- 课时作业(四十一)正切函数的性质与图象 试卷 0 次下载
- 课时作业(四十三)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 试卷 0 次下载
- 课时作业(四十二)两角差的余弦公式 试卷 0 次下载
- 课时作业(四十六)函数y=A sin (ωx+φ) 试卷 0 次下载
- 课时作业(四十四)二倍角的正弦、余弦、正切公式 试卷 0 次下载
高中数学5.5 三角恒等变换精练
展开A.- eq \f(\r(10),5) B. eq \f(\r(10),5) C.- eq \f(\r(15),5) D. eq \f(\r(15),5)
2.已知cs 2α= eq \f(1,2) ,其中α∈(- eq \f(π,4) ,0),则sin α的值为( )
A. eq \f(1,2) B.- eq \f(1,2) C. eq \f(\r(3),2) D.- eq \f(\r(3),2)
3. eq \r(\f(1+cs 260°,2)) 的值等于( )
A.sin 40° B.cs 40°
C.cs 130° D.±cs 50°
4.函数f(x)=sin x-2cs x的最大值为( )
A.1 B. eq \r(3) C. eq \r(5) D.3
5.(多选)已知函数f(x)=sin (2x+ eq \f(π,4) )+cs (2x+ eq \f(π,4) ),则f(x)( )
A.为偶函数
B.在区间(0, eq \f(π,2) )单调递减
C.最大值为2
D.为奇函数
6.函数f(x)= eq \r(3) sin eq \f(x,2) -cs eq \f(x,2) 的最小正周期为________.
7.若sin θ= eq \f(3,5) , eq \f(5π,2) <θ<3π,那么sin eq \f(θ,2) =________.
8.求证: eq \f(1+sin α,1-2sin2\f(α,2)) = eq \f(1+tan\f(α,2),1-tan \f(α,2)) .
9.若α∈(0, eq \f(π,2) ), eq \f(sin α,2-cs α) =tan eq \f(α,2) ,则tan α=( )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \r(3) C. eq \f(\r(3),4) D. eq \f(\r(6),2)
10.(多选)已知4cs (α+ eq \f(π,4) )=cs 2α,则( )
A.sin α+cs α= eq \f(\r(2),2) B.α=kπ+ eq \f(π,4) (k∈Z)
C.tan 4α=0 D.tan α=1
11.函数f(x)=cs x+ eq \r(2) sin x的最大值为________,记函数取到最大值时的x=θ,则cs (θ- eq \f(π,6) )=________.
12.已知函数f(x)=2sin eq \f(x,2) cs eq \f(x,2) -2 eq \r(3) sin2 eq \f(x,2) + eq \r(3) ,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)设g(x)=f( eq \f(x,2) + eq \f(x,6) ),求函数g(x)的单调区间.
[培优生]
13.
北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cs2θ=________.
课时作业(四十五) 简单的三角恒等变换
1.解析:∵ eq \f(π,2) <α<π,∴ eq \f(π,4) < eq \f(α,2) < eq \f(π,2) ,∵cs α=- eq \f(1,5) ,∴sin eq \f(α,2) = eq \r(\f(1-cs α,2)) = eq \f(\r(15),5) .
答案:D
2.解析:由cs 2α=1-2sin2α,cs2α= eq \f(1,2)
所以sin α=± eq \r(\f(1-cs 2α,2)) =± eq \f(1,2) .
∵α∈(- eq \f(π,4) ,0),∴sin α=- eq \f(1,2) .
答案:B
3.解析: eq \r(\f(1+cs 260°,2)) = eq \r(\f(1+2cs2130°-1,2)) = eq \r(cs2130°) =|cs130°|,
所以 eq \r(\f(1+cs 260°,2)) =-cs 130°=sin 40°.
答案:A
4.解析:f(x)=sin x-2cs x= eq \r(5) ( eq \f(\r(5),5) sin x- eq \f(2\r(5),5) cs x)= eq \r(5) sin (x-θ)(其中tan θ=2),
所以当sin (x-θ)=1时,f(x)取最大值 eq \r(5) .
答案:C
5.解析:f(x)= eq \r(2) sin (2x+ eq \f(π,4) + eq \f(π,4) )= eq \r(2) sin (2x+ eq \f(π,2) )= eq \r(2) cs 2x,
所以f(x)是偶函数,A正确,D错误.
2kπ≤2x≤2kπ+π⇒kπ≤x≤kπ+ eq \f(π,2) ,k∈Z,当k=0时,减区间为[0, eq \f(π,2) ],所以B正确.
f(x)最大值为 eq \r(2) ,C错误.
答案:AB
6.解析:f(x)= eq \r(3) sin eq \f(x,2) -cs eq \f(x,2) =2sin ( eq \f(x,2) - eq \f(π,6) ),
所以函数的最小正周期为 eq \f(2π,\f(1,2)) =4π.
