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2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析，共57页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形但没有是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 一个扇形的圆心角是120°，半径是3 cm，那么这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
3. 一个的概率没有可能是( )
A. B. 0 C. 1 D.
4. 小红同学四次数学测试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是( )
A. 平均数是105 B. 众数是104 C. 中位数是104 D. 方差是50
5. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1
则这12名队员年龄众数、中位数分别是( )
A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁
6. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
7. 已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
10. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A. 2π B. C. 4 D. 6
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩分别是：7，10，9，8，7，9，9（单位：分），则这组数据的极差是____．
12. 如图，甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域___（填“是”或“没有是”）等可能性．
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.2．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为_______．
14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（到0.lcm）
15. 如图是一个拦水大坝横断面图，AD∥BC，如果背水坡AB的坡度为1：，则坡角∠B=_____．
16. 如图，在中，DE∥BC，AE∶EC=3∶5，则 =_______．
17. 把抛物线y=x+2x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为_______．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为_______．
三、解 答 题（本大题共有9小题，共88分）
19. (1)计算：； (2) 解方程：x2+4x+3=0．
20. 近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2017年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2017年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅没有完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”多少辆？
21. 小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；
（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
22. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
23. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE, 点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)如果AB=12, BC=15, 求tan∠FBE值；
24. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
25. 为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
图 1 图2
26. 已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t 秒.
(1)如图，若AO=2．
① 当 t =6秒时，则OP = ， ；
② 当△ABP与△PBO相似时，求t的值；
(2) 如图，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．.
27. 平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点D．
（1）如图1，若该抛物线原点O，且a=．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式．
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形但没有是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据轴对称图形与对称图形的概念可得个图形，是轴对称图形但也是对称图形；第二个图形，是轴对称图形，没有是对称图形；第三个图形，没有是轴对称图形，是对称图形；第四个图形，是轴对称图形，也是对称图形．所以只有第二个图形是轴对称图形但没有是对称图形．故选A．
考点：对称图形；轴对称图形．
2. 一个扇形的圆心角是120°，半径是3 cm，那么这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵扇形的圆心角是120°，半径是3cm，
∴S扇形=（cm2）.
故选A.
3. 一个的概率没有可能是( )
A. B. 0 C. 1 D.
【正确答案】A
【详解】∵“确定”发生的概率为1，“没有可能”发生的概率为0，“随机”发生的概率在0到1之间，
∴上述选项中，B、C、D都有可能，只有A中的数据没有可能.
故选A.
4. 小红同学四次数学测试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是( )
A. 平均数是105 B. 众数是104 C. 中位数是104 D. 方差是50
【正确答案】D
【详解】解：A平均数为：（96+104+104+116）÷4=105，故A正确；
B出现至多的数据是104，所以众数是104，故B正确；
C先排序：96、104、104、116，所以中位数为(104+104)÷2=104，故C正确；
D方差为： [（96﹣105）2+（10-105）2+（104-105）2+（116-105）2]=51，故D错误．
故选D．
考点：1.方差；2.算术平均数；3.中位数；众数．
5. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是( )
A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁
【正确答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数，
则这12名队员年龄的中位数是=19（岁）；
19岁的人数至多，有5个，则众数是19岁．
故选D．
本题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数至多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
【正确答案】D
【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选∶D．
7. 已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵抛物线开口向上，对称轴为直线（即y轴），点比点到对称轴的距离近，
∴.
点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.
8. 把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为.
故选A.
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
【正确答案】B
【详解】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项没有符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC没有相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项没有符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项没有符合题意．
故选B．
10. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A. 2π B. C. 4 D. 6
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=4，
∴的长= =2π．
故选A．
考点：正方形的性质；旋转的性质．
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩分别是：7，10，9，8，7，9，9（单位：分），则这组数据的极差是____．
【正确答案】3.
【详解】试题分析：由题意可知，数据中的值为10，最小值为7，所以极差为10﹣7=3．
考点：极差．
12. 如图，甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域___（填“是”或“没有是”）等可能性．
【正确答案】是.
【详解】试题分析：甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域可能性为.
考点：可能性的大小．
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.2．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为_______．
【正确答案】10
【详解】试题分析：因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
所以估计抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.2，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.2×50=10（张）．
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为10张．
考点：利用频率估计概率．
14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（到0.lcm）
【正确答案】12.4
【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可．
【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为，
它的宽．
故答案为12.4．
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
15. 如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC，如果背水坡AB的坡度为1：，则坡角∠B=_____．
【正确答案】30°
【详解】试题分析：设迎水坡的坡角为α，
∴tan∠B=i=1：，
∴∠B=30°．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
16. 如图，在中，DE∥BC，AE∶EC=3∶5，则 =_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∵AE：EC=3：5，
∴AE：AC=3：8，
∴
考点：相似三角形的判定与性质．
17. 把抛物线y=x+2x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵抛物线y=x2+2x+3可化为y=（x+1）2+2，
∴向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为y=（x+1﹣2）2+2+1，即y=x2﹣2x+4．
考点：二次函数图象与几何变换．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为_______．
【正确答案】或
【详解】试题分析：如图所示：
∵抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当﹣（x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，
当x=0时，y=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），对称轴x=1，
∴BM=3﹣1=2，
当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，
①点D在∠ABC的平分线上时，
∵tan∠ABC==，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=BM=，
∴D（1，）；
②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=BM=2，
∴D（1，﹣2）.
考点：抛物线与x轴的交点．
三、解 答 题（本大题共有9小题，共88分）
19. (1)计算：； (2) 解方程：x2+4x+3=0．
【正确答案】（1）；（2），
【详解】试题分析：
（1）代入30°角的正弦函数值，“0指数幂的意义”和“负指数幂的意义”计算即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答即可.
试题解析：
（1）原式=
=
=.
（2）原方程可化为：，
∴或，
解得.
