2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（A卷）
一、选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则的值等于（ ）．
A. B. C. D.
2. 若二次函数的图象点，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 将抛物线先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，，，交于，，，，则长为（ ）．

A. B. C. D.
5. 如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ）

A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，若⊙是以原点为圆心，为半径的圆，则点在（ ）．
A. ⊙内 B. ⊙外 C. ⊙上 D. 没有能确定
7. 如图，已知是⊙的直径，过点的弦平行于半径，若，则等于（ ）．

A. B. C. D.
8. 抛物线部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）

A. B. C. 或 D. 或
9. 二次函数的图象，如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤中，则其中正确的有（ ）．

A ①③④ B. ②④⑤ C. ①②④ D. ①③⑤
10. 如图，已知⊙的半径垂直直线于点，点从点出发，沿直线向右运动，同时点从点出发沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当点返回到点时，点也停止运动．连接，，则阴影部分面积，的关系是（ ）．

A. B. 先，再，
C D. 先，再，再后
二、填 空 题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 二次函数图象的顶点坐标是__________．
12. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2．
13. 如图，点，，⊙上，，则等于__________度．

14. 如图，已知，，，是⊙上的四个点，，交于点，连接，．若，，则__________．

15. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，在轴上方的抛物线上有两点，，它们关于轴对称，点，在轴左侧，于点，于点，四边形与四边形的面积分别为和，则与的面积之和为__________．

16. 如图，在正方形中，为对角线，的交点，点和点作⊙，分别交，于点，．已知正方形边长为，⊙的半径为，则的值为__________．

三、解 答 题（共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17. 如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点．
（）填空：__________，__________；
（）请在图中的两个的正方形方格中各画一个和相似但没有全等的格点三角形．


18. 二次函数的图象点，．
（）求，的值；
（）求该二次函数图象的对称轴及与轴交点坐标．
19. （本小题满分分）
如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，连接，，于．

（）求证：．
（）若，，求⊙的直径．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．

21. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下一种进价为每件20元的护眼台灯．过程中发现，每月量y（件）与单价x（元）之间的关系可近似的看作函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当单价定为多少元时，每月可获得利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的单价没有得高于32元，如果李明想要每月获得的利润没有低于2000元，那么他每月的成本至少需要多少元？
（成本＝进价×量）
22. 如图所示，是的角平分线，以点为圆心，为半径作圆交的延长线于点，交于点，交于点，且．
（）求证：；
（）求证：点是中点；
（）如果，求半径的长．

23. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，，，以，为邻边构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点．
（）求，的长（结果均用含的代数式表示）；
（）当时，求该抛物线的表达式；
（）在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值．














2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（A卷）
一、选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵，∴a=b，
∴== .
故选C.
2. 若二次函数的图象点，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】把A(1,a)代入y=2x2得a=2×1=2.
故选C.
3. 将抛物线先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：抛物线先向左平移1个单位得到解析式：，再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为：．故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
4. 如图，，，交于，，，，则长（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴=，
∵BO=7，DO=3，
∴CO:AO=3:7，
∵AC=25，
∴AO=17.5.
故选D.
5. 如图，已知半径，，则所对的弧的长为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：显然弧的长为圆周长的，所以等于，
所以选B
6. 在平面直角坐标系中，若⊙是以原点为圆心，为半径的圆，则点在（ ）．
A. ⊙内 B. ⊙外 C. ⊙上 D. 没有能确定
【正确答案】A

【详解】∵点，
∴MO=<2，
∴点M在⊙O内，
故选A.
7. 如图，已知是⊙的直径，过点的弦平行于半径，若，则等于（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】∵AD∥OC，∠A=70，
∴∠AOC=∠A=70，
∴∠B=∠AOC=35.
故选B.
8. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）

A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】B

【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
本题主要考查的是二次函数与没有等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．
9. 二次函数的图象，如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤中，则其中正确的有（ ）．

A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②④ D. ①③⑤
【正确答案】D

【详解】由函数图象可知：抛物线开口向下，∴a<0，故选项①正确；
∵对称轴在y轴右边，即x=−=1>0，
又a<0，∴b>0，故选项②错误；
又抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c>0，故选项③正确；
当x=1时，对应的图象上的点在x轴上方，即y=ax2+bx+c=a+b+c>0，故选项④错误；
由x=−=1变形得：2a+b=0，故选项⑤正确；
综上，正确的序号有：①③⑤，共3个.
故选：C.
10. 如图，已知⊙的半径垂直直线于点，点从点出发，沿直线向右运动，同时点从点出发沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当点返回到点时，点也停止运动．连接，，则阴影部分面积，的关系是（ ）．

