2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一卷二）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 数据1，3，3，4，5的众数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象，下列说确的是（　　）
A. 当x=1时，y有最小值2 B. 当x=1时，y有值2
C. 当﹣1时，y有最小值2 D. 当x=﹣1时，y有值2
6. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
7. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta的值为(　　)
A. B. C. D.
8. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（　　）

A. B. 2 C. D.
9. 若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（）都在抛物线y=﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. 2＜y1＜y3
10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△ABF：S四边形CDEF=2：5；④cos∠CAD=．其中正确的结论有（　　）．

A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：____________．
12. 如果一组数据1，0，﹣2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是_____．
13. 二次函数y=x2﹣2x+5图象顶点坐标为_____．
14. 已知m是方程3x2﹣6x﹣2=0的一根，则m2﹣2m=_____．
15. 一组射击运动员的测试成绩如下表：则中位数是_____．
成绩
6
7
8
9
10
次数
1
2
4
5
2

16. 圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.
17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．

18. 如图，MN是⊙O的直径，MN=2a，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA+PB的最小值为_____．（用含a的代数式表示）

三、解 答 题：（本大题共10小题，共76分）
19. 解方程

20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B为位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1．
（2）点C1的坐标为（　 　，　 　）．

21. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．

（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
22. 如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果到米）
23. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出；
①当函数值y为正数时，自变量x取值范围；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．

24. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
25. （2016包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．

26. 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，CD=2．
①若∠C=30°，求图中阴影部分的面积；
②若，求BE长．

27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上．点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，1cm半径作⊙O．点P与点D同时出发，设它们的运动时间为t(单位：s)(0≤t≤)．
(1)如图1，连接DQ，若DQ平分∠BDC，则t的值为_____s；
(2)如图2，连接CM，设△CMQ面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)在运动过程中，当t为何值时，⊙O与MN次相切？

28. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．











2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 数据1，3，3，4，5的众数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B

【详解】试题分析：3出现的次数至多，因而众数是3．故选B．
考点：众数．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
则．
故选：B．
此题考查比例的基本性质熟记性质并进行正确的变形计算是解题的关键．
3. 下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】分别找出a、b、c代入△=b2-4ac计算，再根据计算的结果进行判断．
【详解】A．△=，方程没有实数根；
B．△=，方程没有实数根；
C．△=，方程有两个没有相等的实数根；
D．由，得：，∵，∴方程没有实数根；
故选C．
4. 一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．故选D．
考点：概率公式．

5. 对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象，下列说确的是（　　）
A. 当x=1时，y有最小值2 B. 当x=1时，y有值2
C. 当﹣1时，y有最小值2 D. 当x=﹣1时，y有值2
【正确答案】B

【详解】对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，
∵﹣1＜0，
∴二次函数的开口向下，有值，
∴x=1时，y的值为2．
故选B．
6. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】D

【分析】直接根据圆周角定理即可求解．
【详解】如图，连结OC，
∵，
∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°
故选：D

本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则ta的值为(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】先根据sinA＝设三边分别为BC=3x，AC=4x，AB=5x，则就可以求出ta.
【详解】
sinA＝
设三边分别为BC=3x，AC=4x，AB=5x
ta=
故选A
此题考察学生对三角函数值的应用，把握三角函数值的计算方法是解题的关键.
8. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（　　）

A. B. 2 C. D.
【正确答案】A

【详解】连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°=，
故选A
9. 若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（）都在抛物线y=﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. 2＜y1＜y3
【正确答案】B

【详解】观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．

故选B.
10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△ABF：S四边形CDEF=2：5；④cos∠CAD=．其中正确的结论有（　　）．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】A

【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，
∴S△ABF：S四边形CDEF=2：5，故③正确；
∵cos∠CAD=，故④正确；
故选A
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键，解题时注意，相似三角形的对应边成比例.
二、填 空 题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：____________．
【正确答案】

