2023常州高三上学期期末考试（延期）数学含答案

这是一份2023常州高三上学期期末考试（延期）数学含答案，共8页。

2022～2023学年高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．
1. 设集合A＝{x|x＜2}，B＝，则(∁RA)∩B＝(　　)
A. (1，2) B. [1，2] C. [2，3) D. [2，3]
2. 命题“∀x＞0，x＞”的否定为(　　)
A. ∃x＞0，x≤ B. ∃x≤0，x≤ C. ∀x＞0，x≤ D. ∀x≤0，x≤
3. 若复数z＝(a∈R)是纯虚数，则z＝(　　)
A. －1 B. －i C. －ai D. 3i
4. 已知两个单位向量a，b满足(2b－a)⊥(2a－b)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A. － B. － C. D.
5. 已知正三棱柱ABCA1B1C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为(　　)
A. B. C. D. 2
6. 设C(x＋2)n－C(x＋2)n－1＋C(x＋2)n－2－…＋(－1)nC＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an，则a1＋a2＋…＋an－1＝(　　)
A. 2n－1－2 B. 2n－1－1 C. 2n－2 D. 2n－1
7. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据：

x/吨
3
4
5
6
y/吨标准煤
2.5
3
4
4.5
已知该厂技术改造前100吨产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后100吨产品的生产能耗比技术改造前降低了(　　)
参考公式：在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．
A. 19.65吨标准煤 B. 29.65吨标准煤
C. 70.35吨标准煤 D. 90吨标准煤
8. 已知函数f(x)＝则f(f(x))＝1解的个数为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，函数P(x)＝e－(x∈R)的图象为其正态密度曲线，则下列说法正确的是(　　)
A. 这次测试的平均成绩为90
B. 这次测试的成绩的方差为10
C. 分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
10. 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是(　　)
A. 若直线PF1的斜率为k，则|k|∈[0，)
B. 使得△PF1F2为等腰三角形的P有且仅有四个
C. 点P到两条渐近线的距离乘积为
D. 已知点Q(7，5)，则F2P＋PQ的最小值为5
11. 已知函数f(x)＝2x－tan x，则下列结论正确的是(　　)
A. 函数f(x)不是周期函数
B. 函数f(x)的图象只有一个中心对称点
C. 函数f(x)的单调递减区间为(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
D. 曲线y＝f(x)(－＜x＜)只有一条过点(1，0)的切线
12. 若棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为R的球面上，球面上点P与球心O分别位于平面ABCD的两侧，且四棱锥PABCD是侧棱长为l的正四棱锥．记正四棱锥PABCD的侧棱与直线AB所成的角为α，与底面ABCD所成的角为β，则下列说法正确的是(　　)
A. 15°＜α＜45° B. 15°＜β＜45° C. R＝a D. l＝a
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 数据23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36的25百分位数是________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x－10)2＋y2＝25上，则PQ的最小值为________．
15. 已知函数f(x)＝＋x2，则不等式f(x＋1)＋f(x－1)＜2x2＋2的解集为________．
16. 已知数列{an}中，a1＝1，n2an＋1＝2(n＋1)2an.记bn＝an＋1－an，则{an}的通项公式an＝________；{bn}的前n项和Tn＝________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．
(1) 记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和数学期望；
(2) 求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率．







18.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 记cn＝log2bn＋1，求数列的前n项和Sn.








19.(本小题满分12分)
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边AB上的高CD为1，且c2＝ab cos C.
(1) 求证：＋＝；
(2) 求AB的最小值．











20.(本小题满分12分)
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB，AC于点M，N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN，使得二面角A1MNB是直二面角．
(1) 若平面A1MN∩平面A1BC＝l，求证：l∥BC；
(2) 若三棱锥A1AMN的体积为1，求二面角NA1MB的正弦值．





21.(本小题满分12分)
已知点P(2，－1)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，C的长轴长为4，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率之积为.
(1) 求证：k为定值；
(2) 若直线l与x轴交于点Q，求QA2＋QB2的值．





22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋3ax＋1－a2，a∈R.
(1) 若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2) 设函数f(x)有两个极值点x1，x2，若过点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线恒在函数g(x)＝x·ex－ln x＋x图象的下方，求实数a的取值范围．
2022～2023学年高三年级模拟试卷(常州)
数学参考答案及评分标准

1. C　2. A　3. B　4. D　5. D　6. C　7. A　8. A　9. AD　10. ABC　11. AD　12. BC
13. 23.5　14. 3　15. (－∞，0)　16. n22n－1　(2n－1)2n＋1
17. 解：(1) X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
P