A. B. 先，再，
C. D. 先，再，再后
【正确答案】A

【详解】如图所示，因为直线l与圆O相切，
所以OA⊥OP.
设的长为l，
所以S扇形AOQ=·l·r=·l·OA，S△AOP=·OA·AP.
因为l=AP，
所以S扇形AOQ=S△AOP，即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB，
所以S1=S2.
故选A.
点睛：本题考查了切线的性质与扇形的面积公式的计算问题，解题时应熟练掌握切线的性质与应用，是基础题目.
二、填 空 题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 二次函数图象的顶点坐标是__________．
【正确答案】

【分析】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标.
【详解】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标为(2,3).
故答案为
本题考查了二次函数图象和性质，熟记抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解本题的关键.
12. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2．
【正确答案】>

【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1
∵
∴y随x的增大而增大
∴ >
13. 如图，点，，在⊙上，，则等于__________度．

【正确答案】

【详解】根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC=.
故答案为.
14. 如图，已知，，，是⊙上的四个点，，交于点，连接，．若，，则__________．

【正确答案】

【详解】∵AB=BC，
∴，
∴∠BDC=∠ADB，
∴又∵∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∵BE=3，ED=6，
∴BD=9，
∴AB2=BE⋅BD=3×9=27，
∴AB=3.
故答案为3.
15. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，在轴上方的抛物线上有两点，，它们关于轴对称，点，在轴左侧，于点，于点，四边形与四边形的面积分别为和，则与的面积之和为__________．

【正确答案】4

【详解】由于抛物线的对称轴是y轴，根据抛物线的对称性知：
S四边形ODEF=S四边形ODBG=10；
∴S△ABG+S△BCD=S四边形ODBG−S四边形OABC=10−6=4，
故答案为4.
16. 如图，在正方形中，为对角线，的交点，点和点作⊙，分别交，于点，．已知正方形边长为，⊙的半径为，则的值为__________．

【正确答案】4.5

【详解】连接EF、FG，GE如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°,∠BEA=90°
∴∠FEG=90°，
∴∠BEF=∠AEG，
又∵∠FBE=∠EAG=45°，
在△BEF与△AGE中,，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE,
而AB=AD，
∴DE=AF，
∵∠BAD=90°，
∴GF为O的直径，
而O的半径为2，
∴GF=4，
∴AF2+AG2=GF2=16①，
而DG=AF，
DG2+AG2=16；
又∵AD=AG+GD=AB，
∴AG+GD=5②，
由①②联立组成方程组,解得：AG=,GD=或AE=,ED=，
∴AG⋅GD=4.5.
故答案为4.5.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质及圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一般.同时考查了直径所对的圆周角为直径、圆内接四边形的性质、正方形的性质以及方程组的解法.
三、解 答 题（共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17. 如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点．
（）填空：__________，__________；
（）请在图中的两个的正方形方格中各画一个和相似但没有全等的格点三角形．


【正确答案】（），；(2)见解析

【分析】（1）利用网格勾股定理得出答案即可；
（2）利用相似三角形的性质得出符合题意的图形即可．
详解】（1）AB=，
∵AB2+AC2=20+5=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90∘，
故答案为，90；
（）如图所示：△DEF和△MNG都是符合题意的图形．


18. 二次函数的图象点，．
（）求，的值；
（）求该二次函数图象的对称轴及与轴交点坐标．
【正确答案】(1)b=-4,c=3;(2)对称轴 ，与轴交点坐标，．

【详解】试题分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元方程组即可得解；
（2）由即可写出对称轴解析式，令y=0，得到关于x的一元二次方程，解得x即可求得与x轴的交点坐标.
试题解析：（）由题得：将，代入，
得，解得．
（）抛物线解析式，
对称轴：为直线，即直线，
令，则，
，
∴，，
与轴交点坐标，．
19. （本小题满分分）
如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，连接，，于．

（）求证：．
（）若，，求⊙的直径．
【正确答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）由圆周角定理得出∠C=90°，再由垂径定理得出∠OEB=∠C=90°，即可得出结论；
（2）令 O的半径为r，由垂径定理得出BE=CE=BC=4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出 O的直径．
试题解析：（）∵是⊙直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（）令⊙半径为，
，
∵，
∴，
∴⊙直径为．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
试题解析：（）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴．
（）四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
在中，
，
∴．
21. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下一种进价为每件20元的护眼台灯．过程中发现，每月量y（件）与单价x（元）之间的关系可近似的看作函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当单价定为多少元时，每月可获得利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元利润，那么单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的单价没有得高于32元，如果李明想要每月获得的利润没有低于2000元，那么他每月的成本至少需要多少元？
（成本＝进价×量）
【正确答案】（1）35元
（2）单价应定为30元或40元
（3）3600元