【分析】直接利用角的三角函数值填空即可．
【详解】解：，
故．
本题考查了角的三角函数值，熟记部分角的三角函数值是解题的关键．
12. 如果一组数据1，0，﹣2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是_____．
【正确答案】4

【详解】当x为最小值时，2﹣x=6，解得：x=﹣4，
∵x＞0，∴没有合题意，舍去；
当x为值时，x﹣（﹣2）=6，解得：x=4．
故答案为4．
13. 二次函数y=x2﹣2x+5图象的顶点坐标为_____．
【正确答案】(1，4）

【详解】∵y=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
故答案为（1，4）．
14. 已知m是方程3x2﹣6x﹣2=0的一根，则m2﹣2m=_____．
【正确答案】

【详解】把x=m代入方程得：3m2﹣6m﹣2=0，
即3m2﹣6m=2，3（m2﹣2m）=2，
∴m2﹣2m=，
故答案是：．
15. 一组射击运动员的测试成绩如下表：则中位数是_____．
成绩
6
7
8
9
10
次数
1
2
4
5
2

【正确答案】8.5

【详解】把这些数从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，
则中位数是（8+9）÷2=8.5．
故答案为8.5．
16. 圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.
【正确答案】216°.

【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),
设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,
解得n=216.
故答案为216°.
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．

【正确答案】2.

【分析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．先证明△ACD为直角三角形，证△ABC∽△CHD，即可得解.
【详解】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
又CD＝10，DA＝，
可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
易证△ABC∽△CHD，
则CH＝6，DH＝8，
∴BD＝．

考点：相似三角形判定及性质；勾股定理.
18. 如图，MN是⊙O的直径，MN=2a，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA+PB的最小值为_____．（用含a的代数式表示）

【正确答案】a

【详解】作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于P，如图，

则PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′，
∴此时PA+PB的值最小，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵点B为弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=40°，
∵B点关于MN的对称点B′，
∴∠B′ON=40°，
∴∠AOB′=120°，
作OH⊥AB′于H，如图，则AH=B′H，
在Rt△AOH中，∠A=30°，
∴OH=OA=a，
∴AH=OH=a，
∴AB′=2AH=a，
即 PA+PB的最小值为a．
故答案为a．
点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解.
三、解 答 题：（本大题共10小题，共76分）
19. 解方程

【正确答案】

【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
∴或，
∴；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.
20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B位似，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1．
（2）点C1的坐标为（　 　，　 　）．

【正确答案】(1)见解析；（2）(1,0)

【详解】试题分析：延长BA到A1，使BA1=2BA，则点A1为点A的对应点，同样方法得到C点的对应点C1，点B1与B点重合，则可得到△A1B1C1；
（2）由（1）中的图形即可写出点C1的坐标.
试题解析：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）由图可得，C1点的坐标为（1，0）．
故（1，0）．
21. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．

（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）π

【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故，
答：的长为π．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等角对等边、弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22. 如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果到米）
【正确答案】（1）山坡高度为400米；
（2）山CF的高度约为541米．

【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，

在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，
∴BH=800•sin30°=400，
∴EF=BH=400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，
∴CE=200•sin45°=100，
∴CF=CE+EF=（100+400）（米）．
答：山峰的高度CF为（100+400）米.
23. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出；
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．

【正确答案】(1)见解析；（2）①﹣1＜x＜3；②﹣5＜y＜4．

【详解】（1）配方后即可确定顶点坐标及对称轴；
（2）确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴交点坐标即可确定抛物线的解析式；
（3）根据图象利用数形的方法确定答案即可；
24. 甲、乙两个没有透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【正确答案】（1）树状图见解析；（2）.

