轴对称图形，而没有是对称图形 B. 是对称图形，而没有是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，又是对称图形 D. 既没有是轴对称图形，也没有是对称图形
9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
10. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是
A. B. C. D.
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是_________．
12. 我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
13. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
14. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
15. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
16. 两个相似三角形________ 的比值叫做相似比．
17. 已知关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则的取值范围是________．
18. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 若x1，x2是一元二次方程的两根，没有解方程，求x12+x22的值．
20. 由于保管没有慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中∠A=30°，ta=，AC=，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？
21. 已知，求．
22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥紧急通知：在指挥北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
23. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交 x轴于点A（x1 ，0）、B（x2 ，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．求二次函数解析式．
24. 如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
四、综合题（共 10分）
25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 在中，，，，且，则的度数为( )
A. 53.48° B. 53.13° C. 53.13' D. 53.48'
【正确答案】B
【详解】解：由锐角三角函数的定义可知：tanA=，∴∠A≈53.13°．故选B．
2. 关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
【正确答案】C
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，二次项的系数非零，可得出关于a的一元没有等式组，解没有等式组即可得出结论．
详解】解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
本题考查了根判别式，解题的关键是得出关于a的一元没有等式组，由根的判别式二次项系数非零得出没有等式组是关键．
3. 下列说确的是( )
①试验条件没有会影响某出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较的估计值，但各人所得的值没有一定相同；
③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
【正确答案】B
【分析】根据频率与概率的关系分析各个选项即可．
【详解】解：①错误，实验条件会极大影响某出现的频率，没有符合题意；
②正确，符合题意；
③正确，符合题意；
④错误，“两个正面”、“两个反面”的概率为 ，“一正一反”的机会较大，为 ，没有符合题意．
故选B
大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到抛掷两枚硬币得到所有的情况数．
4. 如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 15米
【正确答案】C
【详解】解：根据题意，容易得到△ABP∽△CDP，即CD：AB=PD：BP，∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，∴CD=×AB=10；那么该古城墙的高度是10米．故选C．
点睛：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5. 设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A. （1，0） B. （3，0） C. （﹣3，0） D. （0，﹣4）
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据二次函数的性质可得：对称轴为直线x=3，则在对称轴上所有的点的横坐标为3．
考点：二次函数对称轴，直线上的点．
6. 如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（ ）
A. 40m B. 120m C. 60m D. 180m
【正确答案】B
【分析】由题意可知：QR∥ST，所以△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度
【详解】由题意可知：QR∥ST，
∴△PQR∽△PST，
∴
设PQ=x，
∴ ，
解得：x=120
故PQ=120m
故选B．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度．
7. 一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个没有相等的实数根
【正确答案】A
【详解】解：x2﹣2x+3=0， △=（﹣2）2﹣4×1×3＜0，所以方程没有实数根，故选A．
8. 反比例函数（k≠0）的图象双曲线是（ ）
A. 是轴对称图形，而没有是对称图形 B. 是对称图形，而没有是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，又是对称图形 D. 既没有是轴对称图形，也没有是对称图形
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据反比例函数y=（k≠0）的图象既是轴对称图形又是对称图形解答．
解：（1）当k＞0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在一、三象限，其对称轴是直线y=x，对称是原点；
（2）当k＜0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在二、四象限，其对称轴是直线y=﹣x，对称是原点．
故选C．
考点：反比例函数图象的对称性
点评：本题考查了反比例函数的图象的对称性质，是注意轴对称和对称的区别．
9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，DB=3，∴，∴，∵△ADE的面积是2，∴△ABC的面积是12.5，∴四边形BCED的面积是12.5﹣2=10.5，故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方．
10. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
【详解】A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2-4ac=-4＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
C、这里a=1，b=-1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
D、这里a=1，b=-1，c=-1，
∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个没有相等实数根，本选项符合题意；
故选D．
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是_________．
【正确答案】16（1﹣x）2=14．
【详解】试题解析：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1-x）（1-x）=14，
整理得：16（1-x）2=14．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程.
12. 我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
【正确答案】 ①. y=x2 ②. y=2x+3．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣3=0可以变为x2=2x+3，∴x2﹣2x﹣3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．故答案为y=x2，y=2x+3．
13. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个没有相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞−
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜−＜0，
∴a＜−，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴−＜a＜-2，
故答案为−＜a＜-2．
14. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
【正确答案】y=﹣2x2+3x﹣1．
【详解】解：∵抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线为﹣y=2x2﹣3x+1，∴所求解析式为：y=﹣2x2+3x﹣1．故答案为y=﹣2x2+3x﹣1．
15. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
【正确答案】-1．
【分析】根据反比例函数的定义解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴m2-2=-1且m-1≠0，
解得m=-1．
故答案：-1．
本题考查了反比例函数的定义，熟悉y=kx-1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．
16. 两个相似三角形________ 的比值叫做相似比．
【正确答案】对应边
【详解】两个相似三角形对应边的比值叫做相似比．
故答案为对应边．
17. 已知关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则的取值范围是________．
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个没有相等的实数根， ∴△=42﹣4k＞0，解得k＜4．故答案为k＜4．
18. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
【正确答案】．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为．
点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 若x1，x2是一元二次方程的两根，没有解方程，求x12+x22的值．
【正确答案】3．
【详解】试题分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=-1，再把变形为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
试题解析：解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=-1，所以=（x1+x2）2-2x1x2=12-2×（-1）=3．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
20. 由于保管没有慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中∠A=30°，ta=，AC=，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？
【正确答案】．
【详解】试题分析：作辅助线CH⊥AB于H．Rt△ACH中，利用正弦求得CH=，利用余弦求得AH=6，所以BH=AB﹣AH=4；然后根据直角三角形的正切值求得ta的值．
试题解析：解：作CH⊥AB于H．Rt△ACH中，CH=AC•sinA=×sin30°=，AH=AC•cosA=×cos30°=6，∴BH=AB﹣AH=4，∴ta=，∴污渍部分内容内为．
21. 已知，求．
【正确答案】 .
