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2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（AB卷）含解析
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2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（A卷）
一.单 选 题（共10题；共20分）
1. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 90°
3. 二次函数y=ax2+bx+c图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )
A. y=2x2+5 B. y=2x2-5 C. y=2（x+5）2 D. y=2（x-5）2
5. 直线y=kx二、四象限，则抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A 12π B. 15π C. 30π D. 60π
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA= ， 则AB的长等于（ ）
A. B. C. D.
9. 若两个相似三角形相似比为1∶2，则它们面积的比为（）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶5
10. 如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
二.填 空 题（共8题；共9分）
11. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ．
12. 如图，直线y＝x与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝x向下平移个6单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为_____；若＝2，则k＝_____．
13. 写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式________．
14. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为_____．
15. 计算：cos30°﹣sin60°=________．
16. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，那么该矩形面积的值为________m2 ．
17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2－4ac＞0；③b＝－2a；④a＋b＋c＞2．其中正确的是______(填写序号)
18. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________．
三.解 答 题（共6题；共30分）
19. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
20. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果到0.1m）．
21. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
22. 小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是的斜坡的处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部和楼顶的仰角分别是、，斜坡高米，米，米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔的高度！请你写出解答过程．（数据，供选用，结果保留整数）
23. 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子没有全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
24. 如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
四.综合题（共1题；共15分）
25. 已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出点A、B、C坐标．
（2）求S△ABC
（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S△NAB=S△ABC ， 若存在，求出点N的坐标，若没有 存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（A卷）
一.单 选 题（共10题；共20分）
1. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A. 1 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵在上述图形中任取一种，共有6种等可能的结果，其中既是对称图形又是轴对称图形有正方形、矩形、正六边形3种,
∴P（恰好既是对称图形又是轴对称图形）=.
故选D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 90°
【正确答案】B
【分析】要求，即可求，因为是的直径，所以，又，故可求．
【详解】解：是的直径，
；
又（同弧所对的圆周角相等）
．
故选：B．
本题考查了圆周角定理和直径对的圆周角是直角，解题的关键是掌握直径对的圆周角是直角．
3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由图可知：抛物线开口向上，对称轴，抛物线与y轴交点为负半轴，
∴，
∴ ；
∵对称轴，
∴；
又∵当时，；时，；
∴在中值为正的有3个．
故选C．
4. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )
A. y=2x2+5 B. y=2x2-5 C. y=2（x+5）2 D. y=2（x-5）2
【正确答案】A
【详解】将抛物线向上平移5个单位长度后所得抛物线的解析式为.
故选A.
5. 直线y=kx二、四象限，则抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵y=kx的图象二、四象限，
∴k＜0，
∴在y=kx2+2x+k2中，
a=k＜0，b=2＞0，c=k2＞0，对称轴x= ，
∴抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴在y轴的右侧.
故选C．
点睛：（1）由直线y=kx二、四象限确定k<0；（2）四个选项可知要判断抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置需由“k<0”确定出：①抛物线的开口方向；②抛物线与y轴交点的大致位置；③抛物线的对称轴在y轴的哪一侧.
6. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【分析】据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为−．
【详解】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为−，
∴−=2，
∴k1-k2=4，
故选：C．
本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型，
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
【正确答案】B
【详解】试题分析：由勾股定理得AB=5，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π.故选B．
考点：1.圆锥的计算;2.勾股定理．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA= ， 则AB的长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】如图，CD为Rt△AB斜边AB上高，
∵在Rt△ABC中，sinA= ，
∴若设BC=3k，则AB=5k，
根据勾股定理可得：AC=；
∵在Rt△ACD中，sinA= ，
∴AC=，即4k=h，解得：k=h，
∴AB=5×h=h．
故选C．
9. 若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为（）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶5
【正确答案】C
【详解】∵两个相似三角形的相似比为1:2，
∴这两个相似三角形的面积比为1:4.
10. 如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【正确答案】D
【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．
二.填 空 题（共8题；共9分）
11. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ．
【正确答案】4．
【详解】∵AD∥BE∥CF，BC＝AB，
∴＝=，
即=，
解得EF=4.
故答案为4．
点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12. 如图，直线y＝x与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝x向下平移个6单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为_____；若＝2，则k＝_____．
【正确答案】 ①. （，0） ②. 12
【详解】试题分析：根据题意得到直线BC的解析式，令y=0，得到点C的坐标；根据直线AO和直线BC的解析式与双曲线y=联立求得A，B的坐标，再由已知条件=2，从而求出k值．
解：∵将直线y==x向下平移个6单位后得到直线BC，
∴直线BC解析式为：y==x﹣6，
令y=0，得=x﹣6=0，
∴C点坐标为（，0）；
∵直线y==x与双曲线y=（x＞0）交于点A，
∴A，
又∵直线y==x﹣6与双曲线y=（x＞0）交于点B，且=2，
∴B（+，），将B的坐标代入y=中，得
（+）=k，
解得k=12．
故答案为（，0），12．
点睛：本题主要考查函数与反比例函数的性质. 解题的关键在于要用含k的代数式表示出点的坐标，并建立方程.
13. 写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式________．
【正确答案】y=x2+2（答案没有）．
【详解】试题分析：首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与y轴的交点坐标的纵坐标为2得到c
∴c=2，∴抛物线的解析式可以为：y=﹣x2+x+2（答案没有）．
故答案为y=﹣x2+x+2（答案没有）．
【考点】二次函数的性质．
14. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为_____．
【正确答案】4
【详解】过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2 ，
∴BC=4．
15. 计算：cos30°﹣sin60°=________．
【正确答案】0．
【详解】原式=−
=0，
故答案为0.
16. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，那么该矩形面积的值为________m2 ．
【正确答案】144
【详解】解：∵且，
∴当时，=.
即：该矩形面积值为m2．
故144．
17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2－4ac＞0；③b＝－2a；④a＋b＋c＞2．其中正确的是______(填写序号)
【正确答案】②③④
【详解】①∵抛物线的开口向下，∴a<0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，
∵对称轴为x=−>0，∴a、b异号，即b>0，
∴abc<0；
故本结论错误；
②从图象知,该函数与x轴有两个没有同的交点,所以根的判别式△=b2−4ac>0；
故本结论正确；
③∵对称轴为x=−=1，
∴b=−2a，
故本结论正确；
④由图象知，x=1时y>2，所以a+b+c>2，故本结论正确.
故答案为②③④.
点睛：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及值的熟练运用.
18. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________．
【正确答案】y=
【详解】由题意可设：，
∵当时，，
∴，
∴与间的函数关系式为.
三.解 答 题（共6题；共30分）
19. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
【正确答案】136°
【详解】试题分析：
由∠BOD=88°，根据“圆周角定理”可得∠BAD的度数；由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠BAD+∠BCD=180°，由此即可解得∠BCD的度数.
试题解析：
∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°.
20. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果到0.1m）．
【正确答案】建筑物BC的高度是28.3米.
【详解】试题分析：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，根据矩形的性质得到四边形EG=FB，EF=BG，设CG=x，根据已知条件得到∠EDF=30°及直角三角形得到DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，AB=50+10+x，BC=x+10，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
试题解析：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，
∵CB⊥AB，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=FB，EF=BG，
设CG=x米，∵∠CEG=45°，
∴FB=EG=CG=x，
∵DE坡度i=1： ，
∴∠EDF=30°，
∵DE=20，
∴DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，
∴AB=50+10+x，BC=x+10，
在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，
∴BC=AB•tan∠A，即x+10=（50+10+x），
解得：x≈18.3，
∴BC=28.3米，
答：建筑物BC的高度是28.3米．
点睛：本题考查了仰角与俯角的知识.此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决此题的关键，注意掌握属性思想与方程思想的应用.
21. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【正确答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；
【详解】解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．
22. 小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是的斜坡的处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部和楼顶的仰角分别是、，斜坡高米，米，米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔的高度！请你写出解答过程．（数据，供选用，结果保留整数）
【正确答案】铁塔高AM约17米,过程见解析.
【详解】试题分析：根据坡度求出EF的长度，从而得出GD的长度，然后根据Rt△DBG的三角函数求出BG的长度，根据Rt△DAN的三角函数求出AN的长度，根据AM=AN-MN得出答案.
试题解析：∵斜坡的坡度是i= = ，EF=2， ∴FD=2.5 EF=2.5×2=5，
∵CE=13，CE=GF， ∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18，
在Rt△DBG中，∠GDB=45°， ∴BG=GD=18，
在Rt△DAN中，∠NAD=60°，∴ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，
AN=ND•tan60°=20×=20， ∴AM=AN-MN=AN-BG=20-18≈17（米）
答：铁塔高AM约17米．
点睛：本题主要考查的就是三角函数的在实际问题中的应用问题，属于简单题，对于大部分同学来说难度都没有是很大.在解决这个问题时我们首先必须要理解坡度的定义，然后将所求的线段放入到已知的直角三角形中，然后根据三角函数来进行求线段的长度.同学们在解决这种问题的时候关键就是要明白三角函数中是哪两条边的比.
23. 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子没有全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
【正确答案】测得的树高为4.2米．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，
∴，解得x＝1.08（m），
∴树的影长为：1.08+2.7＝3.78（m），
∴，解得h＝4.2（m）．
答：测得的树高为4.2米．
本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
24. 如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
【正确答案】4200π﹣3600﹣3600
【详解】试题分析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B，则可得O1O2垂直平分AB，由题意可得AC=BC=60，∠AO1B=60°，∠AO2B=90°，由此可得△AO1B是等边三角形，△AO2B是等腰直角三角形，再由S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，即可求得所求面积.
试题解析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B；
则O1O2垂直平分AB，
∵AB=120，
∴AC=BC=60；
由题意得：∠AO1B=，∠AO2B=90°，
又∵O1A=O1B，O2A=O2B，
∴△O1AB，△O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴O1A=AB=120，O2C=AC=60，O2A=O2C=
∴S扇形AO1B=，S扇形AO2B=，
S△AO1B=，S△AO2B=，
∴S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B
=
=（cm2）．
点睛：本题的解题要点是：S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，然后根据已知条件围绕这四个图形的面积进行计算即可.
四.综合题（共1题；共15分）
25. 已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出点A、B、C的坐标．
（2）求S△ABC
（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S△NAB=S△ABC ， 若存在，求出点N的坐标，若没有 存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）6；（3）存在，点N坐标（1+ ，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）
【详解】试题分析：
（1）在解析式中，由，求得的对应值可得点C的坐标；由，求得对应的的值可得点A、B的坐标；
（2）根据（1）中所求点A、B、C坐标可求得△ABC的面积；
（3）设点N的纵坐标为，则由S△NAB=S△ABC可知或，由点N在抛物线上，可得或，解方程即可求得点N的横坐标，从而得到点N的坐标.
