2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，共12分）
1. 下列哪个方程是一元二次方程（　　）
A. 2x+y=1 B. x2+1=2xy C. x2+=3 D. x2=2x﹣3
2. 函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ 　）
A. （3，4） B. （﹣2，4） C. （2，4） D. （2，﹣4）
3. 八年级某同学6次数学小测验成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 95分，95分 B. 95分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，85分
4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确是（ ）

A. AB=AD B. BC=CD C. D. ∠BCA=∠DCA
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
6. 一组数据1,2,3,3,4,5.若添加一个数据3,则下列统计量中,发生变化的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，共20分）
7. 若，则＝______．
8. 若⊙O直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是_________．
9. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
10. 若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
11. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．
12. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
13. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=_____．

14. 如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1．则点B的坐标是_____．

15. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．

16. 如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当x＜2时，y随x增大而增大； ③抛物线过原点; ④当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是____．（填序号）

三、解 答 题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．

19. 已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
20. 初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　 　．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
21. 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：

（1）请将下表补充完整：

（2）请从下列三个没有同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相看， 　的成绩好些；
②从平均数和中位数相看， 　的成绩好些；
③若其他队选手成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
22. 如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB＝8，求圆环的面积．

23. 如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？

24. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．

25. 商场某种商品平均每天可30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日量增加____件，每件商品，盈利____元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
26. 对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y2＝，则函数y＝min{x，}图象应该是　 　中的实线部分．
（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条没有同性质：
①　 　；②　 　；③　 　；
（3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于　 　对称．

27. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的值．














2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，共12分）
1. 下列哪个方程是一元二次方程（　　）
A. 2x+y=1 B. x2+1=2xy C. x2+=3 D. x2=2x﹣3
【正确答案】D

【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．
【详解】A. 2x＋y＝1是二元方程，故没有正确；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故没有正确；
C. x2＋＝3是分式方程，故没有正确；
D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
2. 函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（ 　）
A. （3，4） B. （﹣2，4） C. （2，4） D. （2，﹣4）
【正确答案】C

【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）
故选C.
3. 八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 95分，95分 B. 95分，90分 C. 90分，95分 D. 95分，85分
【正确答案】A

【详解】这组数据中95出现了3次，次数至多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95，
故选A.
4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）


A. AB=AD B. BC=CD C. D. ∠BCA=∠DCA
【正确答案】B

【分析】根据圆心角，弧，弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠ACB与∠ACD大小关系没有确定，
∴AB与AD没有一定相等，故此选项没有符合题意；
B、∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴BC=CD，，故此选项符合题意；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系没有确定，
∴与没有一定相等，没有符合题意；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系没有确定，没有符合题意．
故B．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
【正确答案】D

【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.

考点：位似变换.
6. 一组数据1,2,3,3,4,5.若添加一个数据3,则下列统计量中,发生变化的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【正确答案】D

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】A. 原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求没有符；
B. 原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求没有符；
C. 原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求没有符；
D. 原来数据的方差==，
添加数字3后的方差==，故方差发生了变化.故选D.
本题考查统计量的选择，解题的关键是掌握统计量的选择的使用方法.
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，共20分）
7. 若，则＝______．
【正确答案】

【详解】设x=2k.y=3k，（k≠0）
∴原式=.
故答案是：
8. 若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是_________．
【正确答案】相离

【详解】r=2,d=3, 则直线l与⊙O的位置关系是相离
9. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
【正确答案】k≤5

【详解】解：由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,
解之得
k≤5.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．
【正确答案】cm

【分析】根据黄金分割点定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP＝AB×＝2×＝，
故．
本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
12. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
【正确答案】3π

【详解】．
故．
13. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=_____．

【正确答案】16：81

【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=，
故答案为16：81．
14. 如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1．则点B的坐标是_____．

【正确答案】(5，1)

【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°，
∴∠ADO=∠BAE，
∴△OAD∽△EBA，
∴OD：AE=OA：BE=AD：AB
∵OD=2OA=6，
∴OA=3
∵AD：AB=3：1，
∴AE=OD=2，BE=OA=1，
∴OE=3+2=5，
∴B（5，1）
故（5，1）
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．
15. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．