【分析】设，，，再代入原式即可得出答案．
【详解】令，
∴，，，
∴原式．
22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥紧急通知：在指挥北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
【正确答案】．
【详解】试题分析：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
试题解析：解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D， 由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，∠ABC=75°﹣60°=15°，∴∠DAB=∠DBA=45°，在Rt△ABD中，AB=16海里，∠DAB=45°，∴BD=AD=ABcos45°=（海里），在Rt△CBD中，CD==，∴AC=（）（海里）．
答：A、C两地之间的距离是海里．
点睛：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
23. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交 x轴于点A（x1 ，0）、B（x2 ，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．求二次函数解析式．
【正确答案】y=x2﹣9．
【详解】试题分析：利用根与系数的关系求出k的值，即可确定出二次函数解析式．
试题解析：解：由题意得：x1，x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）=0的解， ∴x1+x2=﹣（k﹣5）=5﹣k，x1x2=﹣（k+4）=﹣k﹣4．∵（x1+1）（x2+1）=﹣8，即x1x2+（x1+x2）+1=﹣8，∴﹣k﹣4+5﹣k+1=﹣8，解得：k=5，则y=x2﹣9．
点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24. 如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【正确答案】（1）没有相似，理由见解析；（2）x=1.5或x=9．
【分析】（1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；
（2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边的比相等．就可以求出x的值．
【详解】（1）没有相似，
AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
而；
所以没有相似；
（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则，
则：，
解得x=1.5，
或，
解得x=9．
本题考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，对应角的比相等，两个条件必须同时成立．
四、综合题（共 10分）
25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
【正确答案】（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了，可列方程求解；
（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润为y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）
＝﹣20z2+300z+5 000
＝﹣20（z2﹣15z）+5000
＝＝﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z＝7.5时，y取得值，值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．单 选 题
1. 在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A. 甲的影子比乙的长 B. 甲的影子比乙的影子短
C. 甲影子和乙的影子一样长 D. 无法判断
2. 如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 由两个可以转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说确的是（ ）
A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色可能性变小了
C. 游戏者配成紫色的概率为
D. 先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率没有同
4. 下列命题正确的是（ ）
（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：
（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似 （4）一组邻边成比例的两个矩形相似．
A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（4） D. （2）（4）
5. 如图，三角形中，、、分别是，，上的点，且，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
7. 反比例函数y=与函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（ ）
A. 4:25 B. 49:100 C. 7:10 D. 2:5
二、填 空 题
9. 若，则________．
10. 为了估计没有透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球．
11. 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度；
12. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
13. 如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是_____cm．
14. 某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模．今年受气候、南水等因素影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场量为200千克，均价为20元千克，今年樱桃的市场量比去年增加的百分数正好是均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的总金额与去年的总金额相同；则均价比去年减少的百分数为_____．
15. 如图，反比例函数y=与函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为_____，△EOF 的面积为_____．反比例函数值大于函数值时x的范围是_____．
16. 如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_____．
三、计算题
17. （1）解方程 4x（2x+1）=3（2x+1）
（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．
四、作图题
18. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
五．解 答 题
19. 在一个没有透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．
（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
（2）游戏规则2； 两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为 ．
20. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗没有超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗售价没有得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
21. 如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
22. 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：
当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．
按照以上方式循环进行
同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃） 随时间x（min） 的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a
﹣20
…
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
（2）温度没有低于﹣8℃的持续时间为 min；
（3）A的值为 ．
23. 问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
24. 如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？
（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理虫：
（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．单 选 题
1. 在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A. 甲的影子比乙的长 B. 甲的影子比乙的影子短
C. 甲的影子和乙的影子一样长 D. 无法判断
【正确答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置没有同，影长也没有同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】在同一路灯下由于位置没有同，影长也没有同，所以无法判断谁的影子长．
故选D．
本题考查了平行投影和投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，没有同物体的物高和影长成比例．投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
2. 如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选D．