试题解析：
（1）在中，当时，，
∴点C的坐标为：（0，﹣3），
当时，，解得：，
∴点A的坐标为：（﹣1，0）、点B的坐标为：（3，0）；
（2）∵点A的坐标为：（﹣1，0）、点B的坐标为：（3，0），
∴AB=3+1=4，
∵点C的坐标为：（0，﹣3），
∴OC=3，
∴S△ABC= AB•OC=×4×3=6；
（3）存在点N，使S△NAB=S△ABC，
设点N的纵坐标为，
∵S△NAB=S△ABC，OC=3，
∴或，
∴或，
解得：或，
∵点N没有与点C重合，
∴点N的坐标为：（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）.
点睛：解第3小题时，需注意两点：（1）根据“等底的两个三角形若面积相等，则高相等”得到△ABN中AB边上的高等于OC时，需注意此时点N可能在轴上方，也可能在下方，因此要分和两种情况讨论；（2）得结论时，需注意点N没有与点C重合这一条件，将重合的坐标舍去.
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中没有一定正确的是（ ）
A. a=c，b=d B. ad=bc C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=m，∠A=β，那么AB的长为（ ）
A. m•sinβ B. m•cosβ C. D.
3. 在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（ ）
A. 沿y轴向上平移3个单位 B. 沿y轴向下平移3个单位
C. 沿x轴向左平移3个单位 D. 沿x轴向右平移3个单位
4. 已知在△ABC中，D是边AC中点，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
5. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
8. 如果两个相似三角形对应高之比为2：5，那么它们的面积比为_____．
9. 已知线段AB的长度为1，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP的长为_____．
10. 已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．
11. 已知一斜坡的坡度i＝1∶2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为______米(到0.1米)
12. 抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是_____．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=_____．
14. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________．
15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．
16. 如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=_____．
17. 请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况_____（填写根的个数及正负）．
18. 如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
三、简答题：（本大题共4题，满分40分）
19. 计算：sin30°•cot260°+sin45°﹣．
20. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF的长；
（2）设，，试用，表示向量．
21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且si=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角没有超过53°时，可确保山体没有滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果到1米）
（参考数据：sin53°≈08，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
四、解 答 题：（本大题共3题，满分38分）
23. 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
24. 如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边等腰三角形，求点E的坐标．
25. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E没有与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中没有一定正确的是（ ）
A. a=c，b=d B. ad=bc C. D.
【正确答案】A
【详解】A.例如a=3，b=6，c=1，d=2，则有=，但是a≠c，b≠d，所以a=c，b=d错误，符合题意；B.∵，∴ad=bc正确，没有符合题意；C.∵，∴a=bk，c=dk，∴正确，没有符合题意；D.∵，∴正确，没有符合题意，故选A．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=m，∠A=β，那么AB的长为（ ）
A. m•sinβ B. m•cosβ C. D.
【正确答案】D
【详解】在直角三角形ABC中，cosβ=，∴AB=；又∵AC=m，∴AB=．故选D．
3. 在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（ ）
A. 沿y轴向上平移3个单位 B. 沿y轴向下平移3个单位
C. 沿x轴向左平移3个单位 D. 沿x轴向右平移3个单位
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3），
抛物线y=2x2的顶点为（0，0），从（0，﹣3）到（0，0）是沿y轴向上平移3个单位，
故选A．
4. 已知在△ABC中，D是边AC的中点，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：如图，利用三角形法则可知，=+=﹣+，∵AD=CD，∴=（﹣+）=﹣，故选C．
5. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．故选C．
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故选B．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
【正确答案】
【详解】由题意，设x=3k，y=4k，则===，故答案为．
8. 如果两个相似三角形的对应高之比为2：5，那么它们的面积比为_____．
【正确答案】4:25
【详解】因为两个相似三角形对应高之比为2:5，所以它们的相似比为2:5，所以面积比=（）2=4:25．故答案为4:25．
9. 已知线段AB长度为1，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP的长为_____．
【正确答案】
【详解】由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB=，故答案为.
10. 已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．
【正确答案】9．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
【详解】∵sinA=，
∴AB==9，
故答案为9．
11. 已知一斜坡的坡度i＝1∶2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为______米(到0.1米)
【正确答案】44.7
【分析】根据题意画出图形，由斜坡的坡度i=1：2可设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得出AB的长，再由BC=20米即可得出结论．
【详解】如图，
∵斜坡的坡度i=1:2，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴AB===，
∴，
∵BC=20，
∴，解得x=≈44.7（米）．
故答案为44.7．
12. 抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是_____．
【正确答案】（0，﹣3）
【详解】抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是（0，﹣3），故答案为（0，﹣3）．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=_____．
【正确答案】-2
【详解】因为抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），所以m﹣2=﹣4，解得m=﹣2．故答案为﹣2．
14. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________．
【正确答案】
【详解】试题解析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b，
把A（0，3）代入，得
3=-1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3．
考点：二次函数图象与几何变换.