【正确答案】45°

【详解】∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
16. 如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当x＜2时，y随x增大而增大； ③抛物线过原点; ④当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是____．（填序号）

【正确答案】①③④

【分析】根据二次函数的基本性质进行分析即可.
【详解】由图知图像知与x轴有2个交点，故①正确；
由图知图像知当x＜2时，y随x增大而减小，故②错误；
由对称性知抛物线过原点，故③正确；
由图知图像知当0＜x＜4时，y＜0，故④正确；
∴正确的有①③④.
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误即可得到结论．
三、解 答 题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
【正确答案】（1）x1＝－3，x2＝1；（2）x1＝－1，x2＝2

【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解一：（x+3）（x﹣1）=0
解得：x1=﹣3，x2=1
解二：a=1，b=2，c=﹣3
x=
解得：x=
即x1=﹣3，x2=1．
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0
（x+1）（x﹣2）=0
x1=﹣1，x2=2
点睛: 本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．
18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．

【正确答案】证明见解析.

【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.
【详解】试题分析：
证明：∵AD•AC＝AE•AB，
∴＝
在△ABC与△ADE 中
∵＝，∠A＝∠A，
∴ △ABC∽△ADE
19. 已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
【正确答案】y=x2－2 x－3

【分析】由于知道了顶点坐标是（1，－4），所以可设顶点式求解，即设y=a(x－1)2－4，然后把点（0，－3）代入即可求出系数a，从而求出解析式.
【详解】解：设y=a(x－1)2－4，
∵点（0，－3），
∴－3= a(0－1)2－4，
解得a=1
∴二次函数表达式y=x2－2 x－3
20. 初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　 　．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
【正确答案】（1）；（2）P(这2名同学性别相同) =．

【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为A）的结果有4种，
所以P(A)= ．
21. 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：

（1）请将下表补充完整：

（2）请从下列三个没有同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相看， 　的成绩好些；
②从平均数和中位数相看， 　的成绩好些；
③若其他队选手成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）（2）①甲；②乙；③选乙；理由见解析.

【详解】试题分析：（1）分别根据方差公式、中位数的定义以及算术平均数的计算方法进行计算即可得解；
（2）①在平均数相等情况下，方差小的成绩稳定，比较方差可得结论；②在平均数相等的情况下，中位数大的成绩好，比较中位数可得结论；③根据数据特征、折线图的趋势和命中9环以上的次数来进行综合判断，继而选出参赛队员.
解：（1）

平均数
方差
中位数
甲

1.2

乙
7

7.5
（2）①甲；②乙；③选乙；
理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然没有稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高大，更具有培养，应选乙
22. 如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB＝8，求圆环的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）S圆环＝16π

【详解】试题分析：（1）连结OM、ON、OA由切线长定理可得AM=AN，由垂径定理可得AM＝BM，AN=NC，从而可得AB=AC.
（2）由垂径定理可得AM＝BM=4，由勾股定理得OA2－OM2＝AM 2＝16，代入圆环的面积公式求解即可.
（1）证明：连结OM、ON、OA
∵AB、AC分别切小圆于点M、N．
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AM＝BM，AN=NC，
∴AB=AC
（2）解：∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M
∴OM⊥AB
∴AM＝BM＝4
∴在Rt△AOM中，OA2－OM2＝AM 2＝16
∴S圆环＝πOA2－πOM2＝πAM 2＝16π
23. 如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？

【正确答案】电线杆AB的高为8米

【详解】试题分析：过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
试题解析：过C点作CG⊥AB于点G，∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴，∴AG＝＝6，∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，故电线杆AB的高为8米

24. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】分析: （1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
详解:
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵=，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=3．
点睛: 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
25. 商场某种商品平均每天可30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日量增加____件，每件商品，盈利____元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【正确答案】（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）2x，50﹣x；
（3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元

【分析】（1）根据“盈利=单件利润×数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”每件商品降价x元，即可找出日量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×数量”即可列出关于x一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．
故答案为2x，50-x；
（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2-35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．
26. 对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y2＝，则函数y＝min{x，}的图象应该是　 　中的实线部分．
（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条没有同性质：
①　 　；②　 　；③　 　；
（3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于　 　对称．