【详解】解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·()

．
答：当单价定为35元时，每月可获得利润．
（2）由题意，得：
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，单价应定为30元或40元．
（3）∵，
∴抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：


∵，
∴P随x的增大而减小．
∴当x = 32时，P最小＝3600．
答：想每月获得的利润没有低于2000元，每月的成本至少3600元．
22. 如图所示，是的角平分线，以点为圆心，为半径作圆交的延长线于点，交于点，交于点，且．
（）求证：；
（）求证：点是的中点；
（）如果，求半径的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5.

【详解】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于，即可得证；
（2）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
试题解析：（）∵是⊙直径，
∴，
∴．
（）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是中点（三线合一）．
（）设⊙半径为，
∵，
，
，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意数形思想与方程思想的应用.
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，，，以，为邻边构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点．
（）求，的长（结果均用含的代数式表示）；
（）当时，求该抛物线的表达式；
（）在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值．

【正确答案】（1），；（2）；（3）或或

【详解】试题分析：（1）点D在y=-x2+3x+k上，且在y轴上，即y=0求出点D坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；
（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM=BM建立方程即可；
（3）先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD=AP，DA=DP，PA=PD计算.
试题解析：（）把代入，，
∴，
∵，
∴．
（）∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
抛物线表达式为．
（）当在矩形外时，
如图，过作于点，

当时，
∵，
∴，
，
，
在中，，
∴，
∴，
当在矩形内部时，
时，如图，过作于，

，，
，
又∵，
∴，∴，
当时，如图3，过作于，

，
，，
在中，，
∴．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、平面坐标系中求线段的长、等腰三角形的性质，确定出函数解析式是解本题的关键.
2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（B卷）
一、选一选（每小题3分，共12题，合计36分）
1. 关于x的方程是一元二次方程的条件是
A. B. C. D.
2. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A. B. C. D.
3. 在抛物线上的点是（ ）．
A. B. C. D.
4. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在一个没有透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个
6. 若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的高度是（　　）
A. 100sinαm B. m C. m D. 100cosαm
7. 已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. m≥
8. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，路板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（ ）

A. 1.2米 B. 1米 C. 0.8米 D. 1.5米
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）

A. B. C. D. 2
10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
12. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A. B. C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共10题，合计30分）
13. 如果四条线段，，，成比例，若，，．则线段的长是__________．
14. 等腰三角形底角为，底边长为，则腰长为__________．
15. 小了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为__________米．
16. 在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，与轴的夹角为，则__________．
17. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似是原点，已知与是对应顶点，且，的坐标为，，那么四边形与四边形的相似比是__________．
18. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．

19. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)如果x1，x2满足没有等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
20. 如图，反比例函数在第二象限图象上有两点，，它们的横坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为__________．

21. 一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是__________．
22. 如图，四边形是边长为的正方形，是边的中点，是直线上的动点．连接，将线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是__________．

三、解 答 题．（共54分）
23. 计算（）（），并解（）（）两个方程（每题分，共分）
（）．
（）．
（）．
（）．
24. （分）尺规作图：请把下面的直角进行三等分．（没有写作法，保留作图痕迹．）

25. （分）如图，某幼儿园为了加强管理，决定将园内滑滑板的倾角由降为，已知米，点，，在同一水平地面上，，，，在同一平面内．
（）求改善后滑滑板的长．
（）若滑滑板的正前方有米长的空地就能保证，原滑滑板的前方有米长的空地，这样改善是否可行？说明理由．

（）∵在中，，
∴米．
（或：∵在中，，∴米）．
答：改善后长米．
（）∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴米，
∴米，
∵米，，
∴这样的改善可行．
26. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳概率．

27. （分）如图，在中，，，，点在边上运动，平分交边于点，垂足为，垂足为．

（）当时，求证：．
（）探究：为何值时，与相似？
（）直接写出：__________时，四边形与的面积相等．

















2022-2023学年福建省三市联考九年级上册数学期中提升突破模拟（B卷）
一、选一选（每小题3分，共12题，合计36分）
1. 关于x的方程是一元二次方程的条件是
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：由题意得，
即，
故选A
2. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】从正面看可看到每列正方体的至多个数分别为2，2，1，表示为平面图形
【详解】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，
得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1．
故选C．
本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力．
3. 在抛物线上的点是（ ）．
A B. C. D.
【正确答案】B