15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．
【正确答案】
【详解】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为2+．
16. 如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=_____．
【正确答案】3
【详解】∵DE∥BC，E为AB中点，∴F是AC的中点，∴AF=FC，EF=BC，
∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，
∴ED=BC，∴FD=EF=BC，
∵ED∥BC，∴△DFO∽△BCO，
∴==，∴==，即=3．
故答案为3．
17. 请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况_____（填写根的个数及正负）．
【正确答案】两个正根和一个负根
【详解】如图可知，抛物线y=﹣（x﹣3）2+4和双曲线y=，在象限内有两个交点，在第三象限内有一个交点，所以方程x2+1=有两个正根和一个负根．故答案为两个正根和一个负根．
18. 如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
【正确答案】
【分析】先根据直角三角形的中线、重心的性质得出，再旋转的性质、直角三角形的性质得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】，是的中线
是的重心
（三角形的重心把中线分成两部分）
由旋转的性质得：
，
，
设，则
故答案：．
本题考查了直角三角形中线和重心的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记旋转的性质和三角形重心的性质是解题关键．
三、简答题：（本大题共4题，满分40分）
19. 计算：sin30°•cot260°+sin45°﹣．
【正确答案】
【详解】整体分析：
分别把角的三角函数值代入到原式中，用二次根式的混合运算法则计算.
解：sin30°•cot260°+sin45°﹣
=×()2+×
=+1﹣
=．
20. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF长；
（2）设，，试用，表示向量．
【正确答案】（1） ；（2）
【分析】（1）连接BD交EF于点O，用平行线分线段成比例定理分别求出EO，FO的长；
（2）根据题意可得，=，由三角形法则计算向量.
【详解】（1）连接BD交EF于点O．
∵EO∥AD，AD=3，AE：EB=2：1
∴，∴EO=1，
同理OF=，
∴EF=．
（2）=+，
=+
=+
21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且si=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
【正确答案】边AB的长为6，cos∠CDB=
【详解】整体分析：
过点C作CE⊥AB于点E，解Rt△BCE，求CE，BE，在Rt△ACE中，由CE，tanA的值求AE，则可求AB；在Rt△CDE中，求出DE，CD，由余弦的定义求cos∠CDB.
解：过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，∵BC=，si=，
∴CE=BC·si=×=2，∴BE===2，
在Rt△ACE中，∵tanA=，
∴AE===4，∴AB=AE+BE=4+2=6，
∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，
在Rt△CDE中，∵CD===，
∴cos∠CDB===．
故边AB的长为6，cos∠CDB=．
22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角没有超过53°时，可确保山体没有滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
【正确答案】（1）改造前坡顶与地面的距离BE为24米；（2）BF至少是8米
【分析】（1）Rt△ABE中，根据斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F作FG⊥AD于点G，用∠FAG的余切求出AG即可.
【详解】解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，i=1：，
∴i==，
设BE=12k，AE=5k，
∴AB===13k=26，
∴k=2，
∴AE=10（米），BE=24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，
在Rt△AFG中，cot53°==0.75，
∴AG=18，
∴BF=GE=AG﹣AE=8米，
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
四、解 答 题：（本大题共3题，满分38分）
23. 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；
（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即：，可得答案．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
∴，
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
∴，
∴，即：，
∴．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、平行四边形的性质
24. 如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）B（0，2）；（3）E（2，﹣12+8）
【详解】整体分析：
（1）把A（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx即可求b；（2）由抛物线的性质求OF，AF的长，根据平行线分线段成比例定理，及CE=3BC，求OH，则可得CH，由△ACH∽△ABC求OB；（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），由△ACH∽△AEF，用x表示点E的坐标，根据ED=EH，用勾股定理列方程求解.
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx点A（4，0），
∴﹣16+4b=0，∴b=4，
∴y=﹣x2+4x，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；
（2）∵y=﹣（x﹣2）2+4，顶点D的坐标是（2，4），∴OF=AF=2，
∵BO∥CH∥EF，∴=
∵CE=3BC，∴=，
∴OH=，∴CH=y﹣（﹣2）2+4=，
∵BO∥CH，∴△ACH∽△ABC，
∴=，∴=，∴OB=2，
∴B（0，2）；
（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），则H（x，0），
∵EF∥CH，∴△ACH∽△AEF，
∴=，∴=，∴EF=2x，∴E（2，2x），
∵EH=DE，∴=4﹣2x，
∴x1=﹣6+4，x2=﹣6﹣4（舍），
∴EF=2x=﹣12+8，
∴E（2，﹣12+8）．
25. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E没有与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
【正确答案】（1）CD=，AD=；
（2）y=﹣1，（≤x＜2）；
（3）CE=或；
【详解】试题分析：（1）利用角的三角函数可知sin∠B=，tan∠A=，由此求得线段CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的性质探讨得出答案即可．
试题解析：（1）在Rt△BCD中，
BC=2，∠B=90°﹣∠A=60°，
sin∠B=，
即CD=×2=，
同理tan∠A=，
AD=3；
（2）∵∠CDE=∠BFC=90°﹣∠DCF，∠ECD=∠B=60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴，
即，
∴y=﹣1，（≤x＜2）；
（3）∠EGF=∠CGD=90°
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF=∠GDC，
∴EF∥DC，
∴，
解得x=；
②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF=∠GCD=∠GDF，
∴EF=DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG=DG，
∴CD=CE=；
综上，CE=或；
考点：相似的综合题、角的三角函数、相似三角形的判定与性质
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（A卷）
一.单 选 题（共10题；共20分）
1. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 90°
3. 二次函数y=ax2+bx+c图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )
A. y=2x2+5 B. y=2x2-5 C. y=2（x+5）2 D. y=2（x-5）2
5. 直线y=kx二、四象限，则抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A 12π B. 15π C. 30π D. 60π
