2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）（下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1. 要使代数式有意义，则x的（　　）
A. 值是 B. 最小值是 C. 值是 D. 最小值是
2. 已知a：b：c=4：3：2，且a+3b-3c=14，则4a-3b+c的值是( )
A 8 B. 10 C. 16 D. 18
3. 下列计算正确的是( )
A. ×=6 B. (+1)(1-）=l C. = D. ÷=
4. 若关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两个实数根分别为2和-4，则b +c的值是( )
A. -10 B. 10 C. -6 D. -1
5. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ）．
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
6. 、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己没有能抢自己发的红包，若此次抢红包，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
8. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子没有全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ）

A. 3．25m B. 4．25m C. 4．45m D. 4．75m
9. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则（a﹣2b）2017=_____．
11. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____．
12. 美是一种感觉，当人体下半身身长与身高比值越接近（约为0.618）时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的，她应穿的高跟鞋的高度大约为______ cm．

13. 如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A.F两点间的距离是8cm，则点A到DE的距离为________cm.

14. 如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若∆PAE与∆PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.

三、解 答 题（本大题共8个小题，满分75分）
15. 计算：
（1）﹣|﹣|++﹣（π﹣3.14）0
（2）﹣×﹣（）（）﹣（）2．
16. 用适当的方法解下列方程
(1)3x（x-2）=x-2
(2)4t2 = l2t+l（用配方法）
（3）
17. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的整数时，求方程的根．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．


（1）画出关于y轴对称图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点O为位似，位似比为2：1，在轴y的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
（3）如果点在线段AB上，请直接写出（2）变化后点D的对应点D2的坐标．
19. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2013年底拥有家庭轿车64辆，2015年底家庭轿车的拥有量达到100辆．若该小区2013年底到2016年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同．
求：(1)该小区2013年底到2015年底家庭轿车拥有量的年平均增长率．
(2)该小区到2016年底家庭轿车达到多少辆？
20. 如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120．

求证：AM·PB=PN·AP
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
22. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．
（1）多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．

















2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）（下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1. 要使代数式有意义，则x的（　　）
A. 值是 B. 最小值是 C. 值是 D. 最小值是
【正确答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】代数式有意义,

解得
故选A．
本题考查的知识是二次根式有意义的条件，解题关键是熟知二次根式具有非负性．
2. 已知a：b：c=4：3：2，且a+3b-3c=14，则4a-3b+c的值是( )
A. 8 B. 10 C. 16 D. 18
【正确答案】D

【详解】试题解析：∵a：b：c=4：3：2，
∴设a=4k，b=3k，c=2k，
又∵a+3b-3c=14，
∴4k+9k-6k=14，
整理得，7k=14，
解得，k=2，
∴a=8，b=6，c=4，
∴4a-3b+c=4×8-3×6+4=32-18+4=18．
故选D.
3. 下列计算正确的是( )
A. ×=6 B. (+1)(1-）=l C. = D. ÷=
【正确答案】D

【详解】试题解析：A.，故原选项错误；
B.，故原选项错误；
C.=，故原选项错误；
D.，该选项正确.
故选D.
4. 若关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两个实数根分别为2和-4，则b +c的值是( )
A. -10 B. 10 C. -6 D. -1
【正确答案】A

【详解】试题解析：根据题意得2+（-4）=b，2×（-4）=c，
解得b=-2，c=-8．
∴b+c=(-8)+(-2)=-10.
故选A．
点睛一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
5. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ）．
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
【正确答案】D

【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【详解】解：如图，连接、，

、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，（三角形的中位线等于第三边的一半），
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故选：D．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
6. 、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】C

【详解】试题解析：根据题意得△=（-2c）2-4（a2+b2）=0，
即a2+b2=c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选C．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己没有能抢自己发的红包，若此次抢红包，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
【正确答案】B

详解】试题解析：设这个群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个群共有10人．
故选B.
8. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子没有全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ）