3. 由两个可以转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说确的是（ ）
A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C. 游戏者配成紫色的概率为
D. 先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率没有同
【正确答案】C
【分析】根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
【详解】解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性没有变，此选项错误；
C、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
D、由于A、B两个转盘是相互的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
故选：C．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4. 下列命题正确的是（ ）
（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：
（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似 （4）一组邻边成比例的两个矩形相似．
A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（4） D. （2）（4）
【正确答案】B
【详解】（1）一角相等的两个平行四边形对应边没有一定成比例，所以没有一定相似，（1）是假命题；
一角相等的两个菱形相似，（2）是真命题；
一组邻边成比例的两个平行四边形对应角没有一定相等，所以没有一定相似，（3）是假命题；
一组邻边成比例的两个矩形相似，（4）是真命题；
故选B．
5. 如图，三角形中，、、分别是，，上的点，且，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可得且四边形BDEF是平行四边形，再由三角形相似的性质和平行四边形的性质可得BF=10cm，接下来即可求得FC的长．
【详解】解：由题意知，，
又由题意知四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE=10cm,∴FC=BC-BF=20cm
故选B．
本题考查三角形相似和平行四边形的综合应用，灵活应用三角形相似的性质和平行四边形的性质求解是解题关键．
6. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
【正确答案】A
【详解】解：k=6＞0，所以反比例函数图像位于一三象限，并且当x＜0时，y随着x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3．
故选A．
已知反比例函数解析式和点的横坐标要比较纵坐标大小，可以数形，借助图像的性质进行比较．
7. 反比例函数y=与函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：当k＞0时，∵k＞0，-k＜0，
∴反比例函数y=的图象在、三象限，函数y=-kx-k的图象第二、三、四象限；
当k＜0时，∵k＜0，-k＞0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，函数y=-kx-k的图象、二、三象限．
故选C．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（ ）
A. 4:25 B. 49:100 C. 7:10 D. 2:5
【正确答案】A
【分析】要求△EFG与△BCG的面积之比，只要证明△FGE∽△CGB即可，然后根据面积比等于相似比的平方即可解答本题．
【详解】解：∵在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE，DF=DC，
又∵AB=7，BC=10，
∴AE=DE=7，AD=10，
∴AF=DE=3，
∴FE=4，
∵FE∥BC，
∴△FGE∽△CGB，
∴
∴，
故选：A．
本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二、填 空 题
9. 若，则________．
【正确答案】
【分析】根据，得到，代入式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故．
此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到是解题的关键．
10. 为了估计没有透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球．
【正确答案】100
【分析】先求出样本中有标记的球出现的频率，再利用用样本估计总体的方法进行计算即可解答．
【详解】解：∵从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，
∴有标记的球出现的频率为，
∴总体有10÷=100．
故100．
11. 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度；
【正确答案】米.
【详解】试题分析: 设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可；
试题解析：设条纹的宽度为米．依题意得
解得：（没有符合，舍去），
答：配色条纹宽度为米．
12. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
【正确答案】1
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO=60°，OA=AD，
在Rt△ADB中，AD=，
∵AE⊥BD，
∴OE=DE=OD=1．
故答案是：1．
13. 如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是_____cm．
【正确答案】2.4
【详解】设这个正方形零件的边长是xcm，则PN=ED=xcm，
∵矩形为正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
则，
解得：x=2.4
故答案为2.4．
14. 某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场量为200千克，均价为20元千克，今年樱桃的市场量比去年增加的百分数正好是均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的总金额与去年的总金额相同；则均价比去年减少的百分数为_____．
【正确答案】50％
【详解】设均价比去年减少的百分数为x，
200（1+2x）×20（1﹣x）=200×20，
解得，x=0.5或x=0（舍去），
故答案为50%．
15. 如图，反比例函数y=与函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为_____，△EOF 的面积为_____．反比例函数值大于函数值时x的范围是_____．
【正确答案】 ①. （1，5） ②. 12 ③. 0＜x＜1或x＞5
【详解】联立两函数解析式可得，解得或，
∴E点坐标为（1，5），
y=﹣x+6中，令y=0可求得x=6，
∴A（6，0），
∴OA=6，
∴S△EOF=S△AOE﹣S△AOF=×6×5﹣×6×1=15﹣3=12，
∵E（1，5），F（5，1），
∴当反比例函数值大于函数值时x的取值范围为0＜x＜1或x＞5，
故答案为（1，5）；12；0＜x＜1或x＞5．
考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点满足每个函数解析式是解题的关键．
16. 如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_____．
【正确答案】12+15π
【详解】试题分析：由几何体的三视图可得：该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，故答案为12+15π．
三、计算题
17. （1）解方程 4x（2x+1）=3（2x+1）
（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．
【正确答案】（1）x=或x=﹣（2）m=2
【详解】试题分析：（1）由4x（2x+1）=3（2x+1）可得出4x=3或2x+1=0，解之即可得出结论；
（2）由方程有两个相等的实数根根的判别式，即可得出（m-2）2=0，解之即可得出m的值．
试题解析：
（1）∵4x（2x+1）=3（2x+1），
∴4x=3或2x+1=0，
解得：x=或x=﹣．
（2）∵关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，
∴△=（m﹣2）2﹣4×1×0=（m﹣2）2=0，
∴m=2．
四、作图题
18. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
【正确答案】答案见解析
【详解】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件．
试题解析：
如图，△A1B1C1为所作．
五．解 答 题
19. 在一个没有透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．
（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
（2）游戏规则2； 两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为 ．
【正确答案】（1）此游戏没有公平（2）
【分析】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
（2）本题可通过列表法或画树状图法来求，解题时要注意：（1）摸出小球后记下颜色放回与没有放回的区别；（2）把红球标记为红1和红2，保证每次摸球的可能性相等．
【详解】（1）此游戏没有公平．
理由如下：列树状图如下，
列表如下，
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）=，P（小亮赢）=．
∴此游戏对双方没有公平，小亮赢的可能性大；
（2）列表如下：
红1
红2
黄
蓝
红1
红1红2
红1黄
红1蓝
红2
红2红1
红2黄
红2蓝
黄
黄 红1
黄 红2
黄蓝
蓝
蓝 红1
蓝 红2
蓝黄
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两球颜色相同的情况有2种，故小明赢得门票的概率为．
故答案为.
20. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗没有超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗售价没有得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【正确答案】该校共购买了80棵树苗
【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120－0.5(x－60)]＝8800，
解得：x1＝220，x2＝80．
当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，
∴x1＝220(没有合题意，舍去)；
当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，
∴x＝80，
答：该校共购买了80棵树苗．
21. 如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；
（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠F=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．
试题解析：
（1）∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，
∵DE⊥AB．BF⊥DC，
∴∠E=90°，∠F=90°，
∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，
∴四边形BEDF矩形；
（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，
∴∠F+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，
∴∠ADC=∠BCF，
∴∠F=∠MDE，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴BN=DM，
在△BNF与△DME中
∴△BNF≌△DME（SAS），
∴EM=FN，
同理可得：EN=MF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
22. 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：
当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．
按照以上方式循环进行
同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃） 随时间x（min） 的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a
﹣20
…
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
（2）温度没有低于﹣8℃的持续时间为 min；
（3）A的值为 ．
【正确答案】（1）①y=﹣；②y=﹣4x+76（2）11；（3）﹣12
【详解】试题分析：（1）①由x•y=-80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；
②根据点（20，-4）、（21，-8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；
（2）观察表格可知，10≤x≤21时，y≥-8，即可求解；
（3）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值．
试题解析：
（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，
∴当4≤x＜20时，y=﹣．
故答案为y=﹣；
②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴此时y=﹣4x+76．
当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，
当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，
当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．
∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．
故答案为y=﹣4x+76．
（2）由表格可知，10≤x≤21时，y≥﹣8，
则温度没有低于﹣8℃的持续时间为21﹣10=11分钟．
故答案为11；
（3）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，
∴当x=42时，与x=22时，y值相同，
∴a=﹣12．
故答案为﹣12．
23. 问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
【正确答案】问题呈现：证明见解析；实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣；（3）.
【详解】试题分析：只要说明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1．根据S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，即可证明；
迁移应用：利用探究的结论即可解决问题．
试题解析：
如图中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四边形AEGD是矩形，
∴S△HGE=S矩形AEGD，
同理S△EGF=S矩形BEGC，
∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD．
故答案为S四边形EFGH=S矩形ABCD．
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
理由：∵S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，
∴S四边形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1﹣S矩形A1B1C1D1，
∴2S四边形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1﹣2S矩形A1B1C1D1，
∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
故答案为2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1
迁移应用：解：（1）如图中，
∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×9=7=A1B1•A1D1，
∵正方形的面积为25，
∴边长为5，
∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，
∴A1D1=2，A1B1=，
∴EG2=A1B12+52= ，
∴EG=
故答案为．
四边形综合题：主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法添加辅助线，学会利用位置解决问题．
24. 如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ面积等于菱形ABCD面积的？
（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理虫：
（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）t的值为0或3或；（2）t=1秒（3）t=或t=；（4）存在：t=．
【分析】先由运动得出AP=t，DQ=2t，AB=5，BP=5-t，BQ=8-2t，（0≤t≤4）
（1）先由锐角三角函数得出sin∠ABD= ，cos∠ABD=，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）先求出菱形面积，再用三角函数得出PE，再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程，解方程即可得出结论；
（3）先判断出△BPQ∽△DQA，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（4）先判断出△BMN∽△BCD，得出 ，即可求出MN=2，BN=，再判断出△BPQ∽△NMQ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：由运动知，AP=t，DQ=2t，
∵AB=5，BD=8，
∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）
（1）如图，
连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=BD=4，
在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，
根据勾股定理得，OA=3，
sin∠ABD=，cos∠ABD=，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴①如图1，BP=PQ
过点P作PE⊥OD于E，
∴BE=BQ=4﹣t，
在Rt△BPE中，cos∠ABD=，
∴t=0，
②如图2，BP=BQ，
∴5﹣t=8﹣2t，
∴t=3，
③如图3，BQ=PQ，
过点Q作QE⊥AB于E，
∴BE=BP=（5﹣t），
在Rt△BEQ中，cos∠ABD=，
∴t=，
即：△BPQ是等腰三角形时，t的值为0或3或；
（2）如图4，
由（1）知，AC=2OA=6，
∵BD=8，
∴S菱形ABCD=AC×BD=24，
过点P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD= ，
∴，
∴PE=（5﹣t），
∴S△BPQ=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），
∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的，
∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，
∴t=8（舍）或t=1秒，
（3）存在，理由如下：如图5，
∵∠ABD=∠AQP，
∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，
∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，
∴∠BPQ=∠DQA，
∵BD是菱形ABCD对角线，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△BPQ∽△DQA，
∴，
∴，
∴t= 或t=；
（4）存在：理由如下：
如图6，过点M作MN∥CD交BD于N，
∴MN∥BP，
∵BM：CM=2：3，且BC=5，
∴BM=2，
∵MN∥CD，
∴△BMN∽△BCD，
∴ ，
∴，
∴MN=2，BN=，
∵BQ=8﹣2t，
∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，
∵MN∥BP，
∴△BPQ∽△NMQ，
∴ ，
∴ ，
∴5t2﹣47t+100=0，
∴t= （舍去）或t=．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解本题的关键是构造出相似三角形．
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 在中，，，，且，则的度数为( )
A. 53.48° B. 53.13° C. 53.13' D. 53.48'
2. 关于x一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
3. 下列说确的是( )
①试验条件没有会影响某出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较的估计值，但各人所得的值没有一定相同；
③如果一枚骰子质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
4. 如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 15米
5. 设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A. （1，0） B. （3，0） C. （﹣3，0） D. （0，﹣4）