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA= ， 则AB的长等于（ ）
A. B. C. D.
9. 若两个相似三角形相似比为1∶2，则它们面积的比为（）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶5
10. 如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
二.填 空 题（共8题；共9分）
11. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ．
12. 如图，直线y＝x与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝x向下平移个6单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为_____；若＝2，则k＝_____．
13. 写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式________．
14. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为_____．
15. 计算：cos30°﹣sin60°=________．
16. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，那么该矩形面积的值为________m2 ．
17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2－4ac＞0；③b＝－2a；④a＋b＋c＞2．其中正确的是______(填写序号)
18. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________．
三.解 答 题（共6题；共30分）
19. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
20. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果到0.1m）．
21. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
22. 小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是的斜坡的处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部和楼顶的仰角分别是、，斜坡高米，米，米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔的高度！请你写出解答过程．（数据，供选用，结果保留整数）
23. 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子没有全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
24. 如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
四.综合题（共1题；共15分）
25. 已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出点A、B、C坐标．
（2）求S△ABC
（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S△NAB=S△ABC ， 若存在，求出点N的坐标，若没有 存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（A卷）
一.单 选 题（共10题；共20分）
1. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A. 1 B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵在上述图形中任取一种，共有6种等可能的结果，其中既是对称图形又是轴对称图形有正方形、矩形、正六边形3种,
∴P（恰好既是对称图形又是轴对称图形）=.
故选D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 90°
【正确答案】B
【分析】要求，即可求，因为是的直径，所以，又，故可求．
【详解】解：是的直径，
；
又（同弧所对的圆周角相等）
．
故选：B．
本题考查了圆周角定理和直径对的圆周角是直角，解题的关键是掌握直径对的圆周角是直角．
3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】由图可知：抛物线开口向上，对称轴，抛物线与y轴交点为负半轴，
∴，
∴ ；
∵对称轴，
∴；
又∵当时，；时，；
∴在中值为正的有3个．
故选C．
4. 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )
A. y=2x2+5 B. y=2x2-5 C. y=2（x+5）2 D. y=2（x-5）2
【正确答案】A
【详解】将抛物线向上平移5个单位长度后所得抛物线的解析式为.
故选A.
5. 直线y=kx二、四象限，则抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵y=kx的图象二、四象限，
∴k＜0，
∴在y=kx2+2x+k2中，
a=k＜0，b=2＞0，c=k2＞0，对称轴x= ，
∴抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴在y轴的右侧.
故选C．
点睛：（1）由直线y=kx二、四象限确定k<0；（2）四个选项可知要判断抛物线y=kx2+2x+k2图象的大致位置需由“k<0”确定出：①抛物线的开口方向；②抛物线与y轴交点的大致位置；③抛物线的对称轴在y轴的哪一侧.
6. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△的面积为2，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【分析】据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为−．
【详解】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为−，
∴−=2，
∴k1-k2=4，
故选：C．
本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型，
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
A. 12π B. 15π C. 30π D. 60π
【正确答案】B
【详解】试题分析：由勾股定理得AB=5，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π.故选B．
考点：1.圆锥的计算;2.勾股定理．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA= ， 则AB的长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】如图，CD为Rt△AB斜边AB上高，
∵在Rt△ABC中，sinA= ，
∴若设BC=3k，则AB=5k，
根据勾股定理可得：AC=；
∵在Rt△ACD中，sinA= ，
∴AC=，即4k=h，解得：k=h，
∴AB=5×h=h．
故选C．
9. 若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为（）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶5
【正确答案】C
【详解】∵两个相似三角形的相似比为1:2，
∴这两个相似三角形的面积比为1:4.
10. 如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【正确答案】D
【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．
二.填 空 题（共8题；共9分）
11. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是________ ．
【正确答案】4．
【详解】∵AD∥BE∥CF，BC＝AB，
∴＝=，
即=，
解得EF=4.
故答案为4．
点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12. 如图，直线y＝x与双曲线y＝(x＞0)交于点A，将直线y＝x向下平移个6单位后，与双曲线y＝(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为_____；若＝2，则k＝_____．
【正确答案】 ①. （，0） ②. 12
【详解】试题分析：根据题意得到直线BC的解析式，令y=0，得到点C的坐标；根据直线AO和直线BC的解析式与双曲线y=联立求得A，B的坐标，再由已知条件=2，从而求出k值．
解：∵将直线y==x向下平移个6单位后得到直线BC，
∴直线BC解析式为：y==x﹣6，
令y=0，得=x﹣6=0，
∴C点坐标为（，0）；
∵直线y==x与双曲线y=（x＞0）交于点A，
∴A，
又∵直线y==x﹣6与双曲线y=（x＞0）交于点B，且=2，
∴B（+，），将B的坐标代入y=中，得
（+）=k，
解得k=12．
故答案为（，0），12．
点睛：本题主要考查函数与反比例函数的性质. 解题的关键在于要用含k的代数式表示出点的坐标，并建立方程.
13. 写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式________．
【正确答案】y=x2+2（答案没有）．
【详解】试题分析：首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与y轴的交点坐标的纵坐标为2得到c
∴c=2，∴抛物线的解析式可以为：y=﹣x2+x+2（答案没有）．
故答案为y=﹣x2+x+2（答案没有）．
【考点】二次函数的性质．
14. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为_____．
【正确答案】4
【详解】过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2 ，
∴BC=4．
15. 计算：cos30°﹣sin60°=________．
【正确答案】0．
【详解】原式=−
=0，
故答案为0.
