2023十堰高二上学期期末数学试题含答案

十堰市2022~2023学年度上学期期末调研考试题

高二数学

本试卷共4页，22题，均为必考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知数列，则该数列的第100项为（    ）

A．99    B．    C．    D．111

2．已知直线与直线，若，则（    ）

A．    B．2    C．2或    D．5

3．如图，在四面体中，E是的中点，，设，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．在x，y轴上的截距分别为，3的直线l被圆截得的弦长为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格，若反面朝上，则往前跳一格．记跳到第n格可能有种情况，的前n项和为，则（    ）

A．56    B．68    C．87    D．95

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知双曲线，则（    ）

A．C的一个顶点坐标为      B．C的实轴长为8

C．C的焦距为               D．C的离心率为

10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（    ）

A．A与B相互独立      B．A与D相互独立    C．B与C为互斥事件    D．C与D为互斥事件

11．如图，平行六面体的体积为，，，，且，M，N，P分别为的中点，则（    ）

A．与夹角的余弦值为          B．平面

C．                              D．P到平面的距离为

12．若直线l与抛物线有且仅有一个公共点，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为．已知抛物线上有两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，过抛物线C上异于A，B的一点的切线分别与交于点M，N，则（    ）

A．直线的方程为          B．点A，Q，B的横坐标成等差数列

C．                D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．

14．已知两圆与外离，则整数m的一个取值可以是_____________．

15，“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则___________．

16．如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为_________、直线与平面所成角的正弦值为_______________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．

（1）求语文成绩在内的学生人数．

（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．

（3）若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．

19．（12分）已知圆C经过点，且圆心在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）若平面上有两个点，点M是圆C上的点且满足，求M的坐标．

20．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，且，，，E，F分别是的中点．

（1）证明：平面平面．

（2）求二面角的大小．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，垂直于x轴，O为坐标原点，且，．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．

十堰市20222023学年度上学期期末调研考试题

高二数学参考答案

1．B  该数列的通项公式为，所以．

2．A  若，则，所以或．

当时，重合；当时，符合题意．

3．B  因为E是的中点，，所以．

4．C  由题意可知直线l的方程为，即．因为圆C的圆心为，半径为4，所以圆心到直线l的距离，故直线l被圆C截得的弦长为．

5．D  由题意可知，解得．

6．A  因为圆C的半径为，所以．当时，最小，因为圆C的圆心为，

所以，所以的最小值为．

7．D  因为，所以．

在中，由余弦定理得，

所以，所以．

8．C  根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第个格跳过来，有种方式，另一种是从第n个格跳过来，有种方式．所以．因为，所以，，，，，，所以．

9．BD  因为，所以．因为焦点在y轴上，所以C的顶点坐标为，实轴长为8，离心率为，焦距为．

10．ABD  连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：．共36个．

依题意，，事件C包括，共5个，，

事件D包括，共6个，．

对于A，事件只有结果，A与B相互独立，A正确；

对于B，事件只有结果，A与D相互独立，B正确；

对于C，事件含有结果，不是互斥事件，C不正确；

对于D，事件是不可能事件，即C与D是互斥事件，D正确．

11．AD  因为，且，所以四边形的面积为．

因为平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为．因为，所以在底面的投影在上．设在底面的投影为O，则，因为，所以．

因为，所以O为的中点．以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，，，，，．

因为，所以与夹角的余弦值为，故A正确．

设平面的法向量为，

则

令，则．因为，所以与平面不平行，故B错误．

因为，所以与不垂直，故C错误．

设平面的法向量为，

则令，得．

因为，所以P到平面的距离为，故D正确．

12．ACD  由题意知，抛物线C在点A，B处的切线方程分别为．

因为直线交于点，所以，

所以在直线上，即直线的方程为，故A正确．

联立方程组得．

因为，所以，所以，故B错误．

因为抛物线C在点处的切线方程为，

联立方程组可得，同理得．

因为，所以，

，所以，

所以，即，故C正确．

因为具有等价性，所以同理可得，即，故D正确．

13．  因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为，所以最后甲获胜的概率．

14．（或或）（只需从中写一个答案即可）因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆圆心的距离为．因为圆的半径为，圆的半径为，所以所以，故整数m的取值可能是．

15．5050  因为数列的递推公式为，

所以，

所以，

故．

16．；   以A为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．

．

因为，所以，所以点E到直线的距离为．

记平面的法向量为，

则令，得．

因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．

17．解：（1）当时，．

当时，，

所以，

因为也满足，所以通项公式为．

（2）因为，

所以．

18．解：（1）由频率分布直方图，知，解得，

语文成绩在内的学生人数为．

（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率．

（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c，

样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有，

所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为．

19．解：（1）因为圆心在直线上，所以可设圆心．

因为圆C经过点，所以，

即，解得，所以圆心C为，

因为半径，所以圆C的方程为．

（2）设，则，

由，可得，

化简得．

联立方程组解得

即点M的坐标为或．

20．（1）证明：取的中点G，连接．

因为，所以．

在中，，所以为等边三角形，所以．

因为，所以平面．

因为E，F分别是的中点，所以，

所以平面平面，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解：由（1）知平面．因为，所以可求得四棱锥的高为．

以G为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则．

．

记平面的法向量为，

则令，得．

记平面的法向量为，

则令，得．

因为，且二面角为纯角，

所以二面角为．

21．解：（1）由题意可知点M的坐标为，

因为，所以，即，得．

因为，所以．

因为，所以，

故椭圆C的标准方程为．

（2）假设x轴上存在点，使得，则．

设直线l的方程为，

联立方程组消去x整理得，

则，

，

即．

由，解得，

故存在，使得．

22．（1）解：由题意知．

因为双曲线C的渐进线方程为，所以．

因为，所以，

放双曲线C的标准方程为．

（2）证明：设．

①当直线l的斜率存在时，设l的方程为，

联立方程组化简得，

则，即，

且

因为，

所以，

化简得，

所以或，且均满足．

当时，直线l的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线l的方程为，过定点．

②当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线，

联立方程组得（舍去）或，此时直线l也过定点．

因为，所以点G在以为直径的圆上，H为该圆圆心，为该圆半径．

故存在定点，使为定值6．