6. 如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（ ）
A. 40m B. 120m C. 60m D. 180m
7. 一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个没有相等的实数根
8. 反比例函数（k≠0）图象双曲线是（ ）
A. 是轴对称图形，而没有是对称图形 B. 是对称图形，而没有是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，又是对称图形 D. 既没有是轴对称图形，也没有是对称图形
9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
10. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是
A. B. C. D.
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是_________．
12. 我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
13. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
14. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
15. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
16. 两个相似三角形________ 的比值叫做相似比．
17. 已知关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则的取值范围是________．
18. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 若x1，x2是一元二次方程的两根，没有解方程，求x12+x22的值．
20. 由于保管没有慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中∠A=30°，ta=，AC=，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？
21. 已知，求．
22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥紧急通知：在指挥北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
23. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交 x轴于点A（x1 ，0）、B（x2 ，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．求二次函数解析式．
24. 如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
四、综合题（共 10分）
25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（共10题；共30分）
1. 在中，，，，且，则的度数为( )
A. 53.48° B. 53.13° C. 53.13' D. 53.48'
【正确答案】B
【详解】解：由锐角三角函数的定义可知：tanA=，∴∠A≈53.13°．故选B．
2. 关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
【正确答案】C
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，二次项的系数非零，可得出关于a的一元没有等式组，解没有等式组即可得出结论．
详解】解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
本题考查了根判别式，解题的关键是得出关于a的一元没有等式组，由根的判别式二次项系数非零得出没有等式组是关键．
3. 下列说确的是( )
①试验条件没有会影响某出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较的估计值，但各人所得的值没有一定相同；
③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
【正确答案】B
【分析】根据频率与概率的关系分析各个选项即可．
【详解】解：①错误，实验条件会极大影响某出现的频率，没有符合题意；
②正确，符合题意；
③正确，符合题意；
④错误，“两个正面”、“两个反面”的概率为 ，“一正一反”的机会较大，为 ，没有符合题意．
故选B
大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到抛掷两枚硬币得到所有的情况数．
4. 如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 15米
【正确答案】C
【详解】解：根据题意，容易得到△ABP∽△CDP，即CD：AB=PD：BP，∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，∴CD=×AB=10；那么该古城墙的高度是10米．故选C．
点睛：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5. 设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A. （1，0） B. （3，0） C. （﹣3，0） D. （0，﹣4）
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据二次函数的性质可得：对称轴为直线x=3，则在对称轴上所有的点的横坐标为3．
考点：二次函数对称轴，直线上的点．
6. 如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（ ）
A. 40m B. 120m C. 60m D. 180m
【正确答案】B
【分析】由题意可知：QR∥ST，所以△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度
【详解】由题意可知：QR∥ST，
∴△PQR∽△PST，
∴
设PQ=x，
∴ ，
解得：x=120
故PQ=120m
故选B．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度．
7. 一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个没有相等的实数根
【正确答案】A
【详解】解：x2﹣2x+3=0， △=（﹣2）2﹣4×1×3＜0，所以方程没有实数根，故选A．
8. 反比例函数（k≠0）的图象双曲线是（ ）
A. 是轴对称图形，而没有是对称图形 B. 是对称图形，而没有是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，又是对称图形 D. 既没有是轴对称图形，也没有是对称图形
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据反比例函数y=（k≠0）的图象既是轴对称图形又是对称图形解答．
解：（1）当k＞0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在一、三象限，其对称轴是直线y=x，对称是原点；
（2）当k＜0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在二、四象限，其对称轴是直线y=﹣x，对称是原点．
故选C．
考点：反比例函数图象的对称性
点评：本题考查了反比例函数的图象的对称性质，是注意轴对称和对称的区别．
9. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，DB=3，∴，∴，∵△ADE的面积是2，∴△ABC的面积是12.5，∴四边形BCED的面积是12.5﹣2=10.5，故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方．
10. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
【详解】A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2-4ac=-4＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
C、这里a=1，b=-1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项没有合题意；
D、这里a=1，b=-1，c=-1，
∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个没有相等实数根，本选项符合题意；
故选D．
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是_________．
【正确答案】16（1﹣x）2=14．
【详解】试题解析：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1-x）（1-x）=14，
整理得：16（1-x）2=14．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程.
12. 我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
【正确答案】 ①. y=x2 ②. y=2x+3．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣3=0可以变为x2=2x+3，∴x2﹣2x﹣3=0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．故答案为y=x2，y=2x+3．
13. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个没有相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞−
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜−＜0，
∴a＜−，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴−＜a＜-2，
故答案为−＜a＜-2．
14. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
【正确答案】y=﹣2x2+3x﹣1．
【详解】解：∵抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线为﹣y=2x2﹣3x+1，∴所求解析式为：y=﹣2x2+3x﹣1．故答案为y=﹣2x2+3x﹣1．
15. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________．
【正确答案】-1．
【分析】根据反比例函数的定义解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴m2-2=-1且m-1≠0，
解得m=-1．
故答案：-1．
本题考查了反比例函数的定义，熟悉y=kx-1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．
16. 两个相似三角形________ 的比值叫做相似比．
【正确答案】对应边
【详解】两个相似三角形对应边的比值叫做相似比．
故答案为对应边．
17. 已知关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则的取值范围是________．
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个没有相等的实数根， ∴△=42﹣4k＞0，解得k＜4．故答案为k＜4．
18. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
【正确答案】．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为．
点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 若x1，x2是一元二次方程的两根，没有解方程，求x12+x22的值．
【正确答案】3．
【详解】试题分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=-1，再把变形为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
试题解析：解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=-1，所以=（x1+x2）2-2x1x2=12-2×（-1）=3．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
20. 由于保管没有慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中∠A=30°，ta=，AC=，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？
【正确答案】．
【详解】试题分析：作辅助线CH⊥AB于H．Rt△ACH中，利用正弦求得CH=，利用余弦求得AH=6，所以BH=AB﹣AH=4；然后根据直角三角形的正切值求得ta的值．
试题解析：解：作CH⊥AB于H．Rt△ACH中，CH=AC•sinA=×sin30°=，AH=AC•cosA=×cos30°=6，∴BH=AB﹣AH=4，∴ta=，∴污渍部分内容内为．
21. 已知，求．
【正确答案】 .