16. 用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，那么该矩形面积的值为________m2 ．
【正确答案】144
【详解】解：∵且，
∴当时，=.
即：该矩形面积值为m2．
故144．
17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，对称轴是直线x＝1，有以下四个结论：
①abc＞0；②b2－4ac＞0；③b＝－2a；④a＋b＋c＞2．其中正确的是______(填写序号)
【正确答案】②③④
【详解】①∵抛物线的开口向下，∴a<0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，
∵对称轴为x=−>0，∴a、b异号，即b>0，
∴abc<0；
故本结论错误；
②从图象知,该函数与x轴有两个没有同的交点,所以根的判别式△=b2−4ac>0；
故本结论正确；
③∵对称轴为x=−=1，
∴b=−2a，
故本结论正确；
④由图象知，x=1时y>2，所以a+b+c>2，故本结论正确.
故答案为②③④.
点睛：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及值的熟练运用.
18. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________．
【正确答案】y=
【详解】由题意可设：，
∵当时，，
∴，
∴与间的函数关系式为.
三.解 答 题（共6题；共30分）
19. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
【正确答案】136°
【详解】试题分析：
由∠BOD=88°，根据“圆周角定理”可得∠BAD的度数；由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠BAD+∠BCD=180°，由此即可解得∠BCD的度数.
试题解析：
∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°.
20. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取=1.732，结果到0.1m）．
【正确答案】建筑物BC的高度是28.3米.
【详解】试题分析：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，根据矩形的性质得到四边形EG=FB，EF=BG，设CG=x，根据已知条件得到∠EDF=30°及直角三角形得到DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，AB=50+10+x，BC=x+10，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
试题解析：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，
∵CB⊥AB，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=FB，EF=BG，
设CG=x米，∵∠CEG=45°，
∴FB=EG=CG=x，
∵DE坡度i=1： ，
∴∠EDF=30°，
∵DE=20，
∴DF=20cos30°=10，BG=EF=20sin30°=10，
∴AB=50+10+x，BC=x+10，
在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，
∴BC=AB•tan∠A，即x+10=（50+10+x），
解得：x≈18.3，
∴BC=28.3米，
答：建筑物BC的高度是28.3米．
点睛：本题考查了仰角与俯角的知识.此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决此题的关键，注意掌握属性思想与方程思想的应用.
21. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【正确答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；
【详解】解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．
22. 小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是的斜坡的处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部和楼顶的仰角分别是、，斜坡高米，米，米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔的高度！请你写出解答过程．（数据，供选用，结果保留整数）
【正确答案】铁塔高AM约17米,过程见解析.
【详解】试题分析：根据坡度求出EF的长度，从而得出GD的长度，然后根据Rt△DBG的三角函数求出BG的长度，根据Rt△DAN的三角函数求出AN的长度，根据AM=AN-MN得出答案.
试题解析：∵斜坡的坡度是i= = ，EF=2， ∴FD=2.5 EF=2.5×2=5，
∵CE=13，CE=GF， ∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18，
在Rt△DBG中，∠GDB=45°， ∴BG=GD=18，
在Rt△DAN中，∠NAD=60°，∴ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，
AN=ND•tan60°=20×=20， ∴AM=AN-MN=AN-BG=20-18≈17（米）
答：铁塔高AM约17米．
点睛：本题主要考查的就是三角函数的在实际问题中的应用问题，属于简单题，对于大部分同学来说难度都没有是很大.在解决这个问题时我们首先必须要理解坡度的定义，然后将所求的线段放入到已知的直角三角形中，然后根据三角函数来进行求线段的长度.同学们在解决这种问题的时候关键就是要明白三角函数中是哪两条边的比.
23. 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子没有全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？
【正确答案】测得的树高为4.2米．
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，
∴，解得x＝1.08（m），
∴树的影长为：1.08+2.7＝3.78（m），
∴，解得h＝4.2（m）．
答：测得的树高为4.2米．
本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
24. 如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
【正确答案】4200π﹣3600﹣3600
【详解】试题分析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B，则可得O1O2垂直平分AB，由题意可得AC=BC=60，∠AO1B=60°，∠AO2B=90°，由此可得△AO1B是等边三角形，△AO2B是等腰直角三角形，再由S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，即可求得所求面积.
试题解析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B；
则O1O2垂直平分AB，
∵AB=120，
∴AC=BC=60；
由题意得：∠AO1B=，∠AO2B=90°，
又∵O1A=O1B，O2A=O2B，
∴△O1AB，△O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴O1A=AB=120，O2C=AC=60，O2A=O2C=
∴S扇形AO1B=，S扇形AO2B=，
S△AO1B=，S△AO2B=，
∴S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B
=
=（cm2）．
点睛：本题的解题要点是：S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，然后根据已知条件围绕这四个图形的面积进行计算即可.
四.综合题（共1题；共15分）
25. 已知二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出点A、B、C的坐标．
（2）求S△ABC
（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S△NAB=S△ABC ， 若存在，求出点N的坐标，若没有 存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）6；（3）存在，点N坐标（1+ ，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）
【详解】试题分析：
（1）在解析式中，由，求得的对应值可得点C的坐标；由，求得对应的的值可得点A、B的坐标；
（2）根据（1）中所求点A、B、C坐标可求得△ABC的面积；
（3）设点N的纵坐标为，则由S△NAB=S△ABC可知或，由点N在抛物线上，可得或，解方程即可求得点N的横坐标，从而得到点N的坐标.