【详解】试题分析：先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．
试题解析：（1）树状图如下：

（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为，
即P（两个数字之和能被3整除）=．
本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机A的概率P（A）等于A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
25. （2016包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．

【正确答案】（1）；（2）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．

【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．
【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
26. 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，CD=2．
①若∠C=30°，求图中阴影部分的面积；
②若，求BE的长．

【正确答案】(1)证明见解析；（2）①4-；②．

【详解】试题分析：（1）首先连接OD，由AB是直径，可得∠ADB=90°，然后由∠CDA=∠CBD，求得∠CDO=90°，即可证得结论；
（2）①由∠CBD=30°，可得△ADO是边长为1的等边三角形，继而求得CD的长，然后由S阴影=S四边形OBED﹣S扇形OBD求得答案；②由∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，可证得△CDA∽△CBD，可得比例式=，从而CB=3.在直角△CBE中，由勾股定理得到BE的长．
试题解析：（1）连OD．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠2=90°．
又∵∠CDA=∠CBD，∠2=∠CBD，
∴∠2=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）①∵BE是⊙O切线，
∴BE⊥BC．
∵∠C=30°，
∴∠E=60°．
∵DE是⊙O的切线，ED=EB，
∴△EBD是等边三角形，
∴∠EBD=60°，
∴∠DBC=30°，
∴DB=CD=2，EB=ED=BD=2．
Rt△COD中，∵∠C=30°，CD=2，
∴OD=2．
∴S四边形OBED=2S△BEO=2××2×3=4．
S扇形OBD==，
则S阴影=S四边形OBED﹣S扇形OBD=4﹣；
②∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，
∴△CDA∽△CBD
∴=，即=，
∴CB=3．
设BE=ED=x，在直角△CBE中，由勾股定理得到：x2+（3）2=（2+x）2，
解得x=，所以BE的长为．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上．点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，1cm半径作⊙O．点P与点D同时出发，设它们的运动时间为t(单位：s)(0≤t≤)．
(1)如图1，连接DQ，若DQ平分∠BDC，则t的值为_____s；
(2)如图2，连接CM，设△CMQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)在运动过程中，当t为何值时，⊙O与MN次相切？

【正确答案】（1）1s; （2）S=﹣t2+t；（3）.

【详解】试题分析：（1）由△DQC≌△DQP，推出DP=DC=6，在Rt△ADB中，BD=10，推出PB=4即可解决问题；
（2）过点M作MH⊥BC于点H，证明△HMQ∽△PQB，，由=，得MH=t，即可求得△CMQ的面积；
（3）设⊙O与MN相切于点E，连接OE，作OF⊥BD于点F，可证得△DFO∽△DCB，
由此即可解得：t值．
试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=6cm、AD=BC=8cm，
则DB=10cm，
∵四边形PQMN为正方形，
∴∠BPQ=∠C=90°，
∵∠PBQ=∠CBD，
∴△BPQ∽△BCD，
∴==，即==，
则BQ=5t、PQ=3t，
∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，
∵DQ平分∠BDC，
∴QP=QC，即3t=8﹣5t，
解得：t=1，
故答案为1；
（2）如图a，过点M作MH⊥BC于点H，

∴∠MHQ=∠QPB=∠MQP=90°，
则∠HMQ+∠HQM=∠PQB+∠HQM=90°，
∴∠HMQ=∠PQB，
∴△HMQ∽△PQB，
∴=，即=，
则MH=t，
∴S=×（8﹣5t）•t=﹣t2+t；
（3）如图b，设⊙O与MN相切于点E，连接OE，作OF⊥BD于点F，

则四边形OENF为矩形，
∴OE=FN=1，∠DFO=∠C=90°，
∵∠FDO=∠CDB，
∴△DFO∽△DCB，
∴，即，
解得：t=．
点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是了灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程思想思考问题，充分利用相似三角形的性质构建方程，属于中考压轴题.
28. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.