【分析】把各选项坐标分别代入即可．
【详解】解：A.把 代入，左=-1，右= 0-0+1=1，
∴左≠右，故该点没有在图象上；
B. 把代入，左=0，右=，
∴左=右，故该点在图象上；
C. 把 代入，左=5，右=2+3+1=6 ，
∴左≠右，故该点没有在图象上；
D. 把 代入，左=4，右=18-9+1=10 ，
∴左≠右，故该点没有在图象上；
故选B.
本题考查抛物线上点的坐标特征，解答关键是分别把各点坐标代入函数关系式，能够使等式成立的即为所求．
4. 从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形后剩余矩形的宽是（x-2）cm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求得x的值，再求原正方形的面积即可.
【详解】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形的宽是（x-2）cm，
由题意可得：x（x-2）=80，
解得x=10或-8（没有合题意，舍去），
所以原来的正方形的面积是100cm2.
故选A.
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题利用已知矩形面积列出方程是解决本题的关键．
5. 在一个没有透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个
【正确答案】D

【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．
∴，解得：x=12．
经检验：x=12是原方程解
∴白球的个数为12个．
故选D．
6. 若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的高度是（　　）
A. 100sinαm B. m C. m D. 100cosαm
【正确答案】A

【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答．
【详解】如图，∠A=α，∠C=90°，

则他上升的高度BC=ABsinα=100⋅sinα(米)．
故选A．
此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握计算公式.
7. 已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. m≥
【正确答案】C

【详解】反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，即反比例系数小于0，由此即可求得m的取值范围.
解：根据题意得，1-2m<0,解得，.
故选C．
8. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，路板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（ ）

A. 1.2米 B. 1米 C. 0.8米 D. 1.5米
【正确答案】C

【分析】由题意可知，题中有一组相似三角形，利用它们的对应边成比例即可解答.
【详解】解：如图：

∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故选：C
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出E点上升的高度.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）

A. B. C. D. 2
【正确答案】B

【详解】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt三角形ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．
解：设CE=x，连接AE，

∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt三角形ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x=．
故答案为B
10. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 48 C. 24或 D.
【正确答案】C

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，
当第三边长为10时，∵,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．
故选C．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
【正确答案】C

【详解】设点P的坐标为（x，），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）×BO=（x+AO）×=+=+，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
12. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A. B. C. 3 D. 4
【正确答案】B

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
详解】过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD•OC=1，，
解得，
∴．
故选B．

考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．
二、填 空 题（每小题3分，共10题，合计30分）
13. 如果四条线段，，，成比例，若，，．则线段的长是__________．
【正确答案】20

【详解】∵，，，成比例，
∴:=:,
∴:=:,
∴y=20.
14. 等腰三角形的底角为，底边长为，则腰长为__________．
【正确答案】2

【详解】
如图，作AD⊥BC于点D.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=.
,
.
15. 小了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为__________米．
【正确答案】48

【详解】设楼房的高度为x米，由题意得
1.6:x=0.5:15，
解得x=48，
所以楼房高度是48米.
16. 在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，与轴的夹角为，则__________．
【正确答案】0.6

【详解】∵点的坐标为，
∴OP=,
∴cosα=.
17. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似是原点，已知与是对应顶点，且，的坐标为，，那么四边形与四边形的相似比是__________．
【正确答案】3

【详解】∵C(3，7),F(-9，-21),
∴OC=,OF=,
∵四边形OBCD与四边形OEFG的位似，
∴四边形OEFG与四边形OBCD的相似比为 .
18. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．

【正确答案】12．

【详解】试题解析：设俯视图的正方形的边长为．
∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为
∴
解得
∴这个长方体的体积为4×3=12．
19. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)如果x1，x2满足没有等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
【正确答案】（1）m≤-；（2）整数m的值为-2，-1．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4×2×（m+1）≥0，然后解没有等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=，再变形已知条件得到7+4x1x2＞（x1+x2）2-2x1x2，于是有7+6×＞1，解得m＞-3，所以m的取值范围为-3＜m≤-，然后找出此范围内的整数即可．
【详解】（1）根据题意得△=（-2）2-4×2×（m+1）≥0，
解得m≤-；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=，
∵7+4x1x2＞x12+x22，
∴7+4x1x2＞（x1+x2）2-2x1x2，
即7+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴7+6×＞1，解得m＞-3，
∴-3＜m≤-，
∴整数m的值为-2，-1．
20. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点，，它们的横坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为__________．