A. 3．25m B. 4．25m C. 4．45m D. 4．75m
【正确答案】C

【详解】试题分析：此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的．所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的，利用这个结论可以求出树高．
试题解析：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，

根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：
而：CB=1．2
∴BD=0．96
∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56．
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：
∴x=4．45
∴树高是4．45m．
故选C．
考点：相似三角形的应用．
9. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据平移的性质，阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
详解】解：设AC交A′B′于H，

∵AC是正方形的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x•(2-x)=1，即，
解得：，
即AA′=1cm．
故选：B．
本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则（a﹣2b）2017=_____．
【正确答案】﹣1．

【详解】由题意可知： ，解得： ，
∴（a﹣2b）2017=（﹣1）2017=﹣1，
故答案是：﹣1．
11. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____．
【正确答案】且．

【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的没有等式，通过解该没有等式即可求得k的取值范围．
【详解】∵，．
∴一元二次方程为．
∵一元二次方程有实数根，
∴且．
本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解没有等式时一定要注意数值的正负与没有等号的变化关系．
12. 美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近（约为0.618）时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的，她应穿的高跟鞋的高度大约为______ cm．

【正确答案】8

【详解】试题解析：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈8cm．
13. 如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A.F两点间的距离是8cm，则点A到DE的距离为________cm.

【正确答案】4

【详解】试题分析：根据DE为中位线可得BC=2DE=10cm，连接AF，根据折叠图形可得AF⊥BC，则S=10×8÷2=40.
考点：(1)、中位线的性质；(2)、折叠图形的性质.

14. 如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若∆PAE与∆PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.

【正确答案】3

【详解】试题解析：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个.
点睛：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
三、解 答 题（本大题共8个小题，满分75分）
15. 计算：
（1）﹣|﹣|++﹣（π﹣3.14）0
（2）﹣×﹣（）（）﹣（）2．
【正确答案】（1）（1）﹣3；（2）﹣8+．

【详解】试题分析：（1）直接化简各式求出答案即可；
（2）直接化简各式，求出答案即可．
试题解析：
解：（1）﹣|﹣|++﹣（π﹣3.14）0
=﹣3﹣+0.5+ ﹣1
=﹣3；
（2）﹣ ×﹣（）（）﹣（）2
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣8+．
16. 用适当的方法解下列方程
(1)3x（x-2）=x-2
(2)4t2 = l2t+l（用配方法）
（3）
【正确答案】(l)x1=2，x2=； (2)t1=，t2= ；(3)x1=，x2=.

【详解】试题分析：（1）移项，提取公因式（x-2），化为两个一元方程求解即可；
（2）把方程变形为4t2 -l2t=l，方程两边同除以4，再加上项系数一半的平方，进行配方，再开平方即可求解；
（3）运用公式法求解即可.
试题解析：(1)3x（x-2）=x-2，
3x（x-2）-（x-2）=0，
（x-2）(3x-1)=0，
x-2=0，3x-1=0，
解得：x1=2，x2=；
(2)4t2 = l2t+l，
4t2 -l2t=l，
t2 -3t=，
t2 -3t+=+，

∴
∴t1=，t2= ；
（3）
a=1，b=-，c=
Δ==1
∴
∴x1=，x2=.
17. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件整数时，求方程的根．
【正确答案】（1）且；（2），

【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，整数为.
此时，方程化为.
解得，.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．


（1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点O为位似，位似比为2：1，在轴y的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
（3）如果点在线段AB上，请直接写出（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．
【正确答案】（1）作图见解析部分，C1（3，2）；
（2）作图见解析部分，C2（-6，4）；
（3）D2（2a，2b）．

【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．
【小问1详解】
如图所示：，即为所求，
C1点坐标为：（3，2）；

【小问2详解】
如图所示：，即为所求，
C2点坐标为：（-6，4）；

【小问3详解】
如果点D（a，b）在线段AB上，（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）．
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
19. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2013年底拥有家庭轿车64辆，2015年底家庭轿车的拥有量达到100辆．若该小区2013年底到2016年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同．
求：(1)该小区2013年底到2015年底家庭轿车拥有量的年平均增长率．
(2)该小区到2016年底家庭轿车达到多少辆？
【正确答案】（1）家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%；（2）该小区到2016年底家庭轿车达到125辆．