【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6 ∴当m＝时，四边形AECP的面积值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．



2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2＋＝0 B. ax2＋bx＋c＝0
C. （x﹣1）（x＋2）＝1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2＝0
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实根 B. 有两个相等的实根
C 无实数根 D. 没有能确定
3. 三角形外心是（ ）．
A. 各内角的平分线的交点
B. 各边中线的交点
C. 各边垂线的交点
D. 各边垂直平分线的交点
4. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且
5. 某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台.设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是( )
A B.
C. D.
6. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )

A. 15 B. 28 C. 29 D. 34
7. 下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
8. 平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是(　 )
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形
9. 如图，半径为1四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（ ）

A. 2 B. 2＋2 C. 2 D. 2＋
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 将一元二次方程化成一般形式为 _____
12. 已知是方程的一个根，则的值是________.
13. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠OBC = ___°．

14. 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为____．

15. 如图，直角坐标系中一条圆弧格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是_______．

16. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________.
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．

18. 如图，在⊙中，，，则⊙的直径为________.

三、解 答 题(共76分)
19. 解方程:
(1) ;
(2) (用配方法);
(3)
(4)
20. 已知关于的一元二次方程.
(1)求证:方程有两个没有相等的实数根;
(2)请你给定一个值，使得方程的两个根为有理数，并求出这两个根.
21. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；要求保留作图痕迹，没有写作法
若的中点C到弦AB的距离为，求所在圆的半径．

22. 如图，是⊙的直径，弦与相交于点，，. 求的度数.


23. 为了帮助贫困家庭脱困，精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的长方形养鸡场，长方形的面积为45m2（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门．求这个养鸡场的长与宽．

24. 如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(没有与点、重合).
(1)当圆心在内部，时，________.
(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;
(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.

25. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，个月以单价80元，售出了200件；第二个月如果单价没有变，预计仍可售出200件，批发商为增加量，决定降价，根据市场，单价每降低1元，可多售出10件，但单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤性清仓，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．
（1）填表：（没有需化简）

（2）如果批发商希望通过这批T恤获利9000元，那么第二个月单价应是多少元？
26. 如图，在中，，是的中点，以为直径的⊙交的边于点、、
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若，求的度数.

27. 如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C没有在上，且没有与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
28. 如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得没有过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若没有存在，请说明理由．


























2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷二）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2＋＝0 B. ax2＋bx＋c＝0
C. （x﹣1）（x＋2）＝1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【正确答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、为分式方程，所以该选项没有符合题意；
B、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项没有符合题意；
C、原方程化简得，是一元二次方程，所以该选项符合题意；
D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0含有两个未知数，没有是一元二次方程，所以该选项没有符合题意；
故选：C．
本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程整理，都能化成如下形式()，这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实根 B. 有两个相等的实根
C. 无实数根 D. 没有能确定
【正确答案】C

【详解】∵△=(-3)2-4×1×4=9-16=-7<0,
∵方程没有实数根.
故选C.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根；
3. 三角形的外心是（ ）．
A. 各内角的平分线的交点
B. 各边中线的交点
C. 各边垂线的交点
D. 各边垂直平分线的交点
【正确答案】D

【详解】试题分析：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选D．
考点：三角形的外接圆与外心．
4. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且
【正确答案】B

【分析】一元二次方程有两个没有相等的实数根必须满足（1）二次项系数没有为零；（2）根的判别式，由此即可求解．
【详解】由题意知，k≠0，
∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故选B．
本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键．
5. 某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台.设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产980台”，即可列出方程．
【详解】根据等量关系：二月份的产量+三月份的产量=980，
可列方程.
故选B.
6. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )

A. 15 B. 28 C. 29 D. 34
【正确答案】B

【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.
【详解】
由题意得∠AOB=86°-30°=56°
则∠ACB∠AOB=28°
故选B.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
7. 下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【正确答案】C

【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；
②中，应此半径的外端，故错误；
③中，根据切线的判定方法，正确；
④中，根据切线的判定方法，正确．
故选C.
点睛：要正确理解切线的定义：和圆有公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．
8. 平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是(　 )
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形
【正确答案】C