答案:4π
7.解析:若sin θ= eq \f(3,5) , eq \f(5π,2) <θ<3π,
∴ eq \f(θ,2) ∈( eq \f(5π,4) , eq \f(3π,2) ),cs θ=- eq \r(1-sin2θ) =- eq \f(4,5) ,
那么sin eq \f(θ,2) =- eq \r(\f(1-cs θ,2)) =- eq \f(3\r(10),10) .
答案:- eq \f(3\r(10),10)
8.证明:左式 eq \f(1+sin α,1-2sin2\f(α,2)) = eq \f(sin2\f(α,2)+cs2\f(α,2)+2sin\f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2)) = eq \f(tan2\f(α,2)+1+2tan\f(α,2),1-tan2\f(α,2))
= eq \f((1+tan\f(α,2))2,(1+tan \f(α,2))(1-tan \f(α,2))) = eq \f(1+tan \f(α,2),1-tan \f(α,2)) ,即得证 eq \f(1+sin α,1-2sin2\f(α,2)) = eq \f(1+tan\f(α,2),1-tan \f(α,2)) .
9.解析:因为tan eq \f(α,2) = eq \f(sin α,2-cs α) ,所以 eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)) = eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2-cs α) ,
又因为α∈(0, eq \f(π,2) ),sin eq \f(α,2) ≠0,所以2-cs α=2cs2 eq \f(α,2) ,即2-csα=1+cs α,
所以cs α= eq \f(1,2) ,又因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))) ,
所以α= eq \f(π,3) ,tan α= eq \r(3) .
答案:B
10.解析:依题意4cs (α+ eq \f(π,4) )=cs 2α,
4(cs αcs eq \f(π,4) -sin αsin eq \f(π,4) )=cs2α-sin2α,
2 eq \r(2) (csα-sin α)=cs2α-sin2α,
(csα+sin α)(cs α-sin α)-2 eq \r(2) (cs α-sin α)=0,
(cs α+sin α-2 eq \r(2) )(cs α-sin α)=0,
所以cs α+sin α-2 eq \r(2) =0或cs α-sin α=0,
eq \r(2) sin (α+ eq \f(π,4) )=2 eq \r(2) ,或sin α=cs α,
sin (α+ eq \f(π,4) )=2(舍去),或tan α=1,
所以α=kπ+ eq \f(π,4) (k∈Z),
4α=4kπ+π(k∈Z),tan 4α=tan (4kπ+π)=tan π=0.
所以A选项错误,BCD选项正确.
答案:BCD
11.解析:∵f(x)=cs x+ eq \r(2) sin x= eq \r(3) sin (x+φ),cs φ= eq \f(\r(6),3) ,sin φ= eq \f(\r(3),3) ,
∴f(x)max= eq \r(3) ,
此时,x+φ=2kπ+ eq \f(π,2) ,k∈Z,
即x=2kπ+ eq \f(π,2) -φ,k∈Z,
∴θ=2kπ+ eq \f(π,2) -φ,k∈Z,
∴cs θ=sin φ= eq \f(\r(3),3) ,sin θ=cs φ= eq \f(\r(6),3) ,
cs (θ- eq \f(π,6) )=cs θcs eq \f(π,6) +sin θsin eq \f(π,6) = eq \f(1,2) + eq \f(\r(6),6) = eq \f(3+\r(6),6) .
答案: eq \r(3) eq \f(3+\r(6),6)
12.解析:(1)∵f(x)=sin x- eq \r(3) (1-cs x)+ eq \r(3) =sin x+ eq \r(3) cs x=2sin (x+ eq \f(π,3) ).
所以,f(x)的最小正周期T=2π.
当sin (x+ eq \f(π,3) )=1时,f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)=2sin (x+ eq \f(π,3) ),
又g(x)=f( eq \f(x,2) + eq \f(π,6) )=2sin ( eq \f(x,2) + eq \f(π,2) )=2cs eq \f(x,2) ,
由2kπ-π< eq \f(x,2) <2kπ(k∈Z),解得4kπ-2π
由2kπ< eq \f(x,2) <2kπ+π(k∈Z),解得4kπ<x<4kπ+2π(k∈Z).
所以,函数g(x)的单调减区间为(4kπ,4kπ+2π)(k∈Z).
13.解析:由题意5cs θ-5sin θ=1,θ∈(0, eq \f(π,4) ),
所以cs θ-sin θ= eq \f(1,5) ,
又(cs θ+sin θ)2+(cs θ-sin θ)2=2
所以cs θ+sin θ= eq \f(7,5) ,
所以cs 2θ=cs2θ-sin2θ=(csθ+sin θ)(cs θ-sin θ)= eq \f(7,25) .
答案: eq \f(7,25)
练 基 础
提 能 力
高考数学一轮复习课时分层作业24简单的三角恒等变换含答案: 这是一份高考数学一轮复习课时分层作业24简单的三角恒等变换含答案,文件包含高考数学一轮复习课时分层作业24参考答案docx、高考数学一轮复习课时分层作业24简单的三角恒等变换含答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共9页, 欢迎下载使用。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十五向量法求空间角距离: 这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十五向量法求空间角距离,共9页。
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练