2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选， 填 空 题， 解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ）
A. 清华大学 B. 北京大学
C. 中国人民大学 D. 浙江大学
2. 若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径是（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
3. 如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（　　）

A. 40° B. 30° C. 35° D. 25°
4. 国家游泳——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约
为260000平方米，将260000用科学记数法表示为2.6×10n，则n的值是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 下列命题中，正确的是（　　）
A. 三角形一个外角大任何一个内角 B. 等腰三角形的两个角相等
C. 三个角分别对应相等的两个三角形全等 D. 三角形的三条高可能在三角形内部
6. 如图．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC的周长等于（　　）

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
7. 下列四个分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
8. 要使x2+6x+k是完全平方式，那么k的值是（　　）
A. 9 B. 12 C. ±9 D. 36
9. 如果多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x+2）（x﹣5），则m+n的值是（ ）
A. ﹣5 B. ﹣7 C. 2 D. -2
10. 若与 互为相反数，则x的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 填 空 题(每题3分，共30分)
11. 若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是_____．
12. 点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为__________．
13. 一个正多边形除一个内角外，其余各个内角的和为1650°，则这个正多边形的边数为__．
14. 在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．
15. 当x=_________时，分式无意义．
16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于_____．

17. 已知（a+2b)2-2a-4b+1=0,那么（a+2b)2005=　 　．
18. 某厂接到加工720件衣服订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为__________________________________．
19. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．
20. 如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为________．

三、 解 答 题（60分）
21. 计算：（2a2）2•b4÷4a3b2．
[（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-2ab]÷2a
22. 先化简，再求值：
(1) ÷（x- ），其中x=2sin60°+2cos60°
（2）先化简(1－1x－1)÷x2－4x＋4x2－1，再从没有等式2x－1＜6正整数解中选一个适当的数代入求值．
23. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．(要求：写出证明过程中的重要依据)   


24. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.

25. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．


26. 如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AB＝4，B为OE中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
(3)如图②，连接OD交AC于点G，若，求sinE的值．







2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ）
A. 清华大学 B. 北京大学
C. 中国人民大学 D. 浙江大学
【正确答案】B

【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可．
【详解】A、没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、没有是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
2. 若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径是（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
【正确答案】B

【详解】如图，设AD=x,BD=y,EC=z,由题意得，
,解得,所以半径是2，故选B.

3. 如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（　　）

A. 40° B. 30° C. 35° D. 25°
【正确答案】C

【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC代入数据进行计算即可得解．
详解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，
=70°-35°，
=35°．
故选C．
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4. 国家游泳——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约
为260000平方米，将260000用科学记数法表示为2.6×10n，则n的值是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C

【详解】260000=2.6,所以n=5.故选C.
5. 下列命题中，正确的是（　　）
A. 三角形一个外角大任何一个内角 B. 等腰三角形的两个角相等
C. 三个角分别对应相等的两个三角形全等 D. 三角形的三条高可能在三角形内部
【正确答案】D

【详解】选项A. 三角形的一个外角大任何一个内角，钝角三角形没有满足，错误.
选项 B. 等腰三角形的两个底角相等，错误.
选项C. 三个角分别对应相等的两个三角形全等,可能相似,错误.
选项 D. 三角形的三条高可能在三角形内部,正确.
故选D.
6. 如图．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC的周长等于（　　）

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
【正确答案】D

【详解】AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点,所以AP=BP=BC=4,PC=2,所以△PBC周长是10.故选D.
7. 下列四个分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
【详解】是最简分式；==x+1，没有是最简分式；=，没有是最简分式；==a+b，没有是最简分式.
故选A.
此题主要考查了最简分式的概念， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键.
8. 要使x2+6x+k是完全平方式，那么k的值是（　　）
A. 9 B. 12 C. ±9 D. 36
【正确答案】A

【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答．
【详解】解：，
．
故选：A．
本题主要考查了完全平方式，解题的关键是根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9. 如果多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x+2）（x﹣5），则m+n的值是（ ）
A. ﹣5 B. ﹣7 C. 2 D. -2
【正确答案】B