【详解】试题分析：因为圆内接四边形的对角互补，即圆的内接四边形对角和为180°，要保证对角和为180°，A、C选项都符合，但正方形是的矩形，所以该平行四边形为矩形．
故选C．
【考点】圆内接四边形性质；平行四边形的性质；矩形的判定．
9. 如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵半径为1的四个圆两两相切，
∴四边形是边长为2的正方形，圆的面积为π，
阴影部分的面积=2×2−π=4−π，
故选A.
10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（ ）

A. 2 B. 2＋2 C. 2 D. 2＋
【正确答案】D

【分析】作辅助线,根据垂径定理得AE=,勾股定理得PE=1,证明△PDE为等腰直角三角形即可解题.
【详解】解：如图所示,过点P作PE⊥AB于E,点P作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.
∵AB=2,
∴AE=
又PA=2,
根据勾股定理得PE=1.
∵点D直线y=x上,故∠DOC=45°,
又∠DCO=90°,
∴∠ODC=45°,
∴∠PDE=∠ODC=45°,故∠DPE=∠PDE=45°,
∴DE= PE=1, PD=
又∵OC=2,
∴DC=OC=2,
故a=PD+DC=2+.

故选D
本题考查了垂径定理,勾股定理,等腰直角三角形的性质,中等难度,作辅助线,构造直角三角形是解题关键.
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 将一元二次方程化成一般形式为 _____
【正确答案】

【详解】试题分析：直接去括号，得，再将常数项移往左边，化成一般式即可.
考点：一元二次方程的一般形式.
12. 已知是方程的一个根，则的值是________.
【正确答案】-1

【详解】把代入得
(-2)2-2m-6=0,
解之得
m=-1.
13. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠OBC = ___°．

【正确答案】66．

【详解】∵∠BOC、∠BAC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=48°．
14. 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为____．

【正确答案】40°．

【分析】由AD是直径，可得∠ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，可求得∠A的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】解：∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为40°．
此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系，圆内接四边形的性质．注意掌握数形思想的应用．
15. 如图，直角坐标系中一条圆弧格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是_______．

【正确答案】（1，1）.

【详解】试题分析：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心D（1，1）．
故答案为（1，1）．

考点：1．垂径定理的应用；2．坐标与图形性质；3．勾股定理．
16. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________.
【正确答案】4

【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-2，则有，然后两边平方得到=4．
【详解】由得，解得，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，
∴，
∴=4.
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．

【正确答案】.

【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
18. 如图，在⊙中，，，则⊙的直径为________.

【正确答案】

【详解】如图，作OE⊥BC于E，连接OC.

∵∠A=∠D=60°,∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=3，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC= ，
∵∠EOC=60°，
∴sin60°=，
∴OC=，
∴O直径为2.
点睛：本题考察了圆周角定理的推论，垂径定理，解直角三角形.如图，由圆周角定理可得∠A=∠D=60°,从而△ABC是等边三角形；作OE⊥BC于E，连接OC．在Rt△OEC中，根据sin60°=,计算即可．
三、解 答 题(共76分)
19. 解方程:
(1) ;
(2) (用配方法);
(3)
(4)
【正确答案】(1) ； (2) ；(3) ；(4).

【详解】试题分析：（1）移项后两边开方，求出方程的解即可；
（2）把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上项系数-5的一半的平方；
（3）利用配方法解方程；
（4）设t=x-2，原方程转化为9t2-6t+1=0，通过解该方程求得t的值；然后代入来求x的值．
解：(1)(x−5)2−9=0，
(x−5)2=9，
x−5=±3，
x1=8,x2=2；
(2)x2−5x+1=0，
x2−5x=−1
x2−5x+=−1+，
(x−)2=
x1= ,x2=；
(3)3y2−1=6y，
 y2−2y+1=+1，
(y−1)2=，
y−1=±，
y1= ,y2=；
(4)设t=x−2,原方程转化为9t2−6t+1=0，
整理，得
(3t−1)2=0，
解得t=，
所以x−2=，
则x1=x2=.
20. 已知关于的一元二次方程.
(1)求证:方程有两个没有相等的实数根;
(2)请你给定一个值，使得方程的两个根为有理数，并求出这两个根.
【正确答案】见解析