20. 近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2017年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2017年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅没有完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”多少辆？
【正确答案】（1）补全条形图见解析；（2）108°；（3）预测该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”2450辆．
【详解】试题分析：（1）首先由A的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出D的数目，问题得解；（2）由D的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以360°，即可解答；（3）计算出补贴D类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量．
试题解析：（1）补贴总金额为：4÷20%=20（千万元），
则D类产品补贴金额为：20﹣4﹣4.5﹣5.5=6（千万元），补全条形图如图：
（2）360°×=108°，
答：“D”所在扇形的圆心角的度数为108°；
（3）根据题意，16年补贴D类“插电式混合动力汽车”金额为：6+4.5×=7.35（千万元），
则7350÷3=2450（辆），
答：预测该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”2450辆．
考点：条形统计图；扇形统计图．
21. 小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；
（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去踏青游玩所有等可能结果，找到小王和小张都在本周六上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；
2）由1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．
【详解】解：1）根据题意，画树状图如图，
由树状图知，小王和小张出去所选择的时间段有4种等可能结果，其中都在本周六上午去踏青郊游的只有1种结果，
所以都在本周六上午去踏青郊游的概率为，
故答案为；
2）由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去踏青郊游共有8种等可能结果，
其中他们三人在同一个半天去踏青郊游的结果有上，上，上、下，下，下种，
他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率为．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的．
22. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）10m
【分析】（1）根据平行投影作图即可；
（2）根据同一时刻，没有同物体的物高和影长成比例计算即可；
【详解】（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝6m，∴＝，则＝，
解得：DE＝10，
答：DE的长为10m．
本题主要考查了平行投影，相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
23. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE, 点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)如果AB=12, BC=15, 求tan∠FBE的值；
【正确答案】（1）详见解析；（2）tan∠FBE=.
【详解】试题分析：（1）由矩形的性质推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易证得△ABE∽△DFE；
（2）由勾股定理求得AF=9，得出DF=6，由△ABF∽△DFE，求得EF=7.5，由三角函数定义即可得出结果．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵△BCE沿BE 折叠为△BFE．
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，
又∠AFB十∠ABF=90°，
∴∠ASF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE．
（2）由折叠的性质得：BF=BC=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF=，
∴DF=AD﹣AF=6，
∵△ABF∽△DFE，
∴，
即，
解得：EF=7.5，
∴tan∠FBE=．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.翻折变换（折叠问题）；4.解直角三角形．
24. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特征．
25. 为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
图 1 图2
【正确答案】（1）AD=18;（2）车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【详解】（1）在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出AD的长；（2）先考虑作辅助线，过点E作EH⊥AB，垂足为H，利用∠EAH的正弦列式求EH的长即可．
解：（1）在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD==18cm；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
26. 已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t 秒.
(1)如图，若AO=2．
① 当 t =6秒时，则OP = ， ；
② 当△ABP与△PBO相似时，求t的值；
(2) 如图，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．.
【正确答案】（1）6，；（2）（+4）秒；（3）18．
【详解】试题分析：（1）①如图1中，作PE⊥AB于E．求出PE的长，根据S△APB=•AB•PE，即可计算．
②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，由△ABP∽△PBO，得，即PB2=BO•BA=24，推出BP=，再利用勾股定理求出OH、HP即可解决问题．
（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．由△QAO∽△OEP，得，即AQ•EP=EO•AO，由三角形中位线定理得OE=3，推出AQ•EP=9，由此即可解决问题．
试题解析：（1）①如图1中，作PE⊥AB于E．
在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，
∴PE=OP•sin45°=3，
∴S△APB=•AB•PE=9，
②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，
∵△ABP∽△PBO，
∴，
∴PB2=BO•BA=24，
∴BP=，
在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，
∴OH=HB=，
在Rt△PHB中，PH==4
∴OP=+4，
∴t=+4（秒）时，△ABP∽△PBO．
（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠OEB=∠APB=∠B，
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
又∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB，
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPE，
∴△QAO∽△OEP，
∴，即AQ•EP=EO•AO，
由三角形中位线定理得OE=3，
∴AQ•EP=9，
AQ•BP=AQ•2EP=2AQ•EP=18．
考点：相似形综合题．
27. 平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点D．
（1）如图1，若该抛物线原点O，且a=．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式．
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【正确答案】（1）①D（3，1），；②在抛物线上存在点,使得∠POB与∠BCD互余．（2）a的取值范围是．
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,可证△AOB≌△BFD，即可求得D点的坐标，把a=，点D的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式．②由C、D两点的纵坐标都为1可知CD∥x轴，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO与∠BCD互余，若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO, 设点P的坐标为（x，）．分两种情况：种情况，当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,由tan∠POB=tan∠BAO=可得，解得x的值后代入，求得的值即可得点P的坐标．种情况，当点P在x轴下方时，利用同样的方法可求点P的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以，分两种情况即可：①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，再一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,如图所示．
∵∠DBF+∠ABO=90°,
∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°AB=BD,
∴△AOB≌△BFD,
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D点的坐标是（3，1），
根据题意得，，
∴，∴该抛物线的解析式为．
②∵C、D两点纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO与∠BCD互余，
若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO,
设点P的坐标为（x，），
（Ⅰ）当点P在x轴的上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,
则tan∠POB=tan∠BAO，即,
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标是．
（Ⅱ）当点P在x轴的下方时，过点P作PH⊥x轴于点H,则,
∴，解得．
∴．,
∴点P的坐标是．
综上所述，在抛物线上存在点,使得∠POB与∠BCD互余．
（2）∵E（1，1），D的坐标是（3，1），
把点E、D的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
所以y＝ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，
抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜；
②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴tan∠QOB＝tan∠BAO＝，此时直线OQ的斜率为，
∴直线OQ的解析式为，
要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，则方程ax2﹣4ax+3a+1＝有两个没有相等实数根，
∴Δ＝（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，
解得（舍去），
综上所示，a的取值范围为或．
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选：（共24分，每小题3分）
1. 在中，°,°，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D.
2. 在中，，若，则值为( )
A. B. C. D.
3. 对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. 图象开口向下
C. 图象关于y轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是正的
4. 如图，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3
5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，si＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
6. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A. B. C. D.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
8. 如图，菱形ABCD周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空：（共18分，每小题3分）
9. 若是二次函数，则的值是 ________.