【正确答案】(1)B,(2) 对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；(3) x=1．

【分析】（1）依据函数解析式，可得当x≤-1时，x≤；当-1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；进而得到函数y=min{x，}的图象；
（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；
（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．
【详解】（1）当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；
∴函数y=min{x， }的图象应该是

故选B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：

性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．
故答案为对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1．
故答案为直线x=1．
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
27. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的值．

【正确答案】(1)证明见解析；（2）

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，从而∠ODB=∠C，根据同位角相等两直线平行可证OD∥AC，进而可证明结论；
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF; ②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE.根据三角形和梯形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求解.
【详解】证明：（1）连接OD，

∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．

∵OD= OB= x，∠B=30°，
∴∠FOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴DF= x，
∴S△ODF= x·x= ，(0＜x≤)
当x=时，S△ODF，值为；
②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE．

∵AB=AC=10，∠B=30°，
∴BC=10，
作OH⊥BC，
∵OD= OB= x，∠B=30°，
∴BD= 2BH= x，
∴CD= 10－x，
∵∠C=30°，∠DEC=90°，
∴DE= (10－x)，CE= (10－x)=15－x，
∴AE=x－5，
∴S梯形AODE= (x－5+ x)· (10－x)= (－+12 x－20) (＜x＜10)
当x=6时，S梯形AODE，值为10；
综上所述，当x=6时，重合部分的面积，值为10．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面积公式，二次函数的性质，知识点比较多，难度比较大.熟练掌握切线的判定方法及二次函数的性质是解答本题的关键.









2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列函数中，二次函数的是
A. y＝2x2＋1 B. y＝2x＋1 C. y＝ D. y＝x2－(x－1)2
2. 下列说法中，正确的是
A. 任意两个矩形都相似 B. 任意两个菱形都相似
C. 相似图形一定是位似图形 D. 位似图形一定是相似图形
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（　　）
A. B. C. D.
4. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为( )
A. 6π B. 8π C. 16π D. 32π
5. 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩平均数及方差如下表所示:

甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.7
9.5
9.5
9.7
方差/环2
5.1
47
4.5
4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是( )
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 若二次函数y＝x2＋(m＋1)x－m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 请写出一个关于x的一元二次方程，且有一个根为2：____．
8. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
9. 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为____．
10. 一元二次方程x2－6x＋5＝0的两根分别是x1、x2，则x1·x2的值是____．
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
12. 将二次函数y＝x2图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的半径为______．
14. 已知二次函数y=x2－2x＋2的图像上有两点A（－3，y1）、B（－2，y2），则y1____y2．（填“＞”“＜”或“＝”号）
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E＋∠F＝80°，则∠A＝____°．

16. 如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是____．

三、解 答 题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：x2－4x＋2＝0； （2）计算：sin30°－cos245°＋tan60°·sin60°．
18. 已知关于x的方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根．求k的值．
19. 某校九年级有个班，共名学生，他们参加了数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图，

(1)求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
(2)下列关于本次数学测试说确的是( )
A.九年级学生成绩的众数没有平均数相等
B.九年级学生成绩的中位数没有平均数相等
C.随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D.随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数.
20. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
21. 如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB=8，CD=2．求⊙O的半径．

22. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求∠ACB的大小．

23. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象点（0，3）、（－1，0）．
（1）求二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当x满足什么条件时，y＞0．

24. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

25. 如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆点A，与BC交于点D.