试题解析：
（1）在中，当时，，
∴点C的坐标为：（0，﹣3），
当时，，解得：，
∴点A的坐标为：（﹣1，0）、点B的坐标为：（3，0）；
（2）∵点A的坐标为：（﹣1，0）、点B的坐标为：（3，0），
∴AB=3+1=4，
∵点C的坐标为：（0，﹣3），
∴OC=3，
∴S△ABC= AB•OC=×4×3=6；
（3）存在点N，使S△NAB=S△ABC，
设点N的纵坐标为，
∵S△NAB=S△ABC，OC=3，
∴或，
∴或，
解得：或，
∵点N没有与点C重合，
∴点N的坐标为：（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）.
点睛：解第3小题时，需注意两点：（1）根据“等底的两个三角形若面积相等，则高相等”得到△ABN中AB边上的高等于OC时，需注意此时点N可能在轴上方，也可能在下方，因此要分和两种情况讨论；（2）得结论时，需注意点N没有与点C重合这一条件，将重合的坐标舍去.
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中没有一定正确的是（ ）
A. a=c，b=d B. ad=bc C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=m，∠A=β，那么AB的长为（ ）
A. m•sinβ B. m•cosβ C. D.
3. 在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（ ）
A. 沿y轴向上平移3个单位 B. 沿y轴向下平移3个单位
C. 沿x轴向左平移3个单位 D. 沿x轴向右平移3个单位
4. 已知在△ABC中，D是边AC中点，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
5. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
8. 如果两个相似三角形对应高之比为2：5，那么它们的面积比为_____．
9. 已知线段AB的长度为1，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP的长为_____．
10. 已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．
11. 已知一斜坡的坡度i＝1∶2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为______米(到0.1米)
12. 抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是_____．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=_____．
14. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________．
15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．
16. 如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=_____．
17. 请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况_____（填写根的个数及正负）．
18. 如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
三、简答题：（本大题共4题，满分40分）
19. 计算：sin30°•cot260°+sin45°﹣．
20. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF的长；
（2）设，，试用，表示向量．
21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且si=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角没有超过53°时，可确保山体没有滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果到1米）
（参考数据：sin53°≈08，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
四、解 答 题：（本大题共3题，满分38分）
23. 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
24. 如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边等腰三角形，求点E的坐标．
25. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E没有与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
2022-2023学年浙江省三市联考九年级上册数学期末专项突破模拟（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中没有一定正确的是（ ）
A. a=c，b=d B. ad=bc C. D.
【正确答案】A
【详解】A.例如a=3，b=6，c=1，d=2，则有=，但是a≠c，b≠d，所以a=c，b=d错误，符合题意；B.∵，∴ad=bc正确，没有符合题意；C.∵，∴a=bk，c=dk，∴正确，没有符合题意；D.∵，∴正确，没有符合题意，故选A．
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=m，∠A=β，那么AB的长为（ ）
A. m•sinβ B. m•cosβ C. D.
【正确答案】D
【详解】在直角三角形ABC中，cosβ=，∴AB=；又∵AC=m，∴AB=．故选D．
3. 在直角坐标平面内，如果抛物线y=2x2﹣3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的要求是（ ）
A. 沿y轴向上平移3个单位 B. 沿y轴向下平移3个单位
C. 沿x轴向左平移3个单位 D. 沿x轴向右平移3个单位
【正确答案】A
【详解】解：∵抛物线y=2x2﹣3的顶点为（0，﹣3），
抛物线y=2x2的顶点为（0，0），从（0，﹣3）到（0，0）是沿y轴向上平移3个单位，
故选A．
4. 已知在△ABC中，D是边AC的中点，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：如图，利用三角形法则可知，=+=﹣+，∵AD=CD，∴=（﹣+）=﹣，故选C．
5. 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．故选C．
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故选B．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
【正确答案】
【详解】由题意，设x=3k，y=4k，则===，故答案为．
8. 如果两个相似三角形的对应高之比为2：5，那么它们的面积比为_____．
【正确答案】4:25
【详解】因为两个相似三角形对应高之比为2:5，所以它们的相似比为2:5，所以面积比=（）2=4:25．故答案为4:25．
9. 已知线段AB长度为1，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP的长为_____．
【正确答案】
【详解】由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB=，故答案为.
10. 已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．
【正确答案】9．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
【详解】∵sinA=，
∴AB==9，
故答案为9．
11. 已知一斜坡的坡度i＝1∶2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为______米(到0.1米)
【正确答案】44.7
【分析】根据题意画出图形，由斜坡的坡度i=1：2可设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得出AB的长，再由BC=20米即可得出结论．
【详解】如图，
∵斜坡的坡度i=1:2，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴AB===，
∴，
∵BC=20，
∴，解得x=≈44.7（米）．
故答案为44.7．
12. 抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是_____．
【正确答案】（0，﹣3）
【详解】抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是（0，﹣3），故答案为（0，﹣3）．
13. 抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=_____．
【正确答案】-2
【详解】因为抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），所以m﹣2=﹣4，解得m=﹣2．故答案为﹣2．
14. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________．
【正确答案】
【详解】试题解析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b，
把A（0，3）代入，得
3=-1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3．
考点：二次函数图象与几何变换.
15. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．
【正确答案】
【详解】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为2+．
16. 如图，已知AB∥CD，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC交AB于点E，E为AB中点，交AC于点F，则=_____．
【正确答案】3
【详解】∵DE∥BC，E为AB中点，∴F是AC的中点，∴AF=FC，EF=BC，
∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，
∴ED=BC，∴FD=EF=BC，
∵ED∥BC，∴△DFO∽△BCO，
∴==，∴==，即=3．
故答案为3．
17. 请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况_____（填写根的个数及正负）．
【正确答案】两个正根和一个负根
【详解】如图可知，抛物线y=﹣（x﹣3）2+4和双曲线y=，在象限内有两个交点，在第三象限内有一个交点，所以方程x2+1=有两个正根和一个负根．故答案为两个正根和一个负根．
18. 如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
【正确答案】
【分析】先根据直角三角形的中线、重心的性质得出，再旋转的性质、直角三角形的性质得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】，是的中线
是的重心
（三角形的重心把中线分成两部分）
由旋转的性质得：
，
，
设，则
故答案：．
本题考查了直角三角形中线和重心的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记旋转的性质和三角形重心的性质是解题关键．
三、简答题：（本大题共4题，满分40分）
19. 计算：sin30°•cot260°+sin45°﹣．
【正确答案】
【详解】整体分析：
分别把角的三角函数值代入到原式中，用二次根式的混合运算法则计算.
解：sin30°•cot260°+sin45°﹣
=×()2+×
=+1﹣
=．
20. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，AE：EB=2：1．
（1）求线段EF长；
（2）设，，试用，表示向量．
【正确答案】（1） ；（2）
【分析】（1）连接BD交EF于点O，用平行线分线段成比例定理分别求出EO，FO的长；
（2）根据题意可得，=，由三角形法则计算向量.
【详解】（1）连接BD交EF于点O．
∵EO∥AD，AD=3，AE：EB=2：1
∴，∴EO=1，
同理OF=，
∴EF=．
（2）=+，
=+
=+
21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且si=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．
【正确答案】边AB的长为6，cos∠CDB=
【详解】整体分析：
过点C作CE⊥AB于点E，解Rt△BCE，求CE，BE，在Rt△ACE中，由CE，tanA的值求AE，则可求AB；在Rt△CDE中，求出DE，CD，由余弦的定义求cos∠CDB.
解：过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，∵BC=，si=，
∴CE=BC·si=×=2，∴BE===2，
在Rt△ACE中，∵tanA=，
∴AE===4，∴AB=AE+BE=4+2=6，
∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，
在Rt△CDE中，∵CD===，
∴cos∠CDB===．
故边AB的长为6，cos∠CDB=．
22. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角没有超过53°时，可确保山体没有滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
【正确答案】（1）改造前坡顶与地面的距离BE为24米；（2）BF至少是8米
【分析】（1）Rt△ABE中，根据斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F作FG⊥AD于点G，用∠FAG的余切求出AG即可.
【详解】解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，i=1：，
∴i==，
设BE=12k，AE=5k，
∴AB===13k=26，
∴k=2，
∴AE=10（米），BE=24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，
在Rt△AFG中，cot53°==0.75，
∴AG=18，
∴BF=GE=AG﹣AE=8米，
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
四、解 答 题：（本大题共3题，满分38分）
23. 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；
（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即：，可得答案．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
∴，
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
∴，
∴，即：，
∴．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、平行四边形的性质
24. 如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）B（0，2）；（3）E（2，﹣12+8）
【详解】整体分析：
（1）把A（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx即可求b；（2）由抛物线的性质求OF，AF的长，根据平行线分线段成比例定理，及CE=3BC，求OH，则可得CH，由△ACH∽△ABC求OB；（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），由△ACH∽△AEF，用x表示点E的坐标，根据ED=EH，用勾股定理列方程求解.
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx点A（4，0），
∴﹣16+4b=0，∴b=4，
∴y=﹣x2+4x，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；
（2）∵y=﹣（x﹣2）2+4，顶点D的坐标是（2，4），∴OF=AF=2，
∵BO∥CH∥EF，∴=
∵CE=3BC，∴=，
∴OH=，∴CH=y﹣（﹣2）2+4=，
∵BO∥CH，∴△ACH∽△ABC，
∴=，∴=，∴OB=2，
∴B（0，2）；
（3）设点C的坐标为（x，﹣x2+4x），则H（x，0），
∵EF∥CH，∴△ACH∽△AEF，
∴=，∴=，∴EF=2x，∴E（2，2x），
∵EH=DE，∴=4﹣2x，
∴x1=﹣6+4，x2=﹣6﹣4（舍），
∴EF=2x=﹣12+8，
∴E（2，﹣12+8）．
25. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E没有与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
【正确答案】（1）CD=，AD=；
（2）y=﹣1，（≤x＜2）；
（3）CE=或；
【详解】试题分析：（1）利用角的三角函数可知sin∠B=，tan∠A=，由此求得线段CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的性质探讨得出答案即可．
试题解析：（1）在Rt△BCD中，
BC=2，∠B=90°﹣∠A=60°，
sin∠B=，
即CD=×2=，
同理tan∠A=，
AD=3；
（2）∵∠CDE=∠BFC=90°﹣∠DCF，∠ECD=∠B=60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴，
即，
∴y=﹣1，（≤x＜2）；
（3）∠EGF=∠CGD=90°
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF=∠GDC，
∴EF∥DC，
∴，
解得x=；
②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF=∠GCD=∠GDF，
∴EF=DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG=DG，
∴CD=CE=；
综上，CE=或；
考点：相似的综合题、角的三角函数、相似三角形的判定与性质
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