10. 已知点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)在抛物线上，则，，的大小关系是 _______.（用“”连接）
11. △ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
12. 如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是_____．
13. 如果某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
14. 已知在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°，则AB的长是________．
三、解 答 题：（共78分）
15. 计算：（1）；（2）.
16. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标_____；
（3）直接写出tan∠OA1B1．
17. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD．（结果保留根号）
18. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
19. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）连结OC，求出的面积.
20. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出值是_____________.
21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若，直接写出AD的长是__________.
22. 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图11①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图10②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果到0．1米，参考数据=1．73）
23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证：(没有需要证明)；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P没有与点A、D重合），连接PE，过点E作，交BC于点F，连接PF．求证：相似；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，，其他条件没有变，且的面积是6，则AP的长为____．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是____________（没有写取值范围）.
(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出=_____________.
(4)是否存在时刻，使得若存在，求出值；若没有存在,请说明理由.
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选：（共24分，每小题3分）
1. 在中，°,°，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D.
【正确答案】B
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴co=，
∵AB=5，∠B=40°，
∴BC=AB·co=5cos40°.
故选B.
2. 在中，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
本题考查的是三角函数，掌握角的三角函数值是关键.
3. 对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. 图象开口向下
C. 图象关于y轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是正的
【正确答案】C
【分析】根据原点的二次函数的性质一一判定即可
【详解】∵在函数中，，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0．
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的．
故选C．
本题考查了y＝ax2图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
4. 如图，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3
【正确答案】C
【分析】根据三角形中位线定理可求得相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴DE：BC=1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4．
故选C．
主要考查了中位线定理和相似三角形的性质．要掌握：中位线平行且等于底边的一半；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，si＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，si=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
考点：角三角函数值．
6. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”“二次项系数的值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
【正确答案】A
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2
又∵点D、 E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1
故选：A
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8. 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，其周长=20cm，
∴AB=AD=5cm，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED=90°，
∴cosA=，
∴AE=4cm，
∴BE=AB-AE=1cm，DE=cm，
∴S菱形ABCD=AB·DE=5×3=15cm2.
综上所述，题中所给三个结论都是正确的.
故选D.
二、填空：（共18分，每小题3分）
9. 若是二次函数，则值是 ________.
【正确答案】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】由题意，得
m2﹣2=2，且m+2≠0，
解得m=2，
故答案为2．
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．
10. 已知点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)在抛物线上，则，，的大小关系是 _______.（用“”连接）
【正确答案】
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，且其开口向上，点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)到y轴的距离由远到近依次是A、C、B，
∴y1>y3>y2.
故答案为y1>y3>y2.
点睛：（1）当抛物线开口向上时，抛物线上的点距抛物线对称轴越远，这个点所对应的函数值就越大；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距抛物线的对称轴越远，这个点所对应的函数值就越小.
11. △ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
【正确答案】
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，，
∴可设BC=4k，AC=3k，
∴由勾股定理可得AB=5k，
∴sinA=，cosA=，
∴sinA+cosA=.
故
12. 如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是_____．
【正确答案】35°
【详解】∵四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BDC的中位线，
∴PE=AD，PF=BC，
又∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=35°.
故答案为35°.
13. 如果某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
【正确答案】30
【详解】解：如下图，AB代表斜坡，AC代表水平面，则由题意可知：AB=50，BC：AC=3：4，
∴可设BC=3x，则AC=4x，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
解得：（没有合题意，舍去），
∴BC=30.即他所在的位置比原来升高了30米.
故答案为30.
14. 已知在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°，则AB的长是________．
【正确答案】12或6
【详解】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=，CB1=CB2=6，∠A=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=∠CDB2=90°，
∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，
∴CD=，AD=，DB1=DB2=，
∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.
故6或12.
点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时没有能忽略了其中任何一种情况.
三、解 答 题：（共78分）
15. 计算：（1）；（2）.
【正确答案】（1）1；（2）0
【详解】试题分析：
代入角的三角函数值，再按实数的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=
=
=.
16. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标_____；
（3）直接写出tan∠OA1B1．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）（4，0），（2，﹣4）；（3）2.
【详解】试题分析：（1）根据位似变换的定义作图即可；
（2）由图形即可出点的坐标；
（3）根据正切函数的定义可得．
试题解析：解：（1）如图，△OA1B1即为所求；
（2）由图可知，A1、B1的坐标为（4，0）和（2，﹣4）；
故答案为（4，0）和（2，﹣4）；
（3）如图，tan∠OA1B1===2．
点睛：本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质．
17. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD．（结果保留根号）
【正确答案】AD=
【分析】在中，已知铅直高度以及坡度比，可求出坡角、的长；过作于，在中，根据铅直高度和坡长，可求出的长，即可求出．
【详解】解：过作于．
在中，，．
．
在中，．
且，
．
答：坡角等于，坝底宽为．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是作“两高”构造出直角三角形和矩形，是解有关梯形问题时常作的辅助线．
18. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【正确答案】（1）见解析，（2）41
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=．
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
19. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出的面积.
【正确答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：
（1）将点B的坐标代入中解出的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）中所得抛物线的解析式和直线的解析式组合构成方程组，解方程组即可求得点C的坐标，点A的坐标即可求得△AOC的面积.
试题解析：
（1）把点B的坐标（1，1）代入得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由 解得： ， ，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴S△AOC=OA×4=4.
20. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出的值是_____________.
【正确答案】（1） 4；（2）
【详解】（1）由四边形ABCD是矩形，易得AD=BC，∠ADE=∠BAC，AB=3，cos∠ADE=即可求得AC的长，再由勾股定理即可求得AD的长了；
（2）由（1）中所得AC、AD及CD长S△ACD=AD·CD=AC·DE可求得DE的长，由此在△DEC中由勾股定理可得CE的长，这样就可求得△DEC的面积.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE=，
∴cos∠BAC=，即，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD=；
（2）∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=AC·DE=AD·DC，即DE=，解得DE=，
∴在Rt△DEC中，EC=，
∴S△DEC=DE·EC=.