所以随机变量X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(5分)
(2) 记事件B：从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球，
(1)中X＝0，1，2正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式，得
P(B)＝P(X＝i)P(B|X＝i)＝×＋×＋×＝，
所以从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率为.(10分)
18. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6，
所以2＋d＝q2≠0，16＋8d＝q5，所以q3＝＝8，所以q＝2，d＝2.
从而an＝2n－1，bn＝2n－1.(6分)
(2) 易知cn＝log2bn＋1＝log22n＝n，
所以＝＝＝[1＋]＝＋(－)，
所以Sn＝＋＋…＋＝＋(－＋－＋…＋－)，
即Sn＝＋＝＝.(12分)
19. 解：(1) 由c2＝ab cos C及正弦定理得sin2C＝sinA sin B cos C，所以＝.
因为锐角三角形中，A＋B＝π－C，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
所以＝，所以＋＝.(5分)
(2) 因为CD＝1，所以AD＝，BD＝，所以AB＝AD＋BD＝.
又因为tan C＝tan (∠ACD＋∠BCD)＝＝，
所以AD＋BD＝，(9分)
所以(AD＋BD)2＝1－AD·BD≥1－()2，当且仅当AD＝BD时等号成立，
所以(AD＋BD)2≥1，所以AB＝AD＋BD≥.
所以AB的最小值为.(12分)
20. (1) 证明：因为MN∥BC，MN⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以MN∥平面A1BC，
又因为MN⊂平面A1MN，平面A1MN∩平面A1BC＝l，所以l∥BC.(4分)
(2) 解：取BC的中点D，连接AD交MN于点O，连接OA1.
在正三角形ABC中，MN∥BC，D为BC的中点，所以O为MN的中点，AM＝AN，

所以OD⊥MN，A1M＝AM＝AN＝A1N，从而OA1⊥MN.
因为二面角A1MNB是直二面角，即平面A1MN⊥平面BMN，
平面A1MN∩平面BMN＝MN，OA1⊂平面A1MN，
所以OA1⊥平面BMN，即OA1⊥平面ABC.(8分)
设OA＝OA1＝x，则＝＝，所以MN＝.
因为三棱锥A1AMN的体积为1，
所以×MN·OA·OA1＝1，即×·x2＝1，所以x＝.(9分)
以O为原点，OM，OD，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
易得平面A1MN的一个法向量为n1＝(0，1，0)，
M(1，0，0)，A1(0，0，)，B(2，，0)，所以＝(1，，0)，MA1＝(－1，0，)，
设平面A1MB的法向量为n2＝(x，y，z)，有则取z＝1，则x＝，y＝－1，
所以平面A1MB的一个法向量为n2＝(，－1，1)，＝＝－，
即二面角NA1MB的正弦值为.(12分)
21. 解：(1) 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则2a＝4，
故可设椭圆C的方程为＋＝1(2＞b＞0).
因为点P(2，－1)在椭圆C上，所以＋＝1，
解得b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(3分)
由整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以k1k2＝·＝＝＝，
所以(4k2－1)x1x2＋(4km＋4k＋2)(x1＋x2)＋4(m2＋2m)＝0，
所以(4k2－1)＋(4km＋4k＋2)＋4(m2＋2m)＝0，
整理得(2k－1)(2k＋1＋m)＝0，因为直线l不经过点P，
所以2k＋1＋m≠0，故2k－1＝0，即k＝为定值．(7分)
(2) 因为直线l：y＝x＋m，所以Q(－2m，0)，
由得2x2＋4mx＋4m2－8＝0，即x2＋2mx＋2m2－4＝0，则
所以||2＋||2＝(x1＋2m)2＋y＋(x2＋2m)2＋y
＝(x1＋2m)2＋(x1＋2m)2＋(x2＋2m)2＋(x2＋2m)2＝[(x1＋2m)2＋(x2＋2m)2]
＝[x＋x＋4m(x1＋x2)＋8m2]＝[(x1＋x2)2＋4m(x1＋x2)－2x1x＋8m2]
＝[(－2m)2－2m·4m－2(2m2－4)＋8m2]＝10.(12分)
22. 解：(1) 因为a＝1，f(x)＝－x3＋x2＋3x，f′(x)＝－x2＋2x＋3＝0，令f′(x)＝0，得x＝－1，3.

x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，3)，单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).(4分)
(2) 因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，
所以f′(x)＝－x2＋2ax＋3a＝0有两个不相等的解x1，x2，Δ＝4a2＋12a＞0，
所以a＞0或a＜－3，x＝2ax1＋3a，则x＝2ax＋3ax1，
所以f(x1)＝－(2ax＋3ax1)＋ax＋3ax1＋1－a2，
＝x＋2ax1＋1－a2＝(2ax1＋3a)＋2ax1＋1－a2＝(a2＋2a)x1＋1，
同理f(x2)＝(a2＋2a)x2＋1，
则过点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线方程为y＝(a2＋2a)x＋1.(7分)
由题意知(a2＋2a)x＋1＜x·ex－ln x＋x，对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
等价于a2＋2a＜，对任意x∈(0，＋∞)恒成立．
先证：ex≥x＋1，当且仅当x＝0时成立．
令g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以当且仅当x＝0时，g(x)的最小值为g(0)＝0，
所以≥＝2，当且仅当x＋ln x＝0时取等号，
令t(x)＝x＋ln x，t(1)＝1＞0，t()＝－1＜0，t(x)的图象是连续不间断的，
所以存在x0∈(，1)，使x0＋ln x0＝0，所以的最小值为2.(10分)
所以a2＋2a＜2，因为a＞0或a＜－3，
所以实数a的取值范围是(0，)∪(，－3).(12分)