【详解】试题分析：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则增长2次以后的车辆数是64（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可．
（2）2016年的车辆=2015年的车辆×（1+x）．
试题解析：(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
由题意得：64(1+x) 2=100 ，
解得：x1= =0.25 x2= （没有合题意，舍去）.
只取x=0.25=25%.
答：家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%．
( 2) 100( 1+25% ) =125 (辆 )
答：该小区到2016年底家庭轿车达到125辆．
点睛：增长率问题：若原数是a，每次增长的百分率为a，则次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
20. 如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120．

求证：AM·PB=PN·AP
【正确答案】详见解析.

【详解】试题分析：根据相似三角形的判定方法可证△PMA∽△BNM，然后利用相似三角形的性质就可以证得结论．
试题解析：证明：∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN．
∴∠A+∠APM=60°，∠AMP=∠P=120°．
∵∠APB=120°，
∴∠APM+∠NPB=60°．
∴∠A=∠NPB．
∴△PMA∽△BNP．
∴AM：PN=AP：PB
∴AM•PB=PN•AP．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【正确答案】（1）见解析（2）6

【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，

．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
22. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．
（1）多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．

【正确答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（1）△PBQ的面积没有能等于7cm2．

【详解】试题分析：（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．
（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
试题解析：(1)设x秒后，∆PBQ的面积等于4cm2 ，
此时，AQ=x cm, QB=（5-x）cm. BP=2xcm,
由QB·BP=4得(5-x)·2x=4 ，
整理，得x2-5x+4=0，
解得x1=l，x2=4(没有合题意，舍去)
所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 .
(2)根据题意，得（5-x）·2x=7 ,
整理，得x2-5x+7=0
因为b2-4ac=25-28<0，
所以此方程无解，即△PBQ的面积没有能等于7cm2 .





















2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
2. 方程x2=2x的根是（　　）
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 无解
3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6 x +3=0有实数根，则实数k的取值范围为( )
A. k＜4 B. k＜4，且k≠1 C. k≤4 D. k≤4，且k≠1
4. 已知二次函数 y=3（x﹣a）2 的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）

A a＜2 B. a≥2 C. a≤2 D. a≤﹣2
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
7. 如图将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△ABC，设点的坐标为（a，b），则A的坐标为（　　）

A. （﹣a，﹣b） B. （﹣a，﹣b﹣1） C. （﹣a，﹣b+1） D. （﹣a，﹣b﹣2）
8. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的深度为（ ）

A. 40cm B. 60cm C. 80cm D. 100cm
9. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B度数为（　　）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
10. 如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( )

A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 若（x2+y2﹣3）2=16，则x2+y2=_____．
12. 某商品连续两次降价，单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
13. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
14. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为__________cm．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______

三、解 答 题（本题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2﹣x﹣7=0的根．
17. 已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求取值范围；
如果是满足条件的的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一根．
18. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．

20. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价没有得少于45元．根据以往发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天的利润P（元）？利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价没有得高于58元．如果超市想要每天获得没有低于6000元的利润，那么超市每天至少粽子多少盒？
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段 B′C的长．

22. （1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：
①度数为________；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为________；
（2）拓展探究：如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在边BC上，连接CE．请判断度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有值，值是多少？
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．




2022-2023学年河南省信阳市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 方程x2=2x的根是（　　）
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 无解
【正确答案】C

详解】试题分析：移项可得：，因式分解可得：x(x-2)=0，解得：x=0或x=2，故选C．
3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6 x +3=0有实数根，则实数k的取值范围为( )
A. k＜4 B. k＜4，且k≠1 C. k≤4 D. k≤4，且k≠1
【正确答案】D