21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若，直接写出AD的长是__________.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：
（1）由AD是△ABC中BC边上的高，可得∠ADB=∠ADC=90°，ta=cos∠DAC可得即可得到AC=BD；
（2）由sinC=，若设AD=12x，则AC=13x，由（1）中结论AC=BD可得BD=13x，在Rt△ADC中可得CD=5x，即可得到BC=BD+CD=18x=34，由此可得x=，则AD=12x=.
试题解析：
（1）∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴ta=,cos∠DAC=,
又∵ta=cos∠DAC，
∴，
∴AC=BD；
（2）∵sinC=，
∴若设AD=12x，则AC=13x，
∴在Rt△ADC中，CD=5x，
∵AC=BD，
∴BD=13x，
∴BC=BD+CD=18x，
又∵BC=34，
∴18x=34，解得：x=，
∴AD=12x=.
22. 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图11①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图10②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果到0．1米，参考数据=1．73）
【正确答案】雕塑AB的高度约为6．8米
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据题目已知条件可以求出AC=5，利用解直角三角形可以求出AE和CE的长度，从而进一步求出BE，即可求得AB=AE+BE.
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E．
∵∠D=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，
∴∠CAD=90°．
∵CD=10，∴AC=CD=5．
在Rt△ACE中，
AE=AC•sin∠ACE=5•sin30°=，
CE=AC•cos∠ACE=5•cos30°=．
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=45°，
∴BE=CE•tan45°=，
∴AB=AE+BE=+=（+1）≈6.8（米）．所以，雕塑AB的高度约为6.8米．
本题主要考查的是解直角三角形，掌握角的三角函数值以及解直角三角形的方法是解题的关键.
23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证：(没有需要证明)；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P没有与点A、D重合），连接PE，过点E作，交BC于点F，连接PF．求证：相似；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，，其他条件没有变，且的面积是6，则AP的长为____．
【正确答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）由已知易证∠AED=∠EFC，∠D=∠C=90°，由AD=3，CD=4DE=1可得AD=CE，由此即可证得△AED≌△ECF；
（2）由四边形ABCD是矩形可得∠D=∠C=90°，∠PEF=90°可证得∠PED=∠EFC，由此即可证得△PDE∽△ECF；
（3）过点F作FH⊥CD于点H，易得四边形AFHD是矩形，由此可得FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，由此已知条件可证得EF=3PE，S△PEF=PE·EF=6，即可解得PE=2，由此在Rt△PDE中解得PD=，从而可得AP=AD-PD=．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE，
∴∠C=∠D=∠AEF=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∵CD=4，DE=1，AD=3，
∴EC=CD-DE=3=AD，
∴△ADE≌△ECF；
（2）同（1）可得：∠D=∠C，∠DPE=∠CEF，
∴△PDE∽△ECF；
（3）如图3，在矩形ABCD中，过点F作FH⊥CD于点H，
∴∠PHD=∠A=∠D=90°，
∴四边形AFHD是矩形，
∴FH=AD=3，
由（2）可得△PDE∽△EHF，
∴，
∵DE=1，
∴，即EF=3PE，
∵S△PEF=PE·EF=6，
∴3PE2=12，解得PE=2，
∴在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PD=，
∴AP=AD-PD=．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是____________（没有写取值范围）.
(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出=_____________.
(4)是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若没有存在,请说明理由.
【正确答案】（1）；（2），；（3）；（4）
详解】试题分析：
（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，由此三角形的面积公式即可得到S与t之间的函数关系式；
（2）过点P作PH⊥BC于点H，勾股定理和已知条件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代数式表达出来，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况列出方程，解方程得到对应的t的值，再题中的条件检验即可得到符合要求的t的值；
（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，易证得四边形PMCD是矩形，由此可得PM=CD=3，CM=PD=2t，AD=6，BC=4，可得PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=t，由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ，2OA=OB即可求得t的值，从而可由tan∠BQP=求得其值；
（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，由此已知条件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表达出来，列出方程就可得解得t的值.
试题解析：
（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，
∴S△PBQ=BQ×3=；
（2）如下图，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHB=∠PHQ=90°，
∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠CDP=90°，
∴四边形PHCD是矩形，
∴PH=CD=3，HC=PD=2t，
∵CQ=t，BC=4，
∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，
∴BQ2=，BP2= ，PQ2=，
由BQ2=BP2可得：，解得：无解；
由BQ2=PQ2可得：，解得：；
由BP2= PQ2可得：，解得：或，
∵当时，BQ=4-4=0，没有符合题意，
∴综上所述，或；
（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，
∴∠PMC=∠C=90°，
∵AD∥BC，
∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，
∴四边形PMCD是矩形，，
∴PM=CD=3，CM=PD=2t，
∵AD=6，BC=4，CQ=t，
∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴，解得：，
∴MQ=，
又∵PM=3，∠PMQ=90°，
∴tan∠BPQ=；
（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，
∵AD∥BC，DM∥PQ，
∴四边形PQMD是平行四边形，
∴QM=PD=2t，
∵QC=t,
∴CM=QM-QC=t，
∵∠BCD=∠MCD=90°，
∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，
∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，
∴由BM2=BD2+DM2可得：，解得：，
∴当时，∠BDM=90°，
即当时，PQ⊥BD.
点睛：（1）解本题第2小题的要点是：通过作PH⊥BC于点H，勾股定理和已知条件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代数式表达出来，这样分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况列出方程就能求得对应的“t”的值了；（2）解本题第4小题的要点是：过点D作DM∥PQ，只要DM⊥BD即可得到PQ⊥DM，这样由已知条件利用勾股定理的逆定理在△BDM中由BM2=BD2+DM2建立关于t的方程，即可求得对应的t的值了.
