高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直

一、单选题
1．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（       ）

①平面平面PAD；②平面平面PBC；
③平面平面PCD；④平面平面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．
3．已知点、在平面的两侧，且点、到的距离分别为3和5，则AB的中点到的距离为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（       ）

A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
5．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（       ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
7．已知直线和平面，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则.
8．如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（       ）


A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
9．如图，在正方体中，点P在线段上运动，给出下列判断：

（1）平面平面
（2）平面
（3）异面直线与所成角的范围是
（4）三棱锥的体积不变
其中正确的命题是（       ）
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（4）
10．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）
A．若mα，nα，则mn
B．若α⊥γ，β⊥γ，则αβ
C．若mα，nβ，mn，则αβ
D．若m⊥α，n⊥α，则mn
11．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（　　）

A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
12．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列命题中正确的是（       ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，，则

二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是___________.

14．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与､不重合），则下列结论正确的是___________.

①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③的面积不可能等于；
④若，分别是在平面与平面的正投影影的面积，则存在点，使得､
15．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，则下列结论中正确的是________．
①若，，则点是的中点
②若，则点是的外心
③若，，，则点是的垂心
④若，，，则四面体外接球的表面积为
16．已知三棱锥中，，，，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，为正三角形，且，，则该四棱锥的外接球的半径为___________.

三、解答题
18．如图所示，在长方体中，，点E是的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求二面角的正切值.
19．在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，侧面四边形ABCD是矩形，且平面ABCD⊥平面ABEF，，

（1）求证：AF⊥平面BCE；
（2）求三棱锥A-CEF的体积.
20．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点E是PC的中点，连接.

(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.
21．如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

参考答案：
1．A


对于①②，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
对于③④，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可发现这些平面角不可能为直角.
【详解】
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC，②正确；
同理AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正确；
设平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l，
AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l⊥平面PAD，P为垂足，
∴∠APD为二面角A−l−D的平面角，
若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③错误．
∵AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角，
若平面平面PAC，则AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④错误．
故选：A．
2．B


由题可知，根据几何关系可求AM、BM长度；由题可证BD⊥平面ABM，则过N作NH垂直于AB，则NH垂直于平面ABC，则.
【详解】

如图所示，∵AB是直径，M和N在球面上，∴，
即，
由等面积法得，
，
∵，
平面ABC，
过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，
则.
.
故选：B.
3．D


由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求解即可.
【详解】
如图，设AB的中点为C，过A、B分别作平面的垂线，垂足为、.
则，四点共面. 过C作，垂足为，则，
又，则.即即为所求点到平面的距离.
在平面中，，C为AB中点，则.
故选：D.


立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是“找——证——求”三步法；二是等体积法；三是法向量法.
4．C


在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】
如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，

设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．
故选：C．
5．A


如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.

6．A

过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.
【详解】
如图，过作，连接，

在直三棱柱中，因为
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又
所以
故
故选：A

方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：
（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；
（2）向量法：建系用空间向量公式求解.
7．D


根据空间中线面平行或垂直的判定定理和性质定理对各选项逐一分析即可求解.
【详解】
解：对A：若，，则由面面平行的性质有，所以A正确；
对B：若，，则由线面平行的性质有，又，
从而由面面垂直的判定定理有，所以B正确；
对C：若，，则，又，所以，所以C正确；
对D：若，，则或，所以D错误.
故选：D.
8．C


连接，可得平面，即可判断A，由平面可判断B，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），计算截面面积，然后可判断C、D.
【详解】
如图，连接，可得平面，由与异面可知，不存在点，使得平面，故A正确；
又平面，所以动点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），易得该正六边形的边长为，所以其面积为，故C错误；
截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确，
故选：C.

9．D


（1）线面垂直推出面面垂直；（2）面面平行推出线面平行；（3）数形结合找到异面直线与所成角的最小值和最大值，即可验证（3）；（4）为点C到平面的距离不变，且的面积不变，即可验证（4）.
【详解】
对于A中，根据正方体的性质，可得平面，
又由平面，则平面平面，故（1）正确；
对于B中，连接，在正方体中，可得平面平面，
又由平面，所以平面，故（2）正确；
对于C中，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，
当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围是，故（3）错误；
对于D中，，因为点C到平面的距离不变，且的面积不变，
所以三棱锥的体积不变，故（4）正确．

综上（1）（2）（4）正确.
故选：D.
10．D


根据线面、线线平行与线面、线线垂直的性质与判定判断即可
【详解】
对A，若mα，nα，则也可能相交，故A错误；
对B，举反例正方体的三个相交面互相垂直，满足α⊥γ，β⊥γ，但α⊥β，故B错误；
对C，若mα，nβ，mn，也可能相交，故C错误；
对D，根据线面垂直的性质可得若m⊥α，n⊥α，则mn，，故D正确；
故选：D.
11．A


由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；
进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；
再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；
可证明平面⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A
【详解】
图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；
由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，
而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，
而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．
由于BC⊥平面PDC，又平面
∴平面⊥平面PDC
若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC
由于平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线
显然不与平面PBC垂直，故A错误
故选：A
12．D


根据空间直线和平面的位置关系逐一判断得解.
【详解】
解：选项，直线有可能在平面内；
选项，需要直线在平面内才成立；
选项，两条直线可能异面、平行或相交；
选项，符合面面平行的判定定理，故正确.
故选：D
13．


过作于点，可得平面，是中点，根据即可求出.
【详解】
过作于点，连接，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以是中点，，
，因为,
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.