【分析】根据关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+3=0有实数根，得到k-1≠0，即k≠1，且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，由此得到实数k的取值范围．
【详解】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k-1≠0，且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4. 已知二次函数 y=3（x﹣a）2 的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）

A. a＜2 B. a≥2 C. a≤2 D. a≤﹣2
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据题意可得函数图像的对称轴为直线x=a，开口向上的二次函数，在对称轴的右边y随着x的增大而减小，则，故选C．
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，没有符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．

6. 设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
【正确答案】A

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-2（x-1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=-2（x-1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=1，
而A（-2，y1）离直线x=1的距离最远，C（2，y3）点离直线x=1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选A．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7. 如图将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△ABC，设点的坐标为（a，b），则A的坐标为（　　）

A. （﹣a，﹣b） B. （﹣a，﹣b﹣1） C. （﹣a，﹣b+1） D. （﹣a，﹣b﹣2）
【正确答案】D

【分析】由旋转的性质可得设 而 再利用中点坐标公式列方程组，再解方程组可得答案.
【详解】解： 将△ABC绕点C（0，﹣1）旋180°得到△ABC，

设 而
由中点坐标公式可得：

解得：

故选D
本题考查的是旋转的性质，坐标与图形，中点坐标公式的应用，由旋转的性质得到是解本题的关键.
8. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的深度为（ ）

A. 40cm B. 60cm C. 80cm D. 100cm
【正确答案】A

【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，

∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
，
∴ME=OE-OM=100-60=40cm．
故选：A．
考点：(1)、垂径定理的应用；(2)、勾股定理．
9. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
【正确答案】D

【详解】如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
10. 如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( )

A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶
【正确答案】B

【详解】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接PP′，
则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=PB，
∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，根据勾股定理，PP′===x，
∴PP′=PB=x，解得PB=2x，∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故选B．

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 若（x2+y2﹣3）2=16，则x2+y2=_____．
【正确答案】7

【详解】试题分析：根据直接开平方可得：，则或，根据平方线的性质可得：，则．
12. 某商品连续两次降价，单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
【正确答案】20%

【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
125(1−x)2=80
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(没有合题意，舍去)
故答案为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．
13. 抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线的解析式为________．
【正确答案】y=﹣2x2+3x﹣1．

【详解】解：∵抛物线y=2x2﹣3x+1关于x轴对称的抛物线为﹣y=2x2﹣3x+1，∴所求解析式为：y=﹣2x2+3x﹣1．故答案为y=﹣2x2+3x﹣1．
14. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为__________cm．
【正确答案】

【分析】先根据题意画出图形，由于点C位置没有能确定，故应分两种情况进行讨论．
详解】连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5-3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故答案为或.
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______

【正确答案】##

【详解】如图,连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′,∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90∘,AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD−C′D=−1.
故−1.
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

三、解 答 题（本题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2﹣x﹣7=0的根．
【正确答案】

【详解】试题分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，根据方程得出的值，从而得出代数式的值．
试题解析：解：÷（a﹣1﹣）
=
=
=，
∵a是方程x2﹣x﹣7=0的根， ∴a2﹣a﹣7=0， ∴a2﹣a=7， ∴原式=．
17. 已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求的取值范围；
如果是满足条件的的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一根．
【正确答案】k⩽1；的值是．方程的另一根是．

【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根，得出4-4k≥0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x2-2x+k=0，求出x的值，再把x的值的相反数代入（m-1）x2-3mx-7=0，即可求出m的值．
【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，
∴△=b2−4ac=4−4k⩾0，
解得：k⩽1.
∴k的取值范围是k⩽1；
(2)当k⩽1时整数值是1，
则关于x的方程x2−2x+k=0是x2−2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵方程x2−2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m−1)x2−3mx−7=0的一个根，
∴当x=−1时,(m−1)+3m−7=0，
解得：m=2.
则原方程为x2−6x−7=0，
解得x1=7,x2=−1，方程的另一根是7.
答：m的值是2.方程的另一根是7.
本题考核知识点：根的判别式, 一元二次方程的解. 解题关键点：熟记根的判别式, 会求一元二次方程的解.
18. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；
（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转的坐标；
（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【正确答案】（1）如下图；（2）；（3）（－2，0）．


【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转，然后写出坐标即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P．
【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图

（2）如图所示,旋转的坐标为:（，-1）
(3) 如图所示,点P的坐标为（-2，0）.