【详解】试题分析：（1）根据△=b2-4ac,求出△，从而可判定方程根的情况；
（2）本题答案没有，可让常数项等于0求出k的值，即-k-3=0, k=-3.
解：（1）△=k²-4×2(-k-3)
=k²+8k+24
= k²+8k+16+8
=(k+4)²+8
∵ (k+4)²＞0,即(k+4)²+8＞0,
∴△＞0
所以方程有两个没有等实根；
（2）当k=-3时，原方程变为，
x(2x-3)=0,
∴x1=0,x2=
21. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；要求保留作图痕迹，没有写作法
若的中点C到弦AB的距离为，求所在圆的半径．

【正确答案】(1)见解析；（2）50m

【分析】连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
连接交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到，则，设的半径为r，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：如图1，

点O为所求；
连接交AB于D，如图2，

为的中点，
，
，
设的半径为r，则，
在中，，
，解得，
即所在圆半径是50m．
本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系，能将生活中的问题抽象为数学问题．
22. 如图，是⊙的直径，弦与相交于点，，. 求的度数.


【正确答案】116°

【详解】试题分析：首先连接BD，由AB是⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，又由圆周角定理，可求得∠B的度数，继而求得∠BAD的度数，然后由三角形内角和定理，求得答案．
解：连接BD，


∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=52°，
∴∠BAD=90°−∠B=38°，
∵∠ADC=26°，
∴∠CEB=∠AED=180°−∠BAD−∠ADC=116°
23. 为了帮助贫困家庭脱困，精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的长方形养鸡场，长方形的面积为45m2（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门．求这个养鸡场的长与宽．

【正确答案】AB=5,BC=9

【分析】设鸡场的宽为xm，则长为（22+2-3x）m，根据鸡场的面积列出等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
【详解】设鸡场的宽为xm，则长为（22+2-3x）m，由题意可得：
x（22+2-3x）=45
解得：x=3或x=5．
当x=3时，22+2-3x =15＞14，没有合题意，舍去；
当x=5时，22+2-3x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长BC为9m，宽AB为5m．
根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．注意方程的解要符合题意．
24. 如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(没有与点、重合).
(1)当圆心在内部，时，________.
(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;
(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.

【正确答案】（1）120；（2）60；（3）|∠ABO﹣∠ADO|＝60°.

【详解】试题分析：（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；
（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠A，则∠BCD=2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A=180°，易计算出∠A的度数；
（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，
所以∠ADO-∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO-∠ADO=60°．
解： (1)连接OA,如图1,

∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°；
故答案为120°；
(2)∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BCD=2∠A，
∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，
∴∠A=60°；
(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，

∵OA=OB,OA=OD,
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD−∠OAB=∠ADO−∠ABO=∠BAD，
由(2)得∠BAD=60°，
∴∠ADO−∠ABO=60°；
当∠OAB比∠ODA大时，
同理可得∠ABO−∠ADO=60°，
综上所述,.
25. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，个月以单价80元，售出了200件；第二个月如果单价没有变，预计仍可售出200件，批发商为增加量，决定降价，根据市场，单价每降低1元，可多售出10件，但单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤性清仓，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．
（1）填表：（没有需化简）

（2）如果批发商希望通过这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【正确答案】解：（1），， ；（2）70元．

【详解】解：（1）由题意得80-x；200+10x；800-200-（200+10x）；
（2）根据题意，得
80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000．
整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，
当x=10时，80-x=70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
26. 如图，在中，，是的中点，以为直径的⊙交的边于点、、
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若，求的度数.