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形但没有是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 一个扇形的圆心角是120°，半径是3 cm，那么这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
3. 一个的概率没有可能是( )
A. B. 0 C. 1 D.
4. 小红同学四次数学测试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是( )
A. 平均数是105 B. 众数是104 C. 中位数是104 D. 方差是50
5. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1
则这12名队员年龄众数、中位数分别是( )
A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁
6. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
7. 已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
10. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A. 2π B. C. 4 D. 6
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩分别是：7，10，9，8，7，9，9（单位：分），则这组数据的极差是____．
12. 如图，甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域___（填“是”或“没有是”）等可能性．
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.2．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为_______．
14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（到0.lcm）
15. 如图是一个拦水大坝横断面图，AD∥BC，如果背水坡AB的坡度为1：，则坡角∠B=_____．
16. 如图，在中，DE∥BC，AE∶EC=3∶5，则 =_______．
17. 把抛物线y=x+2x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为_______．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为_______．
三、解 答 题（本大题共有9小题，共88分）
19. (1)计算：； (2) 解方程：x2+4x+3=0．
20. 近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2017年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2017年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅没有完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”多少辆？
21. 小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；
（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
22. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
23. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE, 点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)如果AB=12, BC=15, 求tan∠FBE值；
24. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
25. 为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
图 1 图2
26. 已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t 秒.
(1)如图，若AO=2．
① 当 t =6秒时，则OP = ， ；
② 当△ABP与△PBO相似时，求t的值；
(2) 如图，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．.
27. 平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点D．
（1）如图1，若该抛物线原点O，且a=．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式．
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形但没有是对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据轴对称图形与对称图形的概念可得个图形，是轴对称图形但也是对称图形；第二个图形，是轴对称图形，没有是对称图形；第三个图形，没有是轴对称图形，是对称图形；第四个图形，是轴对称图形，也是对称图形．所以只有第二个图形是轴对称图形但没有是对称图形．故选A．
考点：对称图形；轴对称图形．
2. 一个扇形的圆心角是120°，半径是3 cm，那么这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵扇形的圆心角是120°，半径是3cm，
∴S扇形=（cm2）.
故选A.
3. 一个的概率没有可能是( )
A. B. 0 C. 1 D.
【正确答案】A
【详解】∵“确定”发生的概率为1，“没有可能”发生的概率为0，“随机”发生的概率在0到1之间，
∴上述选项中，B、C、D都有可能，只有A中的数据没有可能.
故选A.
4. 小红同学四次数学测试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是( )
A. 平均数是105 B. 众数是104 C. 中位数是104 D. 方差是50
【正确答案】D
【详解】解：A平均数为：（96+104+104+116）÷4=105，故A正确；
B出现至多的数据是104，所以众数是104，故B正确；
C先排序：96、104、104、116，所以中位数为(104+104)÷2=104，故C正确；
D方差为： [（96﹣105）2+（10-105）2+（104-105）2+（116-105）2]=51，故D错误．
故选D．
考点：1.方差；2.算术平均数；3.中位数；众数．
5. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是( )
A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁
【正确答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数，
则这12名队员年龄的中位数是=19（岁）；
19岁的人数至多，有5个，则众数是19岁．
故选D．
本题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数至多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
【正确答案】D
【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选∶D．
7. 已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵抛物线开口向上，对称轴为直线（即y轴），点比点到对称轴的距离近，
∴.
点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.
8. 把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为.
故选A.
9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2）
【正确答案】B
【详解】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项没有符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC没有相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项没有符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项没有符合题意．
故选B．
10. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A. 2π B. C. 4 D. 6
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=4，
∴的长= =2π．
故选A．
考点：正方形的性质；旋转的性质．
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩分别是：7，10，9，8，7，9，9（单位：分），则这组数据的极差是____．
【正确答案】3.
【详解】试题分析：由题意可知，数据中的值为10，最小值为7，所以极差为10﹣7=3．
考点：极差．
12. 如图，甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域___（填“是”或“没有是”）等可能性．
【正确答案】是.
【详解】试题分析：甲、乙两个转盘转动，最终指针指向红域可能性为.
考点：可能性的大小．
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.2．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为_______．
【正确答案】10
【详解】试题分析：因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
所以估计抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.2，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.2×50=10（张）．
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为10张．
考点：利用频率估计概率．
14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（到0.lcm）
【正确答案】12.4
【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可．
【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为，
它的宽．
故答案为12.4．
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
15. 如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC，如果背水坡AB的坡度为1：，则坡角∠B=_____．
【正确答案】30°
【详解】试题分析：设迎水坡的坡角为α，
∴tan∠B=i=1：，
∴∠B=30°．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
16. 如图，在中，DE∥BC，AE∶EC=3∶5，则 =_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∵AE：EC=3：5，
∴AE：AC=3：8，
∴
考点：相似三角形的判定与性质．
17. 把抛物线y=x+2x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：∵抛物线y=x2+2x+3可化为y=（x+1）2+2，
∴向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的新抛物线相应的函数表达式为y=（x+1﹣2）2+2+1，即y=x2﹣2x+4．
考点：二次函数图象与几何变换．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为_______．
【正确答案】或
【详解】试题分析：如图所示：
∵抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当﹣（x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，
当x=0时，y=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），对称轴x=1，
∴BM=3﹣1=2，
当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，
①点D在∠ABC的平分线上时，
∵tan∠ABC==，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=BM=，
∴D（1，）；
②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=BM=2，
∴D（1，﹣2）.
考点：抛物线与x轴的交点．
三、解 答 题（本大题共有9小题，共88分）
19. (1)计算：； (2) 解方程：x2+4x+3=0．
【正确答案】（1）；（2），
【详解】试题分析：
（1）代入30°角的正弦函数值，“0指数幂的意义”和“负指数幂的意义”计算即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答即可.
试题解析：
（1）原式=
=
=.
（2）原方程可化为：，
∴或，
解得.