【分析】设，，，再代入原式即可得出答案．
【详解】令，
∴，，，
∴原式．
22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥紧急通知：在指挥北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
【正确答案】．
【详解】试题分析：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
试题解析：解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D， 由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，∠ABC=75°﹣60°=15°，∴∠DAB=∠DBA=45°，在Rt△ABD中，AB=16海里，∠DAB=45°，∴BD=AD=ABcos45°=（海里），在Rt△CBD中，CD==，∴AC=（）（海里）．
答：A、C两地之间的距离是海里．
点睛：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
23. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交 x轴于点A（x1 ，0）、B（x2 ，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．求二次函数解析式．
【正确答案】y=x2﹣9．
【详解】试题分析：利用根与系数的关系求出k的值，即可确定出二次函数解析式．
试题解析：解：由题意得：x1，x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）=0的解， ∴x1+x2=﹣（k﹣5）=5﹣k，x1x2=﹣（k+4）=﹣k﹣4．∵（x1+1）（x2+1）=﹣8，即x1x2+（x1+x2）+1=﹣8，∴﹣k﹣4+5﹣k+1=﹣8，解得：k=5，则y=x2﹣9．
点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24. 如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【正确答案】（1）没有相似，理由见解析；（2）x=1.5或x=9．
【分析】（1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；
（2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边的比相等．就可以求出x的值．
【详解】（1）没有相似，
AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
而；
所以没有相似；
（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则，
则：，
解得x=1.5，
或，
解得x=9．
本题考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，对应角的比相等，两个条件必须同时成立．
四、综合题（共 10分）
25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
【正确答案】（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了，可列方程求解；
（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润为y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）
＝﹣20z2+300z+5 000
＝﹣20（z2﹣15z）+5000
＝＝﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z＝7.5时，y取得值，值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．单 选 题
1. 在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A. 甲的影子比乙的长 B. 甲的影子比乙的影子短
C. 甲影子和乙的影子一样长 D. 无法判断
2. 如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 由两个可以转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说确的是（ ）
A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色可能性变小了
C. 游戏者配成紫色的概率为
D. 先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率没有同
4. 下列命题正确的是（ ）
（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：
（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似 （4）一组邻边成比例的两个矩形相似．
A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（4） D. （2）（4）
5. 如图，三角形中，、、分别是，，上的点，且，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
7. 反比例函数y=与函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（ ）
A. 4:25 B. 49:100 C. 7:10 D. 2:5
二、填 空 题
9. 若，则________．
10. 为了估计没有透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球．
11. 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度；
12. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
13. 如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是_____cm．
14. 某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模．今年受气候、南水等因素影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场量为200千克，均价为20元千克，今年樱桃的市场量比去年增加的百分数正好是均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的总金额与去年的总金额相同；则均价比去年减少的百分数为_____．
15. 如图，反比例函数y=与函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为_____，△EOF 的面积为_____．反比例函数值大于函数值时x的范围是_____．
16. 如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_____．
三、计算题
17. （1）解方程 4x（2x+1）=3（2x+1）
（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．
四、作图题
18. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
五．解 答 题
19. 在一个没有透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．
（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
（2）游戏规则2； 两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为 ．
20. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗没有超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗售价没有得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
21. 如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
22. 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：
当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．
按照以上方式循环进行
同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃） 随时间x（min） 的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a
﹣20
…
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
（2）温度没有低于﹣8℃的持续时间为 min；
（3）A的值为 ．
23. 问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
24. 如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？
（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理虫：
（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省青岛市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一．单 选 题
1. 在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A. 甲的影子比乙的长 B. 甲的影子比乙的影子短
C. 甲的影子和乙的影子一样长 D. 无法判断
【正确答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置没有同，影长也没有同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】在同一路灯下由于位置没有同，影长也没有同，所以无法判断谁的影子长．
故选D．
本题考查了平行投影和投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，没有同物体的物高和影长成比例．投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
2. 如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选D．