⑴ 试说明AC与⊙O相切；
⑵ 若，求图中阴影部分的面积.
26. 2016年巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件10元的价格购进了一批奥运纪念玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经发现，奥运纪念玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；奥运纪念玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润？求出此时的利润．
27. 问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．










2022-2023学年江苏省无锡市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列函数中，二次函数的是
A. y＝2x2＋1 B. y＝2x＋1 C. y＝ D. y＝x2－(x－1)2
【正确答案】A

【详解】根据二次函数的定义,形如:,y关于x的二次函数,故选A.
点睛:本题考查二次函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的定义.
2. 下列说法中，正确的是
A. 任意两个矩形都相似 B. 任意两个菱形都相似
C. 相似图形一定是位似图形 D. 位似图形一定是相似图形
【正确答案】D

【详解】因为对应边成比例且对应角相等的图形是相似图形,A选项,因为任意两个矩形的对应边没有一定成比例,因此A选项错误,B选项,因为任意两个菱形对应角没有一定相等,因此B选项错误,C选项,因为位似图形的对应点和位似在同一直线上,它们到位似的距离之比等于位似比,如果两个多边形没有仅相似,而且对应点顶点的连线所在的直线交于一点,对应边互相平行(或在一条直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,因此C选项错误,D选项,因为位似图形一定是相似图形,因此D选项正确,故选D.
点睛:本题主要考查相似图形和位似图形的相关概念,解决本题的关键是要熟练掌握相似图形和位似图形的概念.
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴,
∴，
故选：C．
本题主要考察直角三角形中余弦值计算，准确应用余弦定义是解题的关键．
4. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为( )
A. 6π B. 8π C. 16π D. 32π
【正确答案】B

【详解】因为圆锥侧面积公式,所以S=2×4π=8π,故选B.
点睛:本题主要考查圆锥侧面积公式,解决本题关键是要熟练掌握圆锥侧面积的公式.
5. 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示:

甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.7
9.5
9.5
9.7
方差/环2
5.1
4.7
4.5
4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】D

【分析】
【详解】根据方差的性质可知，方差越小，成绩越稳定，在方差相同情况下，比较平均数，平均数越高，成绩教好，
故选：D.
点睛:本题主要考查平均数和方差的性质，解决本题的关键是要熟练掌握方差和平均数的性质.
6. 若二次函数y＝x2＋(m＋1)x－m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】由二次函数与坐标轴只有两个交点所以可得①：,,；②易得当时也有两个交点，故满足条件的m的值有3个,故选C.
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 请写出一个关于x的一元二次方程，且有一个根为2：____．
【正确答案】x2＝4（答案没有）

【详解】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根情况可得方程为：x2＝4，
故 x2＝4（答案没有）
8. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【正确答案】7

【详解】根据极差的定义,一组数据的值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.
9. 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为____．
【正确答案】1：4．

【详解】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以△ABC与△A'B'C'的面积比为1:4,故答案为 1:4.
10. 一元二次方程x2－6x＋5＝0的两根分别是x1、x2，则x1·x2的值是____．
【正确答案】5

【详解】解：根据韦达定理可得： x1·x2=；
故答案为:5.
11. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
【正确答案】

【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】共有正反，正正，反正，反反4种可能，
则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为．
故答案为．
12. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．
【正确答案】y＝(x－1) 2＋3．

【详解】根据二次函数图象平移规律,左加右减,上加下减的平移规律,所以将二次函数y＝x2的图像向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的新图像的函数表达式是y＝(x－1) 2＋3,故答案为: y＝(x－1) 2＋3.
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的半径为______．
【正确答案】

【分析】根据弧长的公式：l＝进行计算即可．
【详解】由扇形的弧长公式l＝，得：
解得：
故3．
本题考查了扇形的弧长的计算，掌握扇形的弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．

14. 已知二次函数y=x2－2x＋2的图像上有两点A（－3，y1）、B（－2，y2），则y1____y2．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【正确答案】＞

【详解】点A和点B分别代入二次函数解析式可得:,所以y1＞y2,
故答案为: ＞.
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E＋∠F＝80°，则∠A＝____°．

【正确答案】50

【详解】试题分析：连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可．
试题解析：连结EF，如图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
而∠BCD=∠ECF，
∴∠A+∠ECF=180°，
∵∠ECF+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2=∠A，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，
∴∠A+80°+∠A=180°，
∴∠A=50°．
考点：圆内接四边形的性质．
16. 如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是____．

【正确答案】

【详解】设AP=x,则BP=5－x,所以EF=BP=5－x,EC=5－x－x=5－2x,在直角三角形EFC中,根据勾股定理可得:,当x=3时,CF有最小值,CF最小值为,故答案为:.
三、解 答 题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：x2－4x＋2＝0； （2）计算：sin30°－cos245°＋tan60°·sin60°．
【正确答案】（1），；（2）.