20. 近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2017年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2017年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅没有完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”多少辆？
【正确答案】（1）补全条形图见解析；（2）108°；（3）预测该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”2450辆．
【详解】试题分析：（1）首先由A的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出D的数目，问题得解；（2）由D的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以360°，即可解答；（3）计算出补贴D类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量．
试题解析：（1）补贴总金额为：4÷20%=20（千万元），
则D类产品补贴金额为：20﹣4﹣4.5﹣5.5=6（千万元），补全条形图如图：
（2）360°×=108°，
答：“D”所在扇形的圆心角的度数为108°；
（3）根据题意，16年补贴D类“插电式混合动力汽车”金额为：6+4.5×=7.35（千万元），
则7350÷3=2450（辆），
答：预测该省16年计划大约共“插电式混合动力汽车”2450辆．
考点：条形统计图；扇形统计图．
21. 小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；
（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去踏青游玩所有等可能结果，找到小王和小张都在本周六上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；
2）由1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．
【详解】解：1）根据题意，画树状图如图，
由树状图知，小王和小张出去所选择的时间段有4种等可能结果，其中都在本周六上午去踏青郊游的只有1种结果，
所以都在本周六上午去踏青郊游的概率为，
故答案为；
2）由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去踏青郊游共有8种等可能结果，
其中他们三人在同一个半天去踏青郊游的结果有上，上，上、下，下，下种，
他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率为．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的．
22. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）10m
【分析】（1）根据平行投影作图即可；
（2）根据同一时刻，没有同物体的物高和影长成比例计算即可；
【详解】（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝6m，∴＝，则＝，
解得：DE＝10，
答：DE的长为10m．
本题主要考查了平行投影，相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
23. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE, 点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)如果AB=12, BC=15, 求tan∠FBE的值；
【正确答案】（1）详见解析；（2）tan∠FBE=.
【详解】试题分析：（1）由矩形的性质推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易证得△ABE∽△DFE；
（2）由勾股定理求得AF=9，得出DF=6，由△ABF∽△DFE，求得EF=7.5，由三角函数定义即可得出结果．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵△BCE沿BE 折叠为△BFE．
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，
又∠AFB十∠ABF=90°，
∴∠ASF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE．
（2）由折叠的性质得：BF=BC=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF=，
∴DF=AD﹣AF=6，
∵△ABF∽△DFE，
∴，
即，
解得：EF=7.5，
∴tan∠FBE=．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.翻折变换（折叠问题）；4.解直角三角形．
24. 如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特征．
25. 为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
图 1 图2
【正确答案】（1）AD=18;（2）车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【详解】（1）在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出AD的长；（2）先考虑作辅助线，过点E作EH⊥AB，垂足为H，利用∠EAH的正弦列式求EH的长即可．
解：（1）在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD==18cm；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
26. 已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t 秒.
(1)如图，若AO=2．
① 当 t =6秒时，则OP = ， ；
② 当△ABP与△PBO相似时，求t的值；
(2) 如图，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．.
【正确答案】（1）6，；（2）（+4）秒；（3）18．
【详解】试题分析：（1）①如图1中，作PE⊥AB于E．求出PE的长，根据S△APB=•AB•PE，即可计算．
②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，由△ABP∽△PBO，得，即PB2=BO•BA=24，推出BP=，再利用勾股定理求出OH、HP即可解决问题．
（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．由△QAO∽△OEP，得，即AQ•EP=EO•AO，由三角形中位线定理得OE=3，推出AQ•EP=9，由此即可解决问题．
试题解析：（1）①如图1中，作PE⊥AB于E．
在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，
∴PE=OP•sin45°=3，
∴S△APB=•AB•PE=9，
②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，
∵△ABP∽△PBO，
∴，
∴PB2=BO•BA=24，
∴BP=，
在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，
∴OH=HB=，
在Rt△PHB中，PH==4
∴OP=+4，
∴t=+4（秒）时，△ABP∽△PBO．
（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠OEB=∠APB=∠B，
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
又∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB，
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPE，
∴△QAO∽△OEP，
∴，即AQ•EP=EO•AO，
由三角形中位线定理得OE=3，
∴AQ•EP=9，
AQ•BP=AQ•2EP=2AQ•EP=18．
考点：相似形综合题．
27. 平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点D．
（1）如图1，若该抛物线原点O，且a=．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式．
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若没有存在，请说明理由．
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【正确答案】（1）①D（3，1），；②在抛物线上存在点,使得∠POB与∠BCD互余．（2）a的取值范围是．
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,可证△AOB≌△BFD，即可求得D点的坐标，把a=，点D的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式．②由C、D两点的纵坐标都为1可知CD∥x轴，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO与∠BCD互余，若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO, 设点P的坐标为（x，）．分两种情况：种情况，当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,由tan∠POB=tan∠BAO=可得，解得x的值后代入，求得的值即可得点P的坐标．种情况，当点P在x轴下方时，利用同样的方法可求点P的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以，分两种情况即可：①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个，②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，再一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,如图所示．
∵∠DBF+∠ABO=90°,
∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°AB=BD,
∴△AOB≌△BFD,
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D点的坐标是（3，1），
根据题意得，，
∴，∴该抛物线的解析式为．
②∵C、D两点纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO与∠BCD互余，
若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO,
设点P的坐标为（x，），
（Ⅰ）当点P在x轴的上方时，过点P作PG⊥x轴于点G,
则tan∠POB=tan∠BAO，即,
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标是．
（Ⅱ）当点P在x轴的下方时，过点P作PH⊥x轴于点H,则,
∴，解得．
∴．,
∴点P的坐标是．
综上所述，在抛物线上存在点,使得∠POB与∠BCD互余．
（2）∵E（1，1），D的坐标是（3，1），
把点E、D的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
所以y＝ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，
抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜；
②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴tan∠QOB＝tan∠BAO＝，此时直线OQ的斜率为，
∴直线OQ的解析式为，
要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，则方程ax2﹣4ax+3a+1＝有两个没有相等实数根，
∴Δ＝（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，
解得（舍去），
综上所示，a的取值范围为或．
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选：（共24分，每小题3分）
1. 在中，°,°，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D.
2. 在中，，若，则值为( )
A. B. C. D.
3. 对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. 图象开口向下
C. 图象关于y轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是正的
4. 如图，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3
5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，si＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
6. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A. B. C. D.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
8. 如图，菱形ABCD周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空：（共18分，每小题3分）
9. 若是二次函数，则的值是 ________.