【正确答案】12

【详解】∵反比例函数y=-6x在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3，
当x=-1时，y=6；当x=-3时，y=2，
∴A（-1，6），B（-3，2）.
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： .
则直线AB的解析式是：y=2x+8，
∴y=0时，x=-4，
∴CO=4，
∴△AOC的面积为：×6×4=12.
21. 一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是__________．
【正确答案】

【分析】设原矩形的长与宽分别为x、y，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=AB=x，
则DE=y-x，
由题意得，矩形EFCD∽矩形BCDA，
∴，
，
整理得，
解得或（舍去），
∴原矩形的长与宽的比为
故

本题考查的是相似多边形的性质，解答此类问题要熟练掌握相似多边形的对应边成比例，表示出剩下的矩形的长与宽是解本题的关键．
22. 如图，四边形是边长为的正方形，是边的中点，是直线上的动点．连接，将线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是__________．

【正确答案】

【详解】取CD的中点H，连接FH.

在△CHF和△CFG中，
∵CF=CG,
∠FCH=∠GCE,
CH=CE,
∴△CHF≌△CFG,
∴GE=HF.
由图可知当FH⊥DE时，FH最短.
由勾股定理得
.
∵△DFH∽△DCE,
,
,
∴GE的最小值是.
点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键.
三、解 答 题．（共54分）
23. 计算（）（），并解（）（）两个方程（每题分，共分）
（）．
（）．
（）．
（）．
【正确答案】（）．（）．（），．（），．

【详解】试题分析：（1）、（2）运用角的三角函数值和二次根式的乘法解答；（3）利用直接开平方法求解；（4）利用公式法求解.
解：（）原式

．
（）原式


．
（），
或者，
，．
（），
，
，．
24. （分）尺规作图：请把下面的直角进行三等分．（没有写作法，保留作图痕迹．）

【正确答案】答案见解析

【详解】试题分析：先BC为一条边作一个等边三角形得到一个60度角，再作60度角的平分线.
解：如图，

25. （分）如图，某幼儿园为了加强管理，决定将园内的滑滑板的倾角由降为，已知米，点，，在同一水平地面上，，，，在同一平面内．
（）求改善后滑滑板的长．
（）若滑滑板的正前方有米长的空地就能保证，原滑滑板的前方有米长的空地，这样改善是否可行？说明理由．

（）∵在中，，
∴米．
（或：∵在中，，∴米）．
答：改善后长米．
（）∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴米，
∴米，
∵米，，
∴这样的改善可行．
【正确答案】（1）10米；（2）可行

【详解】试题分析：（1）求AD长的时候，可在直角△ADC内，根据∠D的度数和AC的长，运用正弦函数求出AD的长．
（2）本题实际要求的是BD的长是否超过4m，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就没有可行，反之，则可行．就要先求出BD的长，也就是求出CD，BC的长，求CD可在直角△ACD中，根据∠D的度数和AC的长，用正切函数求出CD的长；求BC的长，可在直角△ABC内，根据∠ABC的度数和AC的长，用正切函数求出BC，进而求出BD．
解：（）∵中，，
∴米．
（或：∵在中，，∴米）．
答：改善后长米．
（）∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴米，
∴米，
∵米，，
∴这样的改善可行．
点睛：本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的基本出发点．
26. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．

【正确答案】（1）；（2）．

【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
【详解】（1）三种等可能的情况数， 则恰好选中绳子AA1的概率是；
（2）列表如下：

AB
AC
BC
A1B1
×
√
√
A1C1
√
×
√
B1C1
√
√
×
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P=．

27. （分）如图，在中，，，，点在边上运动，平分交边于点，垂足为，垂足为．

（）当时，求证：．
（）探究：为何值时，与相似？
（）直接写出：__________时，四边形与的面积相等．
【正确答案】（1）见解析；（2）5或 ；（3）

【详解】试题分析：似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，从而得出角的关系，再由AD=CD，得出BD与AB的关系，即可求的结论．
（2）此题分两种情况求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根据相似三角形的性质即可求得；
（3）根据四边形面积求解方法，利用分割法求没有规则四边形的面积，作辅助线EN⊥BD即可求得
解：（）∵，
∴，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
（）（i）当时，得，
∴，
∵平分，
∴，，
又，
∴，
∴，
即，
∴．
（ii）当时，得，
∴，
又∵，
∴即是斜边上的高，
由三角形面积公式得，
∴，
∴，
综上，当或时，与相似．
（），
由角平分线性质易得，
∵，
∴，
即，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，①
∴即，
∵，
∴，
由①得，
∴，
∴，
∴．
点睛：此题考查了平行线的判定，还考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意数形思想的应用，要注意没有规则图形的面积的求解方法．