【详解】（x+2）（x﹣5）= x2-3x-10.故m=3,n=-10,所以m+n=-7.故选B.
10. 若与 互为相反数，则x的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D

【分析】根据互为相反数两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意得+=0，
去分母3x+4(1-x)=0，
解得x=4．
经检验得x=4是原方程的解．
故选：D．
本题考查了相反数的意义及解分式方程，解分式方程务必要检验．
二、 填 空 题(每题3分，共30分)
11. 若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是_____．
【正确答案】2
【详解】由题意得1 12. 点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为__________．
【正确答案】（1，-2）

【分析】利用关于x轴对称点的性质，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标没有变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
【详解】点M(1，2)关于x轴对称的点的坐标为：(1，−2).
故答案为(1，−2).
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标.熟记关于x轴、y轴对称点的坐标特点是解决此题的关键.
13. 一个正多边形除一个内角外，其余各个内角的和为1650°，则这个正多边形的边数为__．
【正确答案】12

【详解】由题意得=,
去分母得
解得n=12.
14. 在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．
【正确答案】75°

【详解】已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.
15 当x=_________时，分式无意义．
【正确答案】3

【详解】3-x=0,所以x=3时，分式无意义.
16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于_____．

【正确答案】

【详解】∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+DB=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=
故
17. 已知（a+2b)2-2a-4b+1=0,那么（a+2b)2005=　 　．
【正确答案】1

【详解】（a+2b)2-2(a+2b)+1=0,
(a+2b+1)2=0,所以a+2b=-1，所以（a+2b)2005=1.
18. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为__________________________________．
【正确答案】

【详解】试题解析：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．所列方程为：
．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
19. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．
【正确答案】2

【详解】去分母得，m-1-x=0.
∵方程有增根，∴x=1, ∴m-1-1=0, ∴m=2.
20. 如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为________．

【正确答案】32

【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A6B6=32B1A2=32．
故答案是：32．

考点：等边三角形的性质．
三、 解 答 题（60分）
21. 计算：（2a2）2•b4÷4a3b2．
[（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-2ab]÷2a
【正确答案】(1) ab2;（2）a+b

【详解】试题分析：（1）积的乘法，整式的除法计算.(2)平方差公式和完全平方公式展开化简.
试题解析：
（1）原式=4a4b4÷4a3b2=ab2．
（2）原式=（a2-4b2+a2+4ab+4b2-2ab）÷2a=（2a2+2ab）÷2a=a+b
点睛：因式分解一般方法:
提取公因式:，
公式法:, （平方差公式）
, （完全平方公式）
十字相乘法:(x+a)(a+b)=.
22. 先化简，再求值：
(1) ÷（x- ），其中x=2sin60°+2cos60°
（2）先化简(1－1x－1)÷x2－4x＋4x2－1，再从没有等式2x－1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．
【正确答案】(1) ,；（2）4.

【详解】（1）原式=.
x=2sin60°+2cos60°=+1.
∴原式=.
(2)原式＝x－2x－1×（x＋1）（x－1）（x－2）2
＝x＋1x－2，
∵2x－1＜6，∴2x＜7，∴x＜72，
把x＝3代入上式得：原式＝3＋13－2＝4
23. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．(要求：写出证明过程中的重要依据)   

【正确答案】△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE或△BFD≌△CFE（写出两个即可），选择一个证明即可.

【详解】利用全等三角形的判定定理证明方法，选择证明即可.
△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE或△BFD≌△CFE（写出两个即可）.
（1）选△ABE≌△ACD，
证明：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AB，AE=AC，
又∵AB=AC，∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
（2）选△BCD≌△CBE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BD=AB，CE=AC，∴BD=CE,
在△BCD和△CBE中，,
∴△BCD≌△CBE.
（3）选△BFD≌△CFE.
   证明：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AB，AE=AC.
在△ABE和△ACD中，,
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD（全等三角形对应角相等）
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BD=AB，CE=AC，
∴BD=CE,
在△BFD和△CFE中，,
∴△BFD≌△CFE（AAS）.

24. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.

【正确答案】（1）函数为，反比例函数为；（2）△AHO的周长为12

【详解】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B两点的坐标，用待定系数法便可求出函数的解析式．
（2）由（1）知AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案.
详解：（1）∵tan∠AOH==
∴AH=OH=4
∴A（-4，3），代入，得
k=-4×3=-12
∴反比例函数为
∴
∴m=6
∴B（6，-2）
∴
∴=，b=1
∴函数为
（2）
△AHO的周长为：3+4+5=12
点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数及反比例函数的解析式．
25. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．

【正确答案】详见解析.

【详解】(1)∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.

(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则，.

(5)

26. 如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
(3)如图②，连接OD交AC于点G，若，求sinE的值．

【正确答案】(1)证明见解析；(2)CF＝；(3) sinE＝.

【详解】试题分析：（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OC=1，CF=OF=；
（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得==，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．
试题解析：（1）连结OC，如图1，∵DE与⊙O切于点C，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AC平分∠DAB；
（2）如图1，
∵直径AB=4，B为OE的中点，
∴OB=BE=2，OC=2，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，∵CF⊥AB，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=；
（3）连结OC，如图2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，∴==，设⊙O的半径为R，OE=x，∴=，解得OE=3R，
在Rt△OCE中，sin∠E===．

考点：切线的性质；平行线的性质；锐角三角函数的定义．











2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最小的数是（　　）
A. 6 B. ﹣6 C. 0 D. ﹣2π
2. 小敏计划在暑假参加海外游学，她打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友．如图所示是她设计的礼盒的平面展开图，请你判断，正方体礼盒上与“孝”字相对的面上的字是（ ）

A. 义 B. 仁
C. 智 D. 信
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A B.
C. . D.
4. 某校组织学生参观绿博园时，了解到某种花的花粉颗粒的直径大约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）

A. 30° B. 20° C. 15° D. 14°
6. 如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的O2恰好在大量角器的圆周上．设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为65°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）

A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
7. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A. B.
C. D.
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A ，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中没有一定正确的是（ ）

A. AD=BD B. BE＞CD
C. ∠BEC=∠BDC D. BE平分∠CBD
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A 点（0，3） B. 点（2，3）
C. 点（5，1） D. 点（6，1）
10. 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )

A. B. C. D.
填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：__________．
12. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为______．
13. 没有等式组整数解的个数为_____．
14. 有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切．如图1，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图2，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是__________cm2．

15. 如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD=AB=1，AG=2，点E是线段BC上的一个动点（点E没有与点B，C重合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是__________．

解 答 题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，请先化简代数式，并求出该代数式的值．
17. 植树节期间，某校360名学生参加植树，要求每人植树3～6棵，结束后随机抽查了20名学生每人植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵．根据各类型对应的人数绘制了扇形统计图（如图1）和尚未完成的条形统计图（如图2）．请解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）这20名学生每人植树量的众数为________棵，中位数为________棵；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，n=4，，，，；
第三步：．
①小宇的分析是没有正确的，他错在第几步？
请你帮他计算出正确的平均数，并估计这360名学生共植树多少棵．
18. 如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（没有与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E．
（1）请猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．

19. 美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

20. 图，反比例函数的图象点A(1，4)，直线y=2x+b（b≠0）与双曲线在、三象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=-3时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若没有存在，请说明理由．

21. 夏季即将来临，某电器超市每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的情况：
时段
数量
收入
A种型号
B种型号
周
2台
3台
1130元
第二周
5台
6台
2510元
（进价、售价均保持没有变，利润=收入-进货成本）
（1）分别求出A，B两种型号电风扇的单价；
（2）若超市准备用没有超过5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇至多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购；若没有能，请说明理由．
22. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．如图，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系，