19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．

【正确答案】（1）13；（2）

【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；
（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．
【详解】（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，
∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，
在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，
x2=（x﹣8）2+122，
解得：x=13．
（2）∵OM=OB，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M，
又∠M=∠D，
∴∠D=30°，
在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，
∴OE=4．
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
20. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价没有得少于45元．根据以往发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天的利润P（元）？利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价没有得高于58元．如果超市想要每天获得没有低于6000元的利润，那么超市每天至少粽子多少盒？
【正确答案】（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天的利润P（元），利润是8000元；
（3）超市每天至少粽子440盒．

【详解】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价没有得高于58元，且每天粽子的利润没有低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
试题解析：（1）由题意得，==；
（2）P===，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天的利润P（元），利润是8000元；
（3）由题意，得=6000，解得，，∵抛物线P=的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天粽子的利润没有低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少粽子440盒．
考点：二次函数的应用．

21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段 B′C的长．

【正确答案】

【详解】试题分析：作B′E⊥AC交CA的延长线于E，首先求出AC的长度，根据旋转图形的性质求出AE的长度，然后根据RtAB′E的勾股定理求出B′E的长度，根据Rt△CEB′的勾股定理得出答案．
试题解析：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E， ∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2， ∴∠ABC=30°， ∴AC=AB=1，
∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，
∴AB=AB′=2，∠B′AB=60°， ∴∠EAB′=180°﹣∠B′AB﹣∠BAC=60°， ∵B′E⊥EC， ∴∠AB′E=30°，
∴AE=1， 在Rt△AB′E中，∵AE=1，AB′=2， ∴B′E==， ∴EC=AE+AC=2，
在Rt△CEB′中，∵B′E=，CE=2， ∴B′C==．

22. （1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：
①的度数为________；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为________；
（2）拓展探究：如图②，和均为等腰直角三角形，，点D在边BC上，连接CE．请判断的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC长度．

【正确答案】（1），②；（2），，见解析；（3）

【详解】解：(1)①；②；
[解法提示]①∵和均为等边三角形,
∴,,,
∴,
即,
∴,
∴；
②由①得：,
∴,
∵,
∴；
(2),．
理由如下：
∵和均为等腰直角三角形,且,
∴,,,
即,
∴
∴,
∵,
∴,
∵在等腰直角三角形中,,
∴；
(3)
[解法提示]如解图,过点作的垂线,交的延长线于点,∵,,,∴,,∵,∴,∴四点共圆,∴,又,∴是等腰直角三角形,由(2)得,∴．

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有值，值是多少？
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=x2+x+3；（2）m为﹣2时S有值，值是6；（3）P的坐标为（﹣，）或（﹣，）

【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点D作DE∥y轴，交AC于点E，设出点D和点E的坐标，然后求出DE的长度，根据面积的计算公式得出面积的二次函数解析式，从而得出面积的值；
（3）先求出抛物线的对称轴为：，设，然后根据两点距离公式分别求出AC，PC，PA，利用勾股定理得到即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入 得：，
解得，
故抛物线的函数解析式为：；
（2）∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
代入A（﹣4，0）、C（0，3）得，
解得
∴AC的解析式为；
过D作DE∥y轴，交AC于点E，
设D（m，），则E（m，）（﹣4＜m＜﹣1），
∴
∴，
∴当m=﹣2时，有值，值为6；

（3）存在点P使得∠APC=90°，理由如下：
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为：，
设，
∵A（-4，0），C（0，3），
∴，，，
∵∠APC=90°，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或．

本题主要考查的就是二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，求二次函数解析式，三角形面积，两点距离公式，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．