10. 已知点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)在抛物线上，则，，的大小关系是 _______.（用“”连接）
11. △ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
12. 如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是_____．
13. 如果某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
14. 已知在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°，则AB的长是________．
三、解 答 题：（共78分）
15. 计算：（1）；（2）.
16. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标_____；
（3）直接写出tan∠OA1B1．
17. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD．（结果保留根号）
18. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
19. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）连结OC，求出的面积.
20. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出值是_____________.
21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若，直接写出AD的长是__________.
22. 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图11①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图10②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果到0．1米，参考数据=1．73）
23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证：(没有需要证明)；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P没有与点A、D重合），连接PE，过点E作，交BC于点F，连接PF．求证：相似；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，，其他条件没有变，且的面积是6，则AP的长为____．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是____________（没有写取值范围）.
(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出=_____________.
(4)是否存在时刻，使得若存在，求出值；若没有存在,请说明理由.
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选：（共24分，每小题3分）
1. 在中，°,°，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D.
【正确答案】B
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴co=，
∵AB=5，∠B=40°，
∴BC=AB·co=5cos40°.
故选B.
2. 在中，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
本题考查的是三角函数，掌握角的三角函数值是关键.
3. 对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. 图象开口向下
C. 图象关于y轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是正的
【正确答案】C
【分析】根据原点的二次函数的性质一一判定即可
【详解】∵在函数中，，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0．
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的．
故选C．
本题考查了y＝ax2图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
4. 如图，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3
【正确答案】C
【分析】根据三角形中位线定理可求得相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴DE：BC=1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4．
故选C．
主要考查了中位线定理和相似三角形的性质．要掌握：中位线平行且等于底边的一半；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，si＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，si=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
考点：角三角函数值．
6. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”“二次项系数的值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
【正确答案】A
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2
又∵点D、 E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1
故选：A
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8. 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，其周长=20cm，
∴AB=AD=5cm，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED=90°，
∴cosA=，
∴AE=4cm，
∴BE=AB-AE=1cm，DE=cm，
∴S菱形ABCD=AB·DE=5×3=15cm2.
综上所述，题中所给三个结论都是正确的.
故选D.
二、填空：（共18分，每小题3分）
9. 若是二次函数，则值是 ________.
【正确答案】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】由题意，得
m2﹣2=2，且m+2≠0，
解得m=2，
故答案为2．
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．
10. 已知点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)在抛物线上，则，，的大小关系是 _______.（用“”连接）
【正确答案】
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，且其开口向上，点A(－3，)，B(－1，)，C(2，)到y轴的距离由远到近依次是A、C、B，
∴y1>y3>y2.
故答案为y1>y3>y2.
点睛：（1）当抛物线开口向上时，抛物线上的点距抛物线对称轴越远，这个点所对应的函数值就越大；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距抛物线的对称轴越远，这个点所对应的函数值就越小.
11. △ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
【正确答案】
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，，
∴可设BC=4k，AC=3k，
∴由勾股定理可得AB=5k，
∴sinA=，cosA=，
∴sinA+cosA=.
故
12. 如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是_____．
【正确答案】35°
【详解】∵四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BDC的中位线，
∴PE=AD，PF=BC，
又∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=35°.
故答案为35°.
13. 如果某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
【正确答案】30
【详解】解：如下图，AB代表斜坡，AC代表水平面，则由题意可知：AB=50，BC：AC=3：4，
∴可设BC=3x，则AC=4x，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
解得：（没有合题意，舍去），
∴BC=30.即他所在的位置比原来升高了30米.
故答案为30.
14. 已知在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°，则AB的长是________．
【正确答案】12或6
【详解】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=，CB1=CB2=6，∠A=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=∠CDB2=90°，
∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，
∴CD=，AD=，DB1=DB2=，
∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.
故6或12.
点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时没有能忽略了其中任何一种情况.
三、解 答 题：（共78分）
15. 计算：（1）；（2）.
【正确答案】（1）1；（2）0
【详解】试题分析：
代入角的三角函数值，再按实数的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）原式=；
（2）原式=
=
=.
16. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
（1）以O为位似，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1，与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1，（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）；
（2）直接写出点A1、B1的坐标_____；
（3）直接写出tan∠OA1B1．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）（4，0），（2，﹣4）；（3）2.
【详解】试题分析：（1）根据位似变换的定义作图即可；
（2）由图形即可出点的坐标；
（3）根据正切函数的定义可得．
试题解析：解：（1）如图，△OA1B1即为所求；
（2）由图可知，A1、B1的坐标为（4，0）和（2，﹣4）；
故答案为（4，0）和（2，﹣4）；
（3）如图，tan∠OA1B1===2．
点睛：本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质．
17. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD．（结果保留根号）
【正确答案】AD=
【分析】在中，已知铅直高度以及坡度比，可求出坡角、的长；过作于，在中，根据铅直高度和坡长，可求出的长，即可求出．
【详解】解：过作于．
在中，，．
．
在中，．
且，
．
答：坡角等于，坝底宽为．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是作“两高”构造出直角三角形和矩形，是解有关梯形问题时常作的辅助线．
18. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【正确答案】（1）见解析，（2）41
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=．
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
19. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出的面积.
【正确答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：
（1）将点B的坐标代入中解出的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）中所得抛物线的解析式和直线的解析式组合构成方程组，解方程组即可求得点C的坐标，点A的坐标即可求得△AOC的面积.
试题解析：
（1）把点B的坐标（1，1）代入得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由 解得： ， ，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴S△AOC=OA×4=4.
20. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出的值是_____________.
【正确答案】（1） 4；（2）
【详解】（1）由四边形ABCD是矩形，易得AD=BC，∠ADE=∠BAC，AB=3，cos∠ADE=即可求得AC的长，再由勾股定理即可求得AD的长了；
（2）由（1）中所得AC、AD及CD长S△ACD=AD·CD=AC·DE可求得DE的长，由此在△DEC中由勾股定理可得CE的长，这样就可求得△DEC的面积.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE=，
∴cos∠BAC=，即，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD=；
（2）∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=AC·DE=AD·DC，即DE=，解得DE=，
∴在Rt△DEC中，EC=，
∴S△DEC=DE·EC=.