3. 由两个可以转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说确的是（ ）
A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C. 游戏者配成紫色的概率为
D. 先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率没有同
【正确答案】C
【分析】根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
【详解】解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性没有变，此选项错误；
C、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
D、由于A、B两个转盘是相互的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
故选：C．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4. 下列命题正确的是（ ）
（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：
（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似 （4）一组邻边成比例的两个矩形相似．
A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（4） D. （2）（4）
【正确答案】B
【详解】（1）一角相等的两个平行四边形对应边没有一定成比例，所以没有一定相似，（1）是假命题；
一角相等的两个菱形相似，（2）是真命题；
一组邻边成比例的两个平行四边形对应角没有一定相等，所以没有一定相似，（3）是假命题；
一组邻边成比例的两个矩形相似，（4）是真命题；
故选B．
5. 如图，三角形中，、、分别是，，上的点，且，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可得且四边形BDEF是平行四边形，再由三角形相似的性质和平行四边形的性质可得BF=10cm，接下来即可求得FC的长．
【详解】解：由题意知，，
又由题意知四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE=10cm,∴FC=BC-BF=20cm
故选B．
本题考查三角形相似和平行四边形的综合应用，灵活应用三角形相似的性质和平行四边形的性质求解是解题关键．
6. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
【正确答案】A
【详解】解：k=6＞0，所以反比例函数图像位于一三象限，并且当x＜0时，y随着x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3．
故选A．
已知反比例函数解析式和点的横坐标要比较纵坐标大小，可以数形，借助图像的性质进行比较．
7. 反比例函数y=与函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：当k＞0时，∵k＞0，-k＜0，
∴反比例函数y=的图象在、三象限，函数y=-kx-k的图象第二、三、四象限；
当k＜0时，∵k＜0，-k＞0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，函数y=-kx-k的图象、二、三象限．
故选C．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（ ）
A. 4:25 B. 49:100 C. 7:10 D. 2:5
【正确答案】A
【分析】要求△EFG与△BCG的面积之比，只要证明△FGE∽△CGB即可，然后根据面积比等于相似比的平方即可解答本题．
【详解】解：∵在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE，DF=DC，
又∵AB=7，BC=10，
∴AE=DE=7，AD=10，
∴AF=DE=3，
∴FE=4，
∵FE∥BC，
∴△FGE∽△CGB，
∴
∴，
故选：A．
本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二、填 空 题
9. 若，则________．
【正确答案】
【分析】根据，得到，代入式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故．
此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到是解题的关键．
10. 为了估计没有透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球．
【正确答案】100
【分析】先求出样本中有标记的球出现的频率，再利用用样本估计总体的方法进行计算即可解答．
【详解】解：∵从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，
∴有标记的球出现的频率为，
∴总体有10÷=100．
故100．
11. 如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度；
【正确答案】米.
【详解】试题分析: 设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可；
试题解析：设条纹的宽度为米．依题意得
解得：（没有符合，舍去），
答：配色条纹宽度为米．
12. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
【正确答案】1
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO=60°，OA=AD，
在Rt△ADB中，AD=，
∵AE⊥BD，
∴OE=DE=OD=1．
故答案是：1．
13. 如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=6cm，高AD=4cm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC 上，这个正方形零件PQMN的边长是_____cm．
【正确答案】2.4
【详解】设这个正方形零件的边长是xcm，则PN=ED=xcm，
∵矩形为正方形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
则，
解得：x=2.4
故答案为2.4．
14. 某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场量为200千克，均价为20元千克，今年樱桃的市场量比去年增加的百分数正好是均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的总金额与去年的总金额相同；则均价比去年减少的百分数为_____．
【正确答案】50％
【详解】设均价比去年减少的百分数为x，
200（1+2x）×20（1﹣x）=200×20，
解得，x=0.5或x=0（舍去），
故答案为50%．
15. 如图，反比例函数y=与函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为_____，△EOF 的面积为_____．反比例函数值大于函数值时x的范围是_____．
【正确答案】 ①. （1，5） ②. 12 ③. 0＜x＜1或x＞5
【详解】联立两函数解析式可得，解得或，
∴E点坐标为（1，5），
y=﹣x+6中，令y=0可求得x=6，
∴A（6，0），
∴OA=6，
∴S△EOF=S△AOE﹣S△AOF=×6×5﹣×6×1=15﹣3=12，
∵E（1，5），F（5，1），
∴当反比例函数值大于函数值时x的取值范围为0＜x＜1或x＞5，
故答案为（1，5）；12；0＜x＜1或x＞5．
考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点满足每个函数解析式是解题的关键．
16. 如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_____．
【正确答案】12+15π
【详解】试题分析：由几何体的三视图可得：该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，故答案为12+15π．
三、计算题
17. （1）解方程 4x（2x+1）=3（2x+1）
（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．
【正确答案】（1）x=或x=﹣（2）m=2
【详解】试题分析：（1）由4x（2x+1）=3（2x+1）可得出4x=3或2x+1=0，解之即可得出结论；
（2）由方程有两个相等的实数根根的判别式，即可得出（m-2）2=0，解之即可得出m的值．
试题解析：
（1）∵4x（2x+1）=3（2x+1），
∴4x=3或2x+1=0，
解得：x=或x=﹣．
（2）∵关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，
∴△=（m﹣2）2﹣4×1×0=（m﹣2）2=0，
∴m=2．
四、作图题
18. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
【正确答案】答案见解析
【详解】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件．
试题解析：
如图，△A1B1C1为所作．
五．解 答 题
19. 在一个没有透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．
（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
（2）游戏规则2； 两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为 ．
【正确答案】（1）此游戏没有公平（2）
【分析】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
（2）本题可通过列表法或画树状图法来求，解题时要注意：（1）摸出小球后记下颜色放回与没有放回的区别；（2）把红球标记为红1和红2，保证每次摸球的可能性相等．
【详解】（1）此游戏没有公平．
理由如下：列树状图如下，
列表如下，
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）=，P（小亮赢）=．
∴此游戏对双方没有公平，小亮赢的可能性大；
（2）列表如下：
红1
红2
黄
蓝
红1
红1红2
红1黄
红1蓝
红2
红2红1
红2黄
红2蓝
黄
黄 红1
黄 红2
黄蓝
蓝
蓝 红1
蓝 红2
蓝黄
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两球颜色相同的情况有2种，故小明赢得门票的概率为．
故答案为.
20. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗没有超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗售价没有得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【正确答案】该校共购买了80棵树苗
【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120－0.5(x－60)]＝8800，
解得：x1＝220，x2＝80．
当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，
∴x1＝220(没有合题意，舍去)；
当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，
∴x＝80，
答：该校共购买了80棵树苗．
21. 如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；
（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠F=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．
试题解析：
（1）∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，
∵DE⊥AB．BF⊥DC，
∴∠E=90°，∠F=90°，
∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，
∴四边形BEDF矩形；
（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，
∴∠F+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，
∴∠ADC=∠BCF，
∴∠F=∠MDE，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴BN=DM，
在△BNF与△DME中
∴△BNF≌△DME（SAS），
∴EM=FN，
同理可得：EN=MF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
22. 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：
当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．
按照以上方式循环进行
同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度y（℃） 随时间x（min） 的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a
﹣20
…
（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
（2）温度没有低于﹣8℃的持续时间为 min；
（3）A的值为 ．
【正确答案】（1）①y=﹣；②y=﹣4x+76（2）11；（3）﹣12
【详解】试题分析：（1）①由x•y=-80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；
②根据点（20，-4）、（21，-8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；
（2）观察表格可知，10≤x≤21时，y≥-8，即可求解；
（3）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值．
试题解析：
（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，
∴当4≤x＜20时，y=﹣．
故答案为y=﹣；
②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴此时y=﹣4x+76．
当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，
当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，
当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．
∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．
故答案为y=﹣4x+76．
（2）由表格可知，10≤x≤21时，y≥﹣8，
则温度没有低于﹣8℃的持续时间为21﹣10=11分钟．
故答案为11；
（3）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，
∴当x=42时，与x=22时，y值相同，
∴a=﹣12．
故答案为﹣12．
23. 问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
【正确答案】问题呈现：证明见解析；实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣；（3）.
【详解】试题分析：只要说明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1．根据S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，即可证明；
迁移应用：利用探究的结论即可解决问题．
试题解析：
如图中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四边形AEGD是矩形，
∴S△HGE=S矩形AEGD，
同理S△EGF=S矩形BEGC，
∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD．
故答案为S四边形EFGH=S矩形ABCD．
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
理由：∵S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，
∴S四边形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1﹣S矩形A1B1C1D1，
∴2S四边形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1﹣2S矩形A1B1C1D1，
∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
故答案为2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1
迁移应用：解：（1）如图中，
∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．
∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×9=7=A1B1•A1D1，
∵正方形的面积为25，
∴边长为5，
∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，
∴A1D1=2，A1B1=，
∴EG2=A1B12+52= ，
∴EG=
故答案为．
四边形综合题：主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法添加辅助线，学会利用位置解决问题．
24. 如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ面积等于菱形ABCD面积的？
（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理虫：
（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值； 若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）t的值为0或3或；（2）t=1秒（3）t=或t=；（4）存在：t=．
【分析】先由运动得出AP=t，DQ=2t，AB=5，BP=5-t，BQ=8-2t，（0≤t≤4）
（1）先由锐角三角函数得出sin∠ABD= ，cos∠ABD=，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）先求出菱形面积，再用三角函数得出PE，再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程，解方程即可得出结论；
（3）先判断出△BPQ∽△DQA，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（4）先判断出△BMN∽△BCD，得出 ，即可求出MN=2，BN=，再判断出△BPQ∽△NMQ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：由运动知，AP=t，DQ=2t，
∵AB=5，BD=8，
∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）
（1）如图，
连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=BD=4，
在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，
根据勾股定理得，OA=3，
sin∠ABD=，cos∠ABD=，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴①如图1，BP=PQ
过点P作PE⊥OD于E，
∴BE=BQ=4﹣t，
在Rt△BPE中，cos∠ABD=，
∴t=0，
②如图2，BP=BQ，
∴5﹣t=8﹣2t，
∴t=3，
③如图3，BQ=PQ，
过点Q作QE⊥AB于E，
∴BE=BP=（5﹣t），
在Rt△BEQ中，cos∠ABD=，
∴t=，
即：△BPQ是等腰三角形时，t的值为0或3或；
（2）如图4，
由（1）知，AC=2OA=6，
∵BD=8，
∴S菱形ABCD=AC×BD=24，
过点P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD= ，
∴，
∴PE=（5﹣t），
∴S△BPQ=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），
∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的，
∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，
∴t=8（舍）或t=1秒，
（3）存在，理由如下：如图5，
∵∠ABD=∠AQP，
∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，
∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，
∴∠BPQ=∠DQA，
∵BD是菱形ABCD对角线，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△BPQ∽△DQA，
∴，
∴，
∴t= 或t=；
（4）存在：理由如下：
如图6，过点M作MN∥CD交BD于N，
∴MN∥BP，
∵BM：CM=2：3，且BC=5，
∴BM=2，
∵MN∥CD，
∴△BMN∽△BCD，
∴ ，
∴，
∴MN=2，BN=，
∵BQ=8﹣2t，
∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，
∵MN∥BP，
∴△BPQ∽△NMQ，
∴ ，
∴ ，
∴5t2﹣47t+100=0，
∴t= （舍去）或t=．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解本题的关键是构造出相似三角形．
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