（1）观察猜想：如图，若点O在正方形（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是 ；
（2）探究证明；如图，若点O在正方形的内部（含边界），且OM=ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由；
（3）拓展延伸：若点O在正方形的外部，且OM=ON，请你在如图中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论（没有必说明理由）．
23. 如图，抛物线过点，，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，直线的解析式为，抛物线的对称轴与线段交于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，求的面积；
（3）图1中的直线向下平移4个单位长度得到直线如图2，直线与轴交于点．点是折线上的一点，过点分别作轴、直线的垂线，垂足为点，是否存点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省温州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最小的数是（　　）
A. 6 B. ﹣6 C. 0 D. ﹣2π
【正确答案】D

【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数值大的反而小，进行比较即可.
【详解】，
最小的数是.
故选：D.
此题考查了实数的大小比较，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数值大的反而小.
2. 小敏计划在暑假参加海外游学，她打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友．如图所示是她设计的礼盒的平面展开图，请你判断，正方体礼盒上与“孝”字相对的面上的字是（ ）

A. 义 B. 仁
C. 智 D. 信
【正确答案】B

【分析】根据正方体与平面展开图的关系，逐个判断即可得到结论．
【详解】解：根据正方体的平面展开图，
有字信的正方形与有字智的正方形相对，
有字孝的正方形与有字仁的正方形相对，
有字义的正方形与有字礼的正方形相对，
所以正方体礼盒上与“孝”字相对的面上的字是“仁”．
故选：B．
本题考查几何体的平面展开图，解题的关键是熟练掌握几何体与平面展开图之间的关系．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. . D.
【正确答案】D

【分析】根据同底数幂乘法、同底数幂除法、积乘方的运算法则，计算后利用排除法求解.
【详解】、与没有是同类项，没有能合并，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、，故选项正确.
故选.
此题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，此题还需注意没有是同类项没有能合并.
4. 某校组织学生参观绿博园时，了解到某种花的花粉颗粒的直径大约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】.
故选.
此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起个没有为零的数字前面的的个数所决定.
5. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）

A. 30° B. 20° C. 15° D. 14°
【正确答案】C

【分析】先根据平行线的性质得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
，

故选：

此题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质与三角板的特点是解答此题的关键．
6. 如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的O2恰好在大量角器的圆周上．设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为65°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）

A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
【正确答案】C

【分析】依题意，设大量角器左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度.
【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、，
则，，
因而，
在大量角器中弧所对的圆心角是，
因而在大量角器上对应的度数为.
故选.

本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.
7. 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【分析】根据题意和图形可以得到相应方程，从而可以解答本题.
【详解】由题意可得，
，
故选.
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A ，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中没有一定正确的是（ ）

A. AD=BD B. BE＞CD
C. ∠BEC=∠BDC D. BE平分∠CBD
【正确答案】D

【分析】根据题意可知是的垂直平分线，由此即可得出，由中点是的中点，可得和均为等腰三角形，据此作出判断．
【详解】由题可得，是的垂直平分线，
，故A选项正确；
，点是的中点，
，
，
中，，
，故B选项正确；
是等腰的外角，
，
是等腰的外角，
，
，故C选项正确；
当时，，
当时，平分，
而没有一定为，
没有一定平分，故D选项错误．
故选：D．
本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识的运用．解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A. 点（0，3） B. 点（2，3）
C. 点（5，1） D. 点（6，1）
【正确答案】C

【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．

10. 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：分析题中所给函数图像，
段，随的增大而增大，长度与点的运动时间成正比．
段，逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除、选项，
段，逐渐减小直至为，排除选项．
故选．

本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，没有仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：__________．
【正确答案】1

【分析】项利用立方根的定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，计算即可得到结果.
【详解】.
故答案为.
此题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.
12. 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价也成为卖家和买家都关注的信息．消费者在网店购物后，将从“好评”、“中评”、“差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的．若甲、乙两名消费者在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，那么两人中至少有一个给“好评”的概率为______．
【正确答案】

【分析】画树状图展开所有9种等可能的结果数，再找出两个中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，
所以两人中至少有一个给“好评”的概率为.
故答案为.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展开所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率.
13. 没有等式组的整数解的个数为_____．
【正确答案】3