14．①②④.


当是中点时，可证明平面平面；②取靠近的一个三等分点记为，可证明平面；③作，则；④当，．
【详解】
①如图1

当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正确；
②如图2

取靠近的一个三等分点记为，记，，
因为，所以，
所以为靠近的一个三等分点，则为中点，
又为中点，所以，且，，
平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，且平面，平面，
所以平面平面，且平面，
所以平面，故②正确；
③如图3

作，在中根据等面积得：，
根据对称性可知：，又，
所以是等腰三角形，则，故③错误；
④如图4,图5

设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.
故答案为：①②④.
15．①②③④


根据已知条件和结论逐个验证即可，由可得，进而可得①②都正确；由，，，可得，，，即③正确；利用对棱相等的特征，把四面体放置于长方体中，可求外接球的表面积为，进而可得④正确.
【详解】
因为，，所以，即为的外心;
又因为，所以点是的中点，故①②都正确.

因为，，所以平面，所以；
又因为，所以；
因为，所以平面，所以；
同理可得，，即点是的垂心，故③正确.
把四面体放置于一个长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
所以，即四面体外接球的半径为；
故其外接球的表面积为.

故答案为：①②③④.
16．


由己知得出，取中点，连接，根据已知条件可得，由勾股定理逆定理可得，进而可得平面，可得出的外心就是三棱锥外接球球心，由此可得半径，由球的表面积公式即可求解．
【详解】
因为，，所以，所以，
取中点，连接，则外心，
因为是等边三角形，所以，且，
在中，，，，
所以，所以，又因为，，
所以平面，
所以三棱锥外接球球心在上，
所以的外心就是三棱锥外接球球心，
所以外接球的半径，
球面积为．
故答案为：．

17．6


根据球的截面性质确定球心的位置，解三角形求出球的半径.
【详解】
作中点中点，连接，
设外心为，正方形中心为，球心为，
延长，交于点，
易知，，，
因为，所以，
在中，由余弦定理可知，
，
所以，所以，
因为，所以，所以，，
所以，即，
又，所以外接球半径.
故答案为：6.

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

（1）连接交于点O，连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）由长方体的特征得到，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面即可.
（3）易得，再由平面平面，得到，可得平面，由是二面角的平面角求解.
【详解】
（1）如图所示：

连接交于点O，连接，则O为的中点.
∵E是的中点，∴
又平面，平面，
∴平面.
（2）由题意可知，四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又平面，
∴，即.
（3）在中，，，，
∴
∵平面平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又∵平面，
∴.
∴是二面角的平面角.
在A中，∵，，，
∴，
∴二面角的正切值为.

方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：
（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
19．（1）证明见解析；（2）.

（1）取的中点为，连接,证明再证得平面即可
（2）等体积法得解
【详解】
（1）证明：取的中点为，连接



因为平面 平面
平面
平面
（2）


熟悉线面垂直的判定及性质是解题关键.
20．(1)四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，；
(2)


（1）先证明面，可得，然后结合即可证明面，即可得出四面体的四个面都是直角三角形.
（2）结合（1）及锥体的体积公式即可得解.
(1)
面，平面，，
，，平面，
面，
又，点E是PC的中点，
由，平面
由面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，；
(2)
由已知，是阳马的高，所以.
由（1）知，是鳖臑的高，，
所以.
因为，点E是PC的中点，所以，
所以
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.


（Ⅰ）设与交于E，连接DE，则DE为的中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，由题意可得，根据线面垂直的判定及性质定理可证，所以平面，所以为直线与平面所成平面角，根据题中长度，即可求得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，又，所以即为二面角所成的平面角，根据题中长度，即可求得答案；
【详解】
（Ⅰ）证明：设与交于E，连接DE，如图所示：

由题意得E、D分别为、AC的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，如图所示

由题意得四边形为矩形，且AC=2，，D为AC中点，
所以且，
所以为等腰直角三角形，又F为中点，
所以.
又D为AC中点，且BA=BC，
所以，
又侧棱底面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，
所以为直线与平面所成平面角，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，又平面，
所以，又，
所以即为二面角所成的平面角，
在中，，
所以，且二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.