21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若，直接写出AD的长是__________.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：
（1）由AD是△ABC中BC边上的高，可得∠ADB=∠ADC=90°，ta=cos∠DAC可得即可得到AC=BD；
（2）由sinC=，若设AD=12x，则AC=13x，由（1）中结论AC=BD可得BD=13x，在Rt△ADC中可得CD=5x，即可得到BC=BD+CD=18x=34，由此可得x=，则AD=12x=.
试题解析：
（1）∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴ta=,cos∠DAC=,
又∵ta=cos∠DAC，
∴，
∴AC=BD；
（2）∵sinC=，
∴若设AD=12x，则AC=13x，
∴在Rt△ADC中，CD=5x，
∵AC=BD，
∴BD=13x，
∴BC=BD+CD=18x，
又∵BC=34，
∴18x=34，解得：x=，
∴AD=12x=.
22. 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图11①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图10②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果到0．1米，参考数据=1．73）
【正确答案】雕塑AB的高度约为6．8米
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据题目已知条件可以求出AC=5，利用解直角三角形可以求出AE和CE的长度，从而进一步求出BE，即可求得AB=AE+BE.
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E．
∵∠D=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，
∴∠CAD=90°．
∵CD=10，∴AC=CD=5．
在Rt△ACE中，
AE=AC•sin∠ACE=5•sin30°=，
CE=AC•cos∠ACE=5•cos30°=．
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=45°，
∴BE=CE•tan45°=，
∴AB=AE+BE=+=（+1）≈6.8（米）．所以，雕塑AB的高度约为6.8米．
本题主要考查的是解直角三角形，掌握角的三角函数值以及解直角三角形的方法是解题的关键.
23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证：(没有需要证明)；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P没有与点A、D重合），连接PE，过点E作，交BC于点F，连接PF．求证：相似；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，，其他条件没有变，且的面积是6，则AP的长为____．
【正确答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）由已知易证∠AED=∠EFC，∠D=∠C=90°，由AD=3，CD=4DE=1可得AD=CE，由此即可证得△AED≌△ECF；
（2）由四边形ABCD是矩形可得∠D=∠C=90°，∠PEF=90°可证得∠PED=∠EFC，由此即可证得△PDE∽△ECF；
（3）过点F作FH⊥CD于点H，易得四边形AFHD是矩形，由此可得FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，由此已知条件可证得EF=3PE，S△PEF=PE·EF=6，即可解得PE=2，由此在Rt△PDE中解得PD=，从而可得AP=AD-PD=．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE，
∴∠C=∠D=∠AEF=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∵CD=4，DE=1，AD=3，
∴EC=CD-DE=3=AD，
∴△ADE≌△ECF；
（2）同（1）可得：∠D=∠C，∠DPE=∠CEF，
∴△PDE∽△ECF；
（3）如图3，在矩形ABCD中，过点F作FH⊥CD于点H，
∴∠PHD=∠A=∠D=90°，
∴四边形AFHD是矩形，
∴FH=AD=3，
由（2）可得△PDE∽△EHF，
∴，
∵DE=1，
∴，即EF=3PE，
∵S△PEF=PE·EF=6，
∴3PE2=12，解得PE=2，
∴在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PD=，
∴AP=AD-PD=．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是____________（没有写取值范围）.
(2)当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出=_____________.
(4)是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若没有存在,请说明理由.
【正确答案】（1）；（2），；（3）；（4）
详解】试题分析：
（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，由此三角形的面积公式即可得到S与t之间的函数关系式；
（2）过点P作PH⊥BC于点H，勾股定理和已知条件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代数式表达出来，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况列出方程，解方程得到对应的t的值，再题中的条件检验即可得到符合要求的t的值；
（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，易证得四边形PMCD是矩形，由此可得PM=CD=3，CM=PD=2t，AD=6，BC=4，可得PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=t，由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ，2OA=OB即可求得t的值，从而可由tan∠BQP=求得其值；
（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，由此已知条件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表达出来，列出方程就可得解得t的值.
试题解析：
（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，
∴S△PBQ=BQ×3=；
（2）如下图，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHB=∠PHQ=90°，
∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠CDP=90°，
∴四边形PHCD是矩形，
∴PH=CD=3，HC=PD=2t，
∵CQ=t，BC=4，
∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，
∴BQ2=，BP2= ，PQ2=，
由BQ2=BP2可得：，解得：无解；
由BQ2=PQ2可得：，解得：；
由BP2= PQ2可得：，解得：或，
∵当时，BQ=4-4=0，没有符合题意，
∴综上所述，或；
（3）如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，
∴∠PMC=∠C=90°，
∵AD∥BC，
∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，
∴四边形PMCD是矩形，，
∴PM=CD=3，CM=PD=2t，
∵AD=6，BC=4，CQ=t，
∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴，解得：，
∴MQ=，
又∵PM=3，∠PMQ=90°，
∴tan∠BPQ=；
（4）如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，
∵AD∥BC，DM∥PQ，
∴四边形PQMD是平行四边形，
∴QM=PD=2t，
∵QC=t,
∴CM=QM-QC=t，
∵∠BCD=∠MCD=90°，
∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，
∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，
∴由BM2=BD2+DM2可得：，解得：，
∴当时，∠BDM=90°，
即当时，PQ⊥BD.
点睛：（1）解本题第2小题的要点是：通过作PH⊥BC于点H，勾股定理和已知条件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代数式表达出来，这样分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况列出方程就能求得对应的“t”的值了；（2）解本题第4小题的要点是：过点D作DM∥PQ，只要DM⊥BD即可得到PQ⊥DM，这样由已知条件利用勾股定理的逆定理在△BDM中由BM2=BD2+DM2建立关于t的方程，即可求得对应的t的值了.
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