【分析】先求出每个没有等式的解集，再确定其公共解，得到没有等式组的解集，然后求其整数解.
【详解】，
由没有等式得，
由没有等式得，
其解集是，
所以整数解为共.
故答案为.
本题考查没有等式组的解法及整数解的确定，求没有等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较小，同小取较小，小小中间找，小小解没有了.
14. 有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切．如图1，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图2，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是__________cm2．

【正确答案】

【分析】如图，露在外面部分的面积可用扇形与的面积差来求得，在中，可根据即圆的直径和即圆的半径长，求出的度数，进而得出和的度数，即可求得与扇形的面积，由此可求得阴影部分的面积.
【详解】以为直径的半圆，正好与对边相切，

，
，
，
，
，
扇形的面积为，
作于，
，，
,，
的面积为，
半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是.
故答案为.
此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系，还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径，还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是.
15. 如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD=AB=1，AG=2，点E是线段BC上的一个动点（点E没有与点B，C重合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是__________．

【正确答案】

【分析】分三种情况分别讨论即可解决问题.
【详解】①当点落在的延长线上时，设，
在中，
，
，
解得.

②当点落在的延长线上时，易知.

③当点落在的延长线上时，易知，

综上所述，满足条件的的值为或或.
故或或.
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.
解 答 题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，请先化简代数式，并求出该代数式的值．
【正确答案】，-1.

【分析】关于的方程有两个相等的实数根，则，可得，然后根据分式有意义的条件和分式的化简求值方法进行解答即可.
【详解】∵关于x的方程x2﹣2ax+a=0有两个相等的实数根，
∴（﹣2a）2﹣4a=0，即4a2﹣4a=0，4a（a-1）=0 ,
∴a=0或a=1.

∵∴取a=0.
∴原式=-1.
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1）方程有两个没有相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根.
17. 植树节期间，某校360名学生参加植树，要求每人植树3～6棵，结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵．根据各类型对应的人数绘制了扇形统计图（如图1）和尚未完成的条形统计图（如图2）．请解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）这20名学生每人植树量的众数为________棵，中位数为________棵；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，n=4，，，，；
第三步：．
①小宇的分析是没有正确的，他错在第几步？
请你帮他计算出正确的平均数，并估计这360名学生共植树多少棵．
【正确答案】（1）图见解析；（2）4；4； （3）①第二步；②4.3；1548.

【分析】（1）总人数乘以类型的百分比求得其人数，据此补全条形图可得；
（2）根据众数和中位数的定义求解可得；
（3）①利用平均数的定义解答；②求出样本的平均数，再乘以数据的总数量可得答案.
【详解】（1）20×10%＝2，
完整的条形统计图如图所示：

（2）这20名学生每人植树量的众数为4棵；中位数为4棵；
（3）①第二步；
②（棵）.
估计360名学生共植树（棵）
此题考查了条形统计图、扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键.
18. 如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（没有与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E．
（1）请猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．

【正确答案】（1）猜想：DE⊥AC，证明详见解析；（2）

【分析】（1）连接，由切线的性质知，；中，分别为、的中点，即是的中位线，因此，由此可得；
（2）连接，由圆周角定理知，即是的垂直平分线，因此是等腰三角形，，易证，可得，可在中，用勾股定理求得的长，进而可根据上面的比例关系求出的长.
【详解】（1）猜想：DE⊥AC
理由如下：
如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，切点为D．
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC．
∴DE⊥AC．

（2）连接AD.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°且BD=DC=2．
∴AD是BC垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽Rt△DCE．
∴DE•AB=AD•DC．
在Rt△ABD中，AB=6，BD=2，
∴

本题考查的知识点有:切线的性质、三角形中位线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等.
19. 美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【正确答案】观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．
【详解】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE=，
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°．
又∵∠DAC=45°，
∴AE=DE．
∴132+x=xtan65°，
∴解得x≈115.8，
∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