【正确答案】（1）见解析；（2）40°

【详解】试题分析：（1）连接DF，由直角三角形斜边上的中线性质得出BD=CD=AD，由圆周角定理可知DF⊥BC，证出DE∥BC，证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=BC=BF，即可得出结论；
（2）连接OG，由等腰三角形的性质得出∠DCA═∠A=35°，由三角形的外角性质得出∠ODG=∠A+∠DCA=70°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOG=40°，即可得出结果．
解：(1)连接
因为,是的中点
所以
又因为是⊙的直径
所以
所以，
所以
所以是的中位线
所以
所以四边形平行四边形.
(2)连接
因
所以
所以
因为
所以
所以
即的度数为.
27. 如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C没有在上，且没有与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由详见解析.

【详解】试题分析：（1）易证△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再证△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋BC，所以CE＝DC＋BC＝；（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得 ，再证∠BED=90°，在Rt△MED中，有，所以.
试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB，
∴∠ADB＝∠ACB,
又∵∠ACB＝∠ABD＝45°,
∴∠ABD＝∠ADB＝45°,
∴∠BAD＝90°,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴BD是该外接圆直径,
（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE,
∴△ACE为等腰直角三角形,
∴AC＝AE,
由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2,
∴,
由（1）可知△ABD为等腰直角三角形,
∴AB＝AD,∠BAD＝90°,
又∵∠EAC＝90°,
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC,
∴∠EAB＝∠DAC,
∴在△ABE和△ADC中,
∴△ABE≌△ADC（SAS）,
∴BE＝DC ,
∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝,

（3）DM2＝BM2＋2MA2,
延长MB交圆于点E，连结AE、DE,
∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°,
∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°,
∴,
又∵AC=MA=AE,
∴,
又∵,
∴,
即,
∴DE=BC=MB,
∵BD为直径,
∴∠BED=90°,
在RT△MED中，有,
∴.

考点：圆的综合题.
28. 如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得没有过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在；（3）存在点T（4，3）使得没有过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°．

【详解】试题分析：(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求,,再根据待定系数法可求抛物线的函数表达式;
(2)存在,分三种情况:过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b,过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3,以BC为斜边,进行讨论可求点Q的坐标;
(3)设M(x1,y1), N(x2,y2), T(a,b),过T作PQ∥x轴,过M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,可证△MPT∽TQN,根据相似三角形的性质求解.
解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，
∴B（3，0），C（0，3），
∵对称轴为直线x=2，
∴设该抛物线的函数表达式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴该抛物线的函数表达式y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）存在，设过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b，
把B（3，0）代入得b=﹣3，
则直线的解析式为y=x﹣3，
依题意有，
解得，，
∴Q1（2，﹣1），
过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3，
依题意有，
解得，，
∴Q2（5，8），
以BC为斜边，设β（a，a2﹣4a+3），则
a2+（a2﹣4a）2+（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2=18，
a3﹣8a2+20a﹣15=0，
（a﹣3）（a2﹣5a+5）=0，
解得a1=3，a2=，
∴Q3，Q4，
∴存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），T（a，b），
过T作PQ∥x轴，过M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，则∠MTN=90°，

则△MPT∽△TQN，
∴，
a（x1+x2）﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b（y1+y2）+b2，
其中x1，x2，y1，y2是的解，
∴x2﹣（4+k）x﹣1=0，
x1x2=﹣1，
x1+x2=k+4，
y1y2=k2x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣k2+4k（k+4）+16，
y1+y2=k（k+4）+8，
1+a（k+4）﹣a2=﹣k2+4k（k+4）+16﹣b（k2+4k+8）+b2，
1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2，
∴（3﹣b）k2+（16﹣4b﹣a）k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，
∵y=kx+b有无数条，
∴k为任何实数，3﹣b=0，16﹣4b﹣a=0，a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，
解得a=4，b=3，
存在点T（4，3）使得没有过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°．
点睛：本题考查了函数的图像与性质，二次函数与几何综合，熟练掌握函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.