【详解】试题分析:(1)利用配方法,再直接开平方法解方程,(2)根据三角函数值求解即可.
试题解析:(1)x2－4x＝－2,
(x－2)2＝2,
x－2＝±,
x1＝2＋,x2＝2－.
（2） sin30°－cos245°＋tan60°·sin60°
原式=,
=,
=.
18. 已知关于x的方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根．求k的值．
【正确答案】3

【分析】根据一元二次方程根的情况可得，可列出(k－2) 2－4×·(k－2)＝0，且k－2≠0，即可求解
【详解】解：因为方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根
所以(k－2) 2－4×·(k－2)＝0，且k－2≠0，
解方程得k 1＝2，k 2＝3
又因为k－2≠0，所以k ＝3
故k ＝3.

19. 某校九年级有个班，共名学生，他们参加了数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图，

(1)求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
(2)下列关于本次数学测试说确的是( )
A.九年级学生成绩的众数没有平均数相等
B.九年级学生成绩的中位数没有平均数相等
C.随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D.随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数.
【正确答案】(1)81分；（2）D

【分析】（1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；
（2）根据条形统计图和扇形统计图没有能求出众数和中位数，从而得出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000=81（分），
答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；
（2）A、根据统计图没有能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；
B．根据统计图没有能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数没有一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；
故选D．
本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数至多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列的概率：
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
【正确答案】(1);(2).

【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案.
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）∵从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者，
∴抽取1名，恰好是甲的概率为.
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种等可能的结果，甲在其中的有3种情况，
∴抽取2名，甲在其中的概率为.
考点：概率.

21. 如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB=8，CD=2．求⊙O的半径．

【正确答案】5.

【详解】试题分析:连接OB,设半径为r,在直角三角形ODB中,BD=4,OD=r－2,OB=r,根据勾股定理列出关于r的方程,解方程即可求解.
试题解析:连接OB,
∵ 在⊙O中,弦AB⊥OC,垂足为D,
∴ AD＝BD＝AB＝4,
设⊙O的半径为r,
在Rt△BOD中,BD2＋OD2＝OB2,
即42＋(r－2) 2＝r 2,
解方程,得r＝5,
所以⊙O的半径为5.
22. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且，求∠ACB的大小．

【正确答案】90°

【分析】利用两边对应成比例且夹角相等可以判定△CDA∽△BDC，再根据相似三角形的性质可得∠A＝∠DCB，根据互余可证∠DCB＋∠ACD＝90°，即可求证.
【详解】∵CD是边AB上的高,
∴CD⊥AB,
∴∠CDA＝∠BDC＝90°,
又 ，
∴△CDA∽△BDC,
∴∠A＝∠DCB,
又∠A＋∠ACD＝90°,
∴∠DCB＋∠ACD＝90°,
即∠ACB＝90°.
23. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象点（0，3）、（－1，0）．
（1）求二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当x满足什么条件时，y＞0．

【正确答案】(1) y＝－x2＋2x＋3；（2）作图见解析；（3）－1＜x＜3．

【详解】试题分析:(1)把（0,3）,（－1,0）代入二次函数y＝－x2＋bx＋c,列方程组即可求解,(2)通过列表,描点,连线画出图象,(3)根据图象找出二次函数图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
试题解析:（1）将（0,3）,（－1,0）代入y＝－x2＋bx＋c可得:
,
解得,
所以二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3,
（2）画图略
（3）－1＜x＜3.
24. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

【正确答案】50m.

【详解】试题分析：作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，求出CE和DE的长，然后相加即可．
试题解析：作AE⊥CD，垂足为E．

在Rt△AEC中，CE=AE•tan26．6°≈40×0．50=20m；
在Rt△AED中，DE=AE•tan37°≈40×0．75=30m；
∴CD=20+30=50m．
答：铁塔的高度为50米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
25. 如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆点A，与BC交于点D.

