安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

2022-2023学年第二学期九年级开年考

数学试题

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图标不包含文字是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  是二次函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示，，是函数的图象上关于原点的任意一对对称点，平行于轴，平行于轴，的面积为，则(    )

A.     B.      C.       D.

5.  如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是(    )
 

A.     B.     C.       D.

6.  如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若：：，，则菱形的边长是(    )

A.  

B.  

C.  

D.

7.  如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，、相交于点，，，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，与相切于点，将线段绕点逆时针旋转得到若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：；若，则；若点为的中点，则；其中一定正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11.  二次函数的图象经过点，此函数图象与轴有两个不同的交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______．

12.  如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为________海里．

13.  如图，有一正方形，边长为，是边上的中点，对角线上有一动点，当与相似时，的值为          ．

14.  如图四边形为的内接四边形，于点，若，，则的半径为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分计算：

16.  本小题分如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点．

求证：∽；
若正方形的边长为，求的长．

17. 本小题分 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴交于、两点，是抛物线的顶点，为坐标原点．、两点的横坐标分别是方程的两根，且．
求抛物线的函数解析式；
作，交抛物线于点，求点的坐标及直线的函数解析式；

18.  本小题分如图，中，是角平分线，过作交于点，，．

求证：∽；
求与的长．

19.  本小题分如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．
求证：≌；
若，求证：平分．

20.  本小题分学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．结果精确到参考数据：，，，
求灯杆的高度；
求的长度．

21.  本小题分超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶元．在销售过程中发现，每天销售量瓶与每瓶售价元之间满足一次函数关系其中，且为整数，当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶；当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶．
求与之间的函数关系式；
设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分已知抛物线经过、、三点，直线交抛物线于、两点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
点是直线上方抛物线上的一点，作轴，垂足为，交于点，且点将线段分为：的两部分．
求点的坐标；
过点作于点，若直线到直线的距离是的倍，请直接写出直线的解析式．

23.  本小题分如图，四边形内接于，为直径，上点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点，连结，．
求证：；
如图，连结，若，求的周长．

答案和解析

1. 【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，故选：．
2. 【解析】函数是关于的二次函数，
且，
解得，故选：．
3. 【解析】抛物线平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为，
平移后抛物线解析式为．故选：．
4. 【解析】设点的坐标为，点在反比例函数解析式上，
点的坐标为，，
平行于轴，平行于轴，
的直角三角形，
，，
．故选：．
5. 

【解析】，
，
A.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
B.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
C.添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项错误；
D.添加，不能判定∽，故本选项正确；故选：．

6. 【解析】过点作于点，如图，

四边形是菱形，
，．
，，
，
四边形为平行四边形，
，．
点是边的中点，
，
．
：：，
设，则，
，，
，
．
．
在中，
，
．
解得：负数不合题意，舍去，
．
．
即菱形的边长是，故选：．
7. 【解析】四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，．
，
，
，
，，
在中，，
由同角的余角相等，可得，
．故选A．  

8. 【解析】如图，过点作，交的延长线于点，

，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，

在中，，

，
，故选：．
 

9. 

【解析】与相切于点，
，
，
，
，
．故选：．
10. 【解析】是的内心，
平分，
，故正确；
如图，设的外心为，
，
，
，故错误；

，
，
点为的中点，
，
，故正确；
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，故正确．
一定正确的是，共个．故选：．
11. 

【解析】对于二次函数，当时，，
二次函数过点，
二次函数过点，
点和点关于二次函数的对称轴对称，
二次函数的对称轴为，
二次函数与轴的两个交点关于二次函数的对称轴对称，且一个交点的坐标为，
另一个交点的坐标为，即．
故答案为：．
12. 

【解析】设海里，依题意得，，
海里，海里．
，

海里，即，

，故答案为．

13.或 

【解析】依题意可得：，
设，则有．
点为的中点，
，
当∽时，
由，即，
解得，．
当∽时，
由，即，
解得，，
综上所述，的值为或．故答案为：或．  

14. 

【解析】作直径，连、．

是圆的直径，

，
又，
，
，

，
，
的半径为．故答案为．
15.原式；
原式
， 

16.证明：为正方形，
，，
，
，
，
，
，
∽；
为正方形，
，
，
又，正方形的边长为，
，，
． 

17.解方程得，．
，过作轴于，
是顶点，
点是的中点，
．
在中，
，
，
，
由、、三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可，
抛物线的解析式为或写成；
，由得：
，作轴于，是等腰直角三角形．
设显然，，
则，即，
点在抛物线上，
，
，
解之得：，舍去，
设直线的方程为，代入、的坐标，得，
解之得：，
直线的解析式为；
18.证明：，
∽；
平分，
．
，
，
，
．
∽，
，即，
解得． 

19.证明：是半圆的直径，
，
在与中，，
≌；
，由知，
，
是半圆所在圆的切线，
，
，
由知，
，
，
，
，，
，
平分． 

20.延长交于点，
则，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
在中，，
，
． 

21.设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
与之间的函数关系：  其中，且为整数．
根据题意得：，
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，随着的增大而增大，
且为整数，
当时，有最大值，
即：．
答：当每瓶洗手液的售价定为元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为元． 

22.设抛物线的表达式为：，
将点、的坐标代入上式得：，
故，解得：；
故抛物线的表达式为：；
将点的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：，令，则，故点，
则，则，
设点的坐标为：，则点，
则；
点将线段分为：的两部分，则或，
即：或，
解得：或或舍去，
当时，，同理当时，，
故点或；
由知：，，
则，
当时，；
当时，；
直线到直线的距离是的倍，则直线在的基础上上下平移个单位，
故直线的表达式为：或或或． 

23.证明：为直径，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图所示：连接，

由知：，
在中，，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，舍，
，，
，
，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由知，≌，
，
，
为直径，
，
，
，
在中，，
，
的周长．