20. 图，反比例函数的图象点A(1，4)，直线y=2x+b（b≠0）与双曲线在、三象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=-3时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）k=4； （2）S△OCD=； （3）存在，b的值为﹣2．

【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得；
（2）当时，直线解析式为，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出，，然后根据三角形面积公式求解；
（3）先表示出，根据三角形面积公式，由于，所以点和点到的距离相等，则的横坐标为，利用直线解析式可得到，再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可得到满足条件的的值.
【详解】（1）∵反比例函数y=的图象点A（1，4），
∴k=1×4=4；
（2）当b=﹣3时，直线解析式为y=2x﹣3，
∴C（，0），D（0，﹣3），
∴S△OCD=；
（3）存在．
在直线y=2x+b上，
当y=0时，2x+b=0，解得x=，则C（，0）.
∵S△ODQ=S△OCD，
∴点Q和点C到OD的距离相等.
∵点Q在第三象限，
∴点Q的横坐标为.
当x=时，y=2x+b=2b，则Q（，2b）.
∵点Q在反比例函数y=的图象上，
∴•2b=4，解得b=﹣2或b=2（舍去），
∴b的值为﹣2．
本题考查了反比例函数与函数的交点：求反比例函数与函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点，也考查了反比例函数图像上点的坐标特征和三角形面积公式.
21. 夏季即将来临，某电器超市每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的情况：
时段
数量
收入
A种型号
B种型号
周
2台
3台
1130元
第二周
5台
6台
2510元
（进价、售价均保持没有变，利润=收入-进货成本）
（1）分别求出A，B两种型号电风扇的单价；
（2）若超市准备用没有超过5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇至多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购；若没有能，请说明理由．
【正确答案】（1）A，B两种型号电风扇的单价分别为250元、210；（2）A种型号的电风扇至多能采购10台 ；（3）在（2）的条件下超市没有能实现利润1400元的目标．

【分析】（1）设、两种型号电风扇的单间价分别为元、元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意列出没有等式解答即可；
（3）根据题意列出方程解答即可.
【详解】（1）设A，B两种型号电风扇的单价分别为x元、y元.......1分
根据题意，得
解这个方程组，得
答：A，B两种型号电风扇的单价分别为250元、210.
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据题意，得
200a+170（30﹣a）≤5400，
解这个没有等式，得a≤10．
答：A种型号电风扇至多能采购10台
（3）根据题意，得（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，
解这个方程，得a=20，
由（2）可知，a≤10，
∴在（2）的条件下超市没有能实现利润1400元的目标．
此题考查一元没有等式在实际生活中的运用，正确理解题意，列出没有等式或方程是解题的关键.
22. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．如图，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系，

（1）观察猜想：如图，若点O在正方形的（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是 ；
（2）探究证明；如图，若点O在正方形的内部（含边界），且OM=ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由；
（3）拓展延伸：若点O在正方形的外部，且OM=ON，请你在如图中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论（没有必说明理由）．
【正确答案】（1）OM=ON （2）三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC），（3）见解析．

【分析】（1）连接OC、OB，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
（2）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；
（3）如图4，可以运用（2）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论；如图5，可同理得也结论．
【详解】（1）如图2，连接OC、OB，

则由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°
∵∠MON=90°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，

∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON，
故答案为OM=ON，
（2）三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC），
如图3，过点O分别作OE⊥BC，OF⊥CD，垂足分别为E，F，

则∠OEM=∠OFN=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠EOF=∠MON=90°．
∴∠MOE=∠NOF．
在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF．
又∵OE⊥BC，OF⊥CD，
∴点O在∠C的角平分线上．
∴三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC），
（3）画图如图4：

过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠EOF=90°=∠MON，
∴∠MOE=∠NOF，
在△MOE和△NOF中，
，
∴△MOE≌△NOF（AAS），
∴OE=OF，
又∵OE⊥BC，OF⊥CD，
∴点O在∠C的平分线上，
∴三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成直线AC，
同理如图5，O'M'=O'N'，同理得O'在∠BCD外角平分线上，即三角板移动过程中所有满足条件的点O在过点C且与AC垂直的直线上，