⑴ 试说明AC与⊙O相切；
⑵ 若，求图中阴影部分的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）连接OA，先得出∠OAB=30°，再解得∠OAC=90°，从而可判断出AC与⊙O的位置关系；
（2）连接AD，设OA的长度为x，根据“阴影部分的面积=△OAC的面积-扇形OAD的面积”列出方程即可求解.
【详解】⑴ 连接OA.
∵ OA=OB
∴ ∠OAB=∠B
∵ ∠B=30°
∴ ∠OAB=30°
△ABC中：∠B=∠C=30°
∴ ∠BAC=180°－∠B－∠C=120°
∴ ∠OAC=∠BAC－∠OAB=120°－30°=90°
∴ OA⊥AC
∴ AC是⊙O的切线，即AC与⊙O相切.
⑵ 连接AD.

∵ ∠C=30°，∠OAC=90°
∴ OC=2OA
设OA的长度为x，则OC=2x
在△OAC中，∠OAC=90°，
根据勾股定理可得：
解得：，（没有合题意，舍去）
∴，
∴
答：图中阴影部分的面积为.
本题主要考查切线的判定与性质、解直角三角形、扇形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.
26. 2016年巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件10元的价格购进了一批奥运纪念玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经发现，奥运纪念玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；奥运纪念玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润？求出此时的利润．
【正确答案】当定价为16元时，每天的利润，利润是1440元．

【详解】试题分析:本题分降价和涨价两种情况计算,(1)在降价情况下, 设每件降价x元,则每天的利润为y1元,根据题意可得y1＝－40x2＋320x＋800,配方求函数最值, 在涨价的情况下,设每件涨价x元,则每天的利润为y2元,根据题意可得y2＝－5x2＋30x＋800,配方求函数最值.
试题解析:在降价情况下,设每件降价x元,则每天的利润为y1元,
y1＝(20－10－x)(80＋40x),
即y1＝－40x2＋320x＋800＝－40(x－4) 2＋1440,
当x＝4元时,即定价为16元时,y1,即利润,利润是1440元,
在涨价的情况下,设每件涨价x元,则每天的利润为y2元,
y2＝(20－10＋x)(80－5x),
即y2＝－5x2＋30x＋800＝－5(x－3) 2＋845,
当x＝3元时,即定价为23元时,y2,即利润,利润是845元,
综上所述,当定价为16元时,每天的利润,利润是1440元.
27. 问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：，．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．

【正确答案】（1）正方形，矩形（答案没有）；（2）证明见解析；（3）.

【详解】试题分析:(1)根据巧妙四边形的定义可写出符合条件的四边形,等腰梯形,矩形,正方形等,(2)圆内接四边形对角线为圆内两条相交的弦,根据同弧所对圆周角相等可证等角,再根据两角分别对应相等的两个三角形相似可证相似三角形,根据相似三角形的性质可得对应边成比例,即可求证,(3)连接BD,可根据题目条件证明四点共圆,即四边形ABCD为圆内接四边形,再根据(2)的结论代入数值即可计算求解.
试题解析:（1）正方形矩形（答案没有）,
（2）∵在⊙O中,∠DAC和∠DBC是所对的圆周角,
∴∠DAC＝∠DBC,
又∠MCB＝∠DCA,
∴△MCB∽△DCA,
∴,
即BC·AD＝AC·BM,
∵在⊙O中,∠CDB和∠CAB是所对的圆周角,
∴∠CDB＝∠CAB．
又∠DCM＝∠ACB,
∴△DCM∽△ACB,
∴,
即AB·CD＝AC·DM,
AC·BM＝AC·(DM＋BM),
即AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,
（3）连接BD,取BD中点M,连接AM,CM,

在Rt△ABD中,BD==3,
在Rt△BCD中，BC==,
∵在Rt△ABD中,M是BD中点,
∴AM＝BD,
∵在Rt△BCD中,M是BD中点,
∴CM＝BD,
∴AM＝CM＝MB＝MD,
∴A,B,C,D四点在以点M为圆心,MA为半径的圆上,
即四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
由（2）的结论可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,
∴AC=.