综上所述，三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成直线AC或过点C且与AC垂直的直线．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
23. 如图，抛物线过点，，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，直线的解析式为，抛物线的对称轴与线段交于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，求的面积；
（3）图1中的直线向下平移4个单位长度得到直线如图2，直线与轴交于点．点是折线上的一点，过点分别作轴、直线的垂线，垂足为点，是否存点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）8；（3）存在满足条件的点，点坐标为：、、、．

【分析】（1）把A（6，0），B（4，6）代入解析式，求解即可；
（2）延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形，运用S△OPH＝S△OMH−S△OMP计算即可；
（3）由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故分别讨论与计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过点，，
∴
解得，
∴，
即该抛物线的解析式为；
（2）∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
如图1，延长交轴于点，

则、均为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，
∴；
（3）设直线l：y＝x−4与x轴、y轴交于点G、点D，则G（4，0），D（0，−4），
假设存在满足条件的点P，
（a）当点P在OC边上时，如图所示，此时点E与点O重合．

设PE＝a（0＜a≤6），
则PD＝4＋a，PF＝PD＝（4＋a），
过点F作FN⊥y轴于点N，则FN＝PN＝PF，
∴EN＝|PN−PE|＝，
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF＝||，
若PE＝PF，则：a＝（4＋a），解得a＝4（＋1）＞6，故此种情形没有存在；
若PF＝EF，则：PF＝||，
整理得PE＝PF，即a＝4＋a，没有成立，故此种情形没有存．
若PE＝EF，则：PE＝||，
整理得PF＝PE，即 （4＋a）＝a，解得a＝4．
∴P1（0，4）．
（b）当点P在BC边上时，如图，此时PE＝4．

若PE＝PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE＝GF，
过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，
∵∠OGD＝135°，
∴∠EPF＝45°，即△PHF为等腰直角三角形，
设GE＝GF＝t，则GK＝FK＝EH＝t，
∴PH＝HF＝EK＝EG＋GK＝t＋t，
∴PE＝PH＋EH＝t＋t＋t＝6，
解得：t＝6−6，
则OE＝4−t＝10−6，
∴P2（10−6，6），
（c）∵A（6，0），B（4，6），
∴可求得直线AB解析式为：y＝−3x＋18；
联立y＝−3x＋18与y＝x−4，解得x＝，y＝．
当点P在线段BK上时，如答图所示：

设P（a，18−3a）（4≤a≤），则Q（a，a−4），
∴PE＝18−3a，PQ＝22−4a，
∴PF＝（22−4a）．
与（a）同理，可求得：EF＝||，
若PE＝PF，则18−3a＝（22−4a），解得a＝10＋3＞，故此种情形没有存在；
若PF＝EF，则PF＝||，
整理得PE＝PF，即18−32a＝（22−4a），
解得a＝4，符合条件，此时P3（4，6）；
若PE＝EF，则PE＝||，
整理得PF＝PE，即 （22−4a）＝（18−3a），
解得a＝＜4，故此种情形没有存在．
（d）当点P在线段KA上时，如图所示：

∵PE、PF夹角为135°，
∴只可能是PE＝PF成立．
∴点P在∠KGA的平分线上．
设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM＝MN，MD＝MN，
由OD＝OM＋MD＝4，可求得M（0，4−4）．
又因为G（4，0），
可求得直线MG的解析式为：y＝（−1）x＋4−4．
联立直线MG：y＝（−1）x＋4−4与直线AB：y＝−3x＋18，
可求得：P4（10−3，9−12）；
（e）当点P在OA边上时，此时PE＝0，等腰三角形没有存在．
综上所述，存在满足条件的点P，点坐标为：、、、．
此题主要考查二次函数综合问题，会求二次函数解析式，会分析三角形形状进而计算三角形面积，能全面分析等腰三角形的各种情况并